ECUACIONES FUNCIONALES
Objetivos
El objetivo de esta asignatura es una introducción al análisis convexo en espacios normados. Se estudian los conceptos básicos y métodos característicos de esta parte de las matemáticas, tales como la separación de conjuntos convexos, el cálculo convexo y la optimización convexa. En el desarrollo se prueban los teoremas de Hahn-Banach y Kuhn-Tucker, se estudian la continuidad y subdiferenciabilidad de funcionales convexos y en la última parte, se da una breve introducción a la teoría de la dualidad.
Programa Teoría
1.- ESPACIOS METRICOS.
Definición. Ejemplos. Topología asociada. Conjunto cerrado. Interior y clausura de un conjunto. Convergencia. Continuidad. Compacidad.
2.- ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS PREHILBERTIANOS.
Espacio normado. Ejemplos. Métrica inducida. Productos finitos de espacios normados. Convergencia en el producto. Continuidad de las operaciones algebráicas. Subespacios. Conjuntos definidos algebráicamente.Espacio prehilbertiano. Ejemplos. Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Desigualdad de Minkowski. Norma deducida del producto escalar. Geometría de un espacio prehilbertiano.
3.- FUNCIONES REALES CONVEXAS.
Conjunto convexo. Función Convexa. Existencia de derivadas direccionales. Desigualdad de Jensen. Convexidad de funciones diferenciables. Estudio de la forma cuadrática asociada.
4.- CONVEXIDAD.
Propiedades de los conjuntos convexos. Envoltura convexa. Conjuntos convexos en espacios normados. Teorema de Carateodory.
5.- APLICACIONES LINEALES CONTINUAS.
Continuidad. El espacio L(E,F)Dual topológico de un espacio normado. Continuidad de las aplicaciones lineales definidas en Rn. Hiperplanos. Representación del dual de un espacio de Hilbert. Teorema de isomorfismo.
6.- TEOREMAS DE SEPARACION DE CONJUNTOS CONVEXOS.
7. PROGRAMACIÓN CONVEXA.
Teoría generalizada de Kuhn-Tucker. Función de Lagrange. Puntos de silla. Teorema de Kuhn-Tucker.
8.- ANALISIS CONVEXO Y CALCULO CONVEXO.
Funcionales convexos. Dominio efectivo. Supergráfica. Funciones semicontínuas inferiormente.Continuidad de funcionales convexos. Subgradientes. Subdiferencia. Regla de Fermat. Existencia de subgradientes. Regla de la suma. Teorema de Kuhn-Tucker.
9.- PROBLEMAS DUALES.
Función conjugada. Ejemplos. Desigualdad de Frenchel. Función biconjugada. Teorema de dualidad de Frenchel.
Programa Prácticas
1.- Espacios métricos.
2.- Funciones convexas reales.
3.- Formas lineales.
4.- Funcionales convexas subdiferenciales.
5.- Optimización. Programación convexa. Dualidad.
Bibliografía
- AUBIN, J. L´Analyse non lineaire et ses motivations économiques, Masson, 1984.
- FLEMING, W. Funciones de varias variables. Cecsa. 1969.
- GALÉEV, G. V. Breve curso de la teoría de problemas extremales, Mir. 1991.
- JAMESON, G. Topology and normed spaces, Chapman and Hall, 1974.
- LAURENT, P Approximation et optimisation, Herrman, 1972.
- VAN TIEL, J. Convex Analysis_ An introductory Text, John Wiley and Sons, 1984.
- ZEIDLER, 3. Nonlinear Functional Analysis and its Applications III, Springer Verlag, 1985.
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