\documentclass[a4paper, 12pt]{article} 
\usepackage [catalan]{ babel }
\usepackage{isolatin1}
\title{Qüestions de normalització d'ones planes}
\author{Felip Alàez Nadal}
\begin{document}
\maketitle
Les ones planes solen jugar un paper fonamental a l'ensenyament de la física quàntica. Només cal recordar què l'expressió de De Broglie sol referir-se a ones planes. Però compleixen les ones planes les condicions necessàries per a ser funcions d'ona quàntiques?

Una primera condició què han de complir les funcions d'ona és què la integral del seu quadrat al llarg de tot l'espai siga finita. Açò equival a dir què la probabilitat de trobar la partícula què tenen associada, a tot l'espai, és finita, la qual cosa és raonable. Si recordem què l'ona plana presenta una dependència espacial del tipus $ \Psi(x) = A e^{(\imath kx)} $, és immediat calcular aquesta integral:


\begin{math}
\int _{- \infty} ^{+ \infty} dx \vert \Psi \vert ^2 = \int _{- \infty} ^{+ \infty} dx A^2 = A^2 x\vert_{- \infty} ^{+ \infty} = \infty
\end{math}


Tenim, doncs, què una ona plana no confinada a l'espai no pertany a l'espai vectorial de funcions de quadrat integrable, i, per tant, no pot servir-nos.

Comprovem ara què una ona plana confinada a l'espai sí que pertany a dit espai vectorial:


\begin{math}
\int _{- \infty} ^{+ \infty} dx \vert \Psi \vert ^2 = \int _{- \infty} ^{+ a} dx 0 + \int _{a} ^{ b} dx A\vert^2 + \int _{b} ^{+ \infty} dx 0 = \int _{a} ^{ b} dx A^2 = A^2 x\vert_{a} ^{b} = A^2 (b-a)
\end{math}

Al càlcul anterior s'ha usat què, fora de la regió [a,b] on és possible trobar la partícula, la probabilitat de trobar-la és zero, per la qual cosa la funció d'ona s'hi ha d'anul·lar.
\end{document}