Técnicas de Monte Carlo.
Algunos matemáticos que han contribuido a la historia del método Monte Carlo
MÉTODO DE MONTE CARLO
Bajo el nombre de “Método de Monte Carlo” o
“Simulación Monte Carlo” se agrupan una serie de procedimientos que analizan
distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.
El Método de Monte Carlo da solución a una gran
variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos
en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea
estocástico o determinístico.
Generalmente en estadística los modelos aleatorios se
usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el
método de Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el
objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar
el modelo.
A veces la aplicación del método de Monte Carlo se
usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en
estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una
distribución aleatoria y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería el
famoso problema de las Agujas de Bufon.
La simulación de Monte Carlo fue creada para resolver
integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para resolver
estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para
cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias
con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver
ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un
papel importante.
El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser ``la
capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador simple de
números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de
Monte Carlo data aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora
electrónica. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en
muchas ocasiones anteriores a 1944.
El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de
investigación, viene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra
Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas
probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones
aleatorios en material de fusión.
Aún en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y
Stanislao Ulam refinaron esta curiosa ``Ruleta rusa'' y los métodos``de
división''. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que
esperar el trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo
año, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadores para los valores
característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a
nivel nuclear.
Breve descripción matemática
La idea
básica del método de Monte Carlo consiste en escribir la integral requerida
como el valor esperado de alguna función con respecto a alguna distribución de
probabilidad, lo cual sugiere una solución ``estadística'' al problema de
integración. Para motivar la discusión consideremos el siguiente ejemplo.
Sea 
. supongamos que existe 
,
tal que 
para todo 
y que se desee calcular la integral
El
valor de esta integral no es más que el área bajo la curva 
para .
Dicha gráfica queda inscrita en el rectángulo 
Sea
Entonces 
corresponde a la función de densidad (respecto a la medida de LEbesgue) de una
distribución uniforme sobre el rectángulo 
.
La integral 
puede entonces estimarse simulando una muestra 
de y
contando cuántos de estos valores caen bajo la curva .
Especificamente sea
donde
es un estimador insesgado de .
En efecto, cada observación 
corresponde a un ensayo Bernoulli con probalbilidad de éxito 
,
por lo que 
.
Más aún la varianza de este estimador es
Algunos matemáticos que han contribuido a la historia
del método Monte Carlo
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1.777 |
A la edad de 20 Georges Buffon descubrió el teorema binomial, colaboró con Cramer (*) en mecánica, geometría, probabilidad , teoría del número y el cálculo diferencial e integral. Su primer trabajo-carreau de Sur le jeu introdujo cálculo diferencial e integral en la teoría de las probabilidades, escribió Théorie de la terre Lo recuerdan la mayoría, en el campo de las matemáticas por un experimento de la probabilidad que realizó calculando los palillos, que una vez lanzados sobre su hombro caían sobre un piso embaldosado. Contando el número de ensayos, los palillos cayeron a través de las líneas entre los azulejos. Este experimento causó mucha discusión entre los matemáticos que ayudaron hacia una comprensión de la probabilidad. (*) |
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1.824 |
Guillermo Thomson Kelvin, ingresó en la Universidad de Glasgow a la edad de años. En el curso 1.838-39 estudió Química y Astronomía, y el curso siguiente cursos de filosofía natural (hoy llamado Físicas) en los cuales profundizó en los estudios de calor, electricidad y magnetismo. En 1.841 estudió las transformadas de Fourier para concluir un informe sobre el movimiento uniforme de calor y su conexión con la teoría matemática de la electricidad, publicado en 1.842. Los estudios de termodinámica de Kelvin, le hicieron proponer una escala absoluta de temperaturas, la cual, fue enunciada antes del principio de conservación de la Energía, si esta se hubiera formulado antes, los estudios de Kelvin se hubieran comprendido mejor. |
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1.888 |
En 1.934, Richard Courant se incorporó en la Universidad de Nueva York, dónde formó un pequeño grupo de investigación, este grupo reflejó el estilo de trabajo del famoso instituto Göttinger, Alemania, dónde había sido alumno de David Hilbert. Las investigaciones de Courant fueron de diversos tipos: métodos finitos de la diferencia, superficies mínimas y ecuaciones diferenciales parciales. Fué pionero en publicaciones de textos matemáticos y de monográficos de alta calidad; un ejemplo "Métodos de Física Matemática" por Courant e Hilbert. Quizás es más conocido, "posiblemente" por sus talentos científicos de la organización y dirección en el instituto que lleva su nombre. Friedrichs dijo de él: "No se pueden apreciar los logros científicos de Courant simplemente fijándose en sus publicaciones, pues sus investigaciones no eran aisladas sino que estaba completamente interrelacionado con otros campo de la Ciencia, y además, era la inspiración de muchos otros trabajos de investigación" (*) |
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1.889 |
Hyman Levy
Matemático, filósofo y humanista. Nacido en Edimburgo en una familia
judía ortodoxa. Educado en la escuela de George Heriot y la universidad de
Edimburgo, en donde estudió matemáticas y física. Trabajó en
Alemania hasta el inicio de la primera guerra mundial, que se desplazó a
Inglaterra, inicialmente en Oxford y la entonces la universidad imperial
(Londres) donde lo designaron profesor de matemáticas en 1923. Publicó en el
campo de la probabilidad y de ecuaciones diferenciales, junto con varios
trabajos sobre la filosofía, incluyendo el universo de Science (1932).
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1.901 |
Kurt Otto Friedrichs solucionó un problema en relatividad mientras aún estaba en la universidad. Su disertación en la teoría de las placas elásticos fue escrita bajo la supervisión de Courant en Göttingen. Fué ayudante de Courant y ayudó a la publicación del libro de Courant y de Hilbert. Su trabajo principal trataba sobre ecuaciones diferenciales parciales en física matemática. Utilizó diferencias finitas para probar la existencia de soluciones. Friedrichs también trabajó en la dinámica de fluidos. |
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1903 |
John Von Newman, Formo parte del grupo de los seis profesores de matemáticas de instituto de estudios avanzados de Princeton junto con J.W. Alexander, A. Einstein, O. Veblen y H. Weyl, en 1.933 fué corredactor de "los anales de las matemáticas" y dos años más tarde del "Compositio Mathematica". En
1.938 la sociedad de matemática americana, concedió a Neumann el premio
Bôcher por su trabajo "Funciones y grupos casi periódicos de la
memoria" publicado en dos partes en 1.934 y 1.935. Fué uno de los
pioneros de la informática haciendo contribuciones significativas al
desarrollo del diseño lógico. Avanzo considerablemente la teoría de los
autómatas celulares. Su trabajo con el grupo de Los
Alamos continuó desarrollando el synergism
entre las capacidades de las computadoras y las necesidades de soluciones de cómputo
a los problemas nucleares relacionados con la bomba de hidrógeno. |
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1908 |
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1909 |
Stanilaw Marcin Ulam, solucionó el problema de cómo iniciar la fusión en la bomba de hidrógeno. Él también ideó el ' método de Monte Carlo ' usado extensamente en solucionar problemas matemáticos usando el muestreo estadístico. |
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