Definción y primeras propiedades

Los fractales autosemejantes, son aquellos que tienen la propiedad de que el fractal puede descomponerse en copias a escala de él mismo.

Esto nos lleva a trabajar con conjuntos autosemejantes, para designar a todo subconjunto

$$S\subseteq \mathbb{R}^{2}$$

tal que:

• S es cerrado y acotado (contiene a todos sus puntos de la frontera y puede inscribirse en una circunferencia)
• S se expresa :
  $$S=\bigcup _{i=1}^{k}S_{i}$$
  con cada semejante a S con la misma razón de semjanza r <1 (homotecia de contracción ) tal que los conjuntos no se solapen, es decir
  $$S_{i}\cap S_{j}=\emptyset$$

Para generar fractales se usa el siguiente teorema (que no demuestro, porque está en los libros de la bibliografía)

Theorem   Sea

$$f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$$

una semejanza con razón r y sea un subconjunto cerrado y acotado. Entonces es semejante a S es decir es una copia a escala r, que ha sido rotada y trasladada de su posición original