1. Respuesta dinámica

1.1. Sistemas de segundo orden

G(s) = \frac{Y (s)}{X(s)} = \frac{K_{p}}{τ^{2}s + 2ζτs + 1}

1.2. Entrada en escalón

Si ζ > 1 respuesta sobreamortiguada no oscilatoria

Y (t) = K_{p}A = [1 − e^{−ζt/τ} (cosh \sqrt{ζ^{2} − 1}\frac{t}{τ} + \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} − 1}} senh \sqrt{ζ^{2} − 1}\frac{t}{τ} )]

Si ζ = 1 respuesta críticamente amortiguada.

Y (t) = K_{p}A [1 − (1 + \frac{t}{τ} ) e^{− \frac{t}{τ}} ]

Si ζ < 1 respuesta subamortiguada. Soluciones son complejos conjugados:

Y (t) = K_{p}A [1 − \frac{1}{\sqrt{1 − ζ^{2}}} e^{−ζ \frac{t}{τ}} · sen(ωt + ϕ)] , ϕ = arc tg \frac{\sqrt{1 − ζ^{2}}}{ζ^{2}} , ω = \frac{\sqrt{1 − ζ^{2}}}{τ}

1.2.1. Características de la respuesta subamortiguada oscilatoria sobreimpulso máximo u overshout: Se define como A/B. Se expresa en porcentaje.

\frac{A}{B} = exp \frac{−πζ}{\sqrt{1 − ζ^{2}}} , ζ < 1

relación de amortiguamiento: Se define como

\frac{C}{A} = exp −2πζ\sqrt{1 − ζ^{2}} = (\frac{A}{B} )

periodo de oscilación:

T = \frac{2πτ}{\sqrt{1 − ζ^{2}}}

frecuencia de oscilaciones:

ω = \frac{\sqrt{1 − ζ^{2}}}{τ} = \frac{2π}{T}

periodo natural de oscilación: Un sistema oscila de forma natural cuando ζ = 1. En este caso T_{n} = 2πτ y ω = 1/τ. tiempo de respuesta o settling time: Es el tiempo en el que la oscilación cae por debajo del 5 %.

tiempo de crecimiento o rise time es el tiempo necesario para que el sistema cruce por vez primera el valor final de la función.

1.3. Entrada en impulso

ζ < 1. Respuesta sobreamortiguada.

Y (t) = \frac{K_{p}A}{τ} · \frac{1}{\sqrt{ζ^{2} − 1}}e^{−ζ \frac{t}{τ}} · senh \sqrt{ζ^{2} − 1}\frac{t}{τ}

ζ = 1. Respuesta críticamente amortiguada.

Y (t) = \frac{K_{p}A}{τ} · e^{ζ \frac{t}{τ}}

ζ < 1. Respuesta subamortiguada.

Y (t) = \frac{K_{p}A}{τ} · \frac{1}{\sqrt{1 − ζ^{2}}} e^{−ζ \frac{t}{τ}} · sen \sqrt{1 − ζ^{2}} \frac{t}{τ}