\documentclass[a4paper,spanish]{article}

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\begin{document}

\hyphenation{or-to-go-na-les or-to-go-nal de-ci-mos li-ne-al}

\newcommand{\dpu}[2]{\frac{\partial   {#1}}{\partial {#2}  }}
\newcommand{\dpd}[2]{\frac{\partial^2 {#1}}{\partial {#2}^2}}

\newcommand{\dtu}[2]{\frac{d   #1}{d #2  }}
\newcommand{\dtd}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}}

\newcommand{\sen}{\sin}
\newcommand{\prom}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\refemeq}[1]{\em (\ref{#1})\em}
\newcommand{\intket}[3]{\int #1^* #2 #3 d\tau}

\section{Introducción}
 \subsection{Ecuación de Schröedinger}
  Ecuación de Schröedinger dependiente del tiempo
   $$ \left[ \frac{\hbar}{i}\dpu{}{t} + \hat{H}\right]\Psi=0 \Leftarrow -\frac{\hbar}{i}
    \dpu{\Psi(x,t)}{t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \dpd{\Psi(x,t)}{x} + V(x,t)\cdot\Psi(x,t) $$
  Ecuación de Schröedinger independiente del tiempo
   $$ \hat H\Psi=E\Psi \Leftarrow -\frac{\hbar^2}{2m} \dtd{\psi(x)}{x} + V(x)\cdot\psi(x)=E\psi(x)
    ,\quad \Psi(x,t)=e^{-iEt/\hbar}\psi(x) $$
  Condición de normalización $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(q,t)|^2 d\tau = 1 $$

\subsection{Problema de la partícula en una caja}
 \begin{equation*} E = \frac{n^2 h^2}{8ml^2} \quad
 \psi = \begin{cases}
  (\frac{2}{l})^{1/2} \sen{(\frac{n\pi x}{l})}, n=1,2,3\ldots & 0\leq x \leq l \quad \\
  0 \quad x<0\ \acute{o} x>l
 \end{cases}\end{equation*}

\subsection{Partícula en un pozo rectangular}
    \begin{equation*} \psi = \begin{cases}
       C \exp[(2m/\hbar^2)^{1/2}(V_0-E)^{1/2}x] & x<0 \\
       A\cos[(2m/\hbar^2)^{1/2}E^{1/2}x]+
           B\sen[2m/\hbar^2)^{1/2}E^{1/2}x] & 0\le x\le l \\
       G \exp[(2m/\hbar^2)^{1/2}(V_0-E)^{1/2}x] & x > l
    \end{cases} \end{equation*}

\section{Operadores}
 \subsection{Álgebra de operadores}
  Suma y diferencia $(\hat A \pm \hat B)=\hat A f(x) \pm \hat B f(x) $ \\
  Producto $\hat A \hat B f(x) \equiv \hat A [ \hat B f(x) ]$ \\
  Propiedad asociativa: $\hat A(\hat B\hat C)=(\hat A\hat B)\hat C \quad \hat A+(\hat B+\hat C)=(\hat A+\hat B)+\hat C$

 \subsection{Identidades}
  \begin{align*}
   &[\hat A,\hat B] = -[\hat B,\hat A]
   &[\hat A,\hat{A}^n]=0, \quad n=1,2,3\ldots \\
   &[k\hat A,\hat B] = [\hat A,k\hat B] = k[\hat A,\hat B]
   &[\hat A,\hat B+\hat C] = [\hat A,\hat B]+[\hat A,\hat C] \\
   &[\hat A + \hat B,\hat C] = [\hat A,\hat C]+[\hat B,\hat C]
   &[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C+\hat B[\hat A,\hat C] \\
   &[\hat A\hat B, \hat C] = [\hat A,\hat C]\hat B+\hat A[\hat B,\hat C]
  \end{align*}

 \subsection{Operadores de la mecánica cuántica}
  Para una partícula
   \begin{eqnarray*}
    \text{Hamiltoniano} &:&  -\hat  H =  \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(x) \\
    \text{Coordenada} &:& \hat  q = q\cdot \\
    \text{Momento lineal} &:&  \hat  p_q = \frac{\hbar}{i} \dpu{}{q} = -i\hbar \dpu{}{q}  \\
    \text{Momento lineal cuadrado} &:& \hat  p^2_q = - \hbar^2 \dpd{}{q} \\
    \text{Potencial} &:&  \hat  V(x) = V(x) \cdot \\
    \text{Energía cinética} &:& \hat  T = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2
   \end{eqnarray*}
  Para varias partículas
    $$ \hat H = -\sum_{i=1}^n \frac{\hbar^2}{2m_i} \nabla^2_i + V(x_1,\ldots.z_n) $$

 \subsection{Valores medios}
  $$ <B>=\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N b_j = \frac{1}{N} \sum_b n_b b = \sum_b P_b b \quad
     <x> = \int_{-\infty}^{\infty} x | \Psi(x,t) |^2 dx $$
  $$ <F>=\int \Psi^{*}\hat{F}\Psi d\tau = \int \psi^{*}\hat{F}\psi d\tau \quad
     <F^2>=\int |\hat{F}\psi|^2 d\tau $$
  $$ <F+G>=<F>+<G> \quad <FG>\ne<F><G> $$

\section{El oscilador armónico}
   $$ V=\frac{1}{2}kx^2=2\pi^2\nu^2mx^2 \quad T=\frac{1}{2}m\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 $$
   \[ \hat{H}= -\frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{d^2}{dx^2}+ 2\pi^2\nu^2mx^2 =
      -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{d^2}{dx^2}-\alpha^2 x^2 \right), \quad
      \alpha \equiv 2\pi\nu m/\hbar \]
   $$\psi=A e^{-\alpha x^2/2} \sum_{l=0}^\infty c_{2l+1} x^{2l+1} +
      B e^{-\alpha x^2/2} \sum_{l=0}^\infty c_{2l} x^{2l} \quad
      c_{n+2}=\frac{2\alpha(n-v)}{(n+1)(n+2)}c_n $$
   \[ E=(v+\frac{1}{2})h\nu, \quad v=0,1,2,\ldots \]

\section{Momento angular}
 \subsection{Medida simultánea de varias propiedades}
 Varianza: \[ (\Delta A)^2 \equiv \sigma_A^2 \equiv <(A-<A>)^2> = \int \Psi^{*}
  (\hat{A}-<A>)^2 \Psi d\tau = <A^2>-<A>^2 \]
 Dos propiedades: \[ \Delta A\Delta B \geq \frac{1}{2} \left| \int \Psi^{*} [\hat{A},
  \hat{B}] \Psi d\tau \right| \]

 \subsection{Momento angular de un sistema de una partícula}
  $$ \hat{L}^2=-\hbar^2\left( \dpd{}{\theta} + \cot \theta \dpu{}{\theta} +
   \frac{1}{\sen^2 \theta}\dpd{}{\varphi} \right) \quad
   \hat{L}_z = -i\hbar \dpu{}{\varphi} $$
  \[ \left. \begin{array}{l} \hat{L}_z Y(\theta,\varphi) =bY(\theta, \varphi) \\
     \hat{L}^2 Y(\theta,\varphi) =cY(\theta, \varphi) \end{array} \right\} \Leftarrow
     Y(\theta,\varphi)=S(\theta)\cdot T(\varphi)\]
  Solución: $$ T(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\varphi} \quad
    S_{l,m}(\theta)=\left[ \frac{(2l+1)}{2} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \right]^{1/2}
    P_l^{|m|}(\cos\theta) $$
  Polimonios de Legendre: $$  P_l(w)=\frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dw^l}(w^2-1)^l, \quad
l=0,1,2\ldots$$ $$ P_0(w)=1, \quad P_1(w)=w, \quad P_2(w)=\frac{1}{2}(3w^2-1), \quad
P_3(w)=\frac{1}{2}(5w^3-3w)$$
  Polinomios asociados de Legendre: $$ P_l^{|m|}(w)=\frac{1}{2^l l!}(1-w^2)^{|m|/2}
\frac{d^{l+|m|}}{dw^{l+|m|}}(w^2-1)^l,\quad l=0,1,2\ldots$$ $$ \begin{array}{rclrcl}
 P^0_0(w)&=&1 & P_2^0(w)&=&\frac{1}{2}(3w^2-1) \\ P_1^0(w)&=&w & P_2^1(w)&=&
3w(1-w^2)^{1/2} \\ P_1^1(w)&=&(1-w^2)^{1/2} & P_2^2(w)&=&3-3w^2\end{array} $$
  Polinomios de Laguerre: $$  L_q(z)=e^z\frac{d^q}{dz^q}(e^{-z}z^q)$$
   $$ L_0(z)=1,\quad L_1(z)=-z+1, \quad L_2(z)=z^2-4z+2, \quad L_3(z)=-z^3+9z^2-18z+6$$
  Polinomios asociados de Laguerre: $$ L_q^s(z)=\frac{d^s L_q(z)}{dz^s}$$
  $$ \begin{array}{lll}
   L^0_q(z)=L_q(z) \; L_1^1(z)=-1 & L_2^1(z)=2z-4 & L_2^2(z)=2 \\
   L_3^1(z)=-3z^2+18z-18 & L_3^2(z)= -6z+18 & L_3^3(z)=-6 \end{array} $$

\section{El átomo de hidrógeno}
Ecuación de Schrödringer en coordenadas esféricas: $$\nabla^2=\dpd{}{r}+\frac{2}{r}\dpu{}{r}
 -\frac{1}{r^2\hbar^2}\hat{L}^2 \Rightarrow \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left( \dpd{}{r}+
 \frac{2}{r}\dpu{}{r}\right)+\frac{1}{2mr^2}\hat{L}^2+V(r) $$
Problema de dos partículas: $$H=\frac{p_M^2}{2M}+\left[ \frac{p_\mu^2}{2\mu}+V(q) \right],
 \quad M=m_1+m_2,\, \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} $$
El rotor rígido de dos partículas: $$V=0, \hat H=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 \Rightarrow
 E=\frac{J(J+1)\hbar^2}{2I}, J=0,1,2\ldots \quad \nu=2(J+1)B, B=\hbar/8\pi^2I$$
El átomo de hidrógeno: $$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2-\frac{Ze^2}{2},
 \quad \psi(r,\theta, \varphi)=R_{n,l}(r)Y_l^m(\theta,\varphi), l=0,1,2\ldots, |m|\leq l$$
 $$R_{n,l}(r)=r^le^{-Zr/na}\sum_{j=0}^{n-l-1}b_jr^j, b_{j+1}=\frac{2Z}{na} \frac{(j+l+1-n)}
 {(j+1)(j+2l+2)} b_j, a=\hbar^2/\mu e^2$$
 $$E=-\frac{Z^2\mu e^4}{2n^2\hbar^2}, \quad \frac{1}{\lambda}=R_H\left( \frac{1}{n_1^2}-
\frac{1}{n_2^2}\right), R_H=\frac{e^2}{2ahc} $$
 Si hacemos $\mu\approx m_e \Rightarrow a\approx a_0=\frac{\hbar^2}{m_ee^2}=0,5292$\AA (radio de Bohr) \\
 Funciones de onda hidrogenoides reales:
 \begin{eqnarray*}
  \psi_{1s}&=&\frac{1}{\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{3/2}e^{-Zr/a} \\
  \psi_{2s}&=&\frac{1}{4(2\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{3/2}\left(2-\frac{Zr}{a}\right)e^{-Zr/2a}\\
  \psi_{2p_z}&=&\frac{1}{4(2\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}re^{-Zr/2a}\cos\theta\\
  \psi_{2p_x}&=&\frac{1}{4(2\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}re^{-Zr/2a}\sen\theta\cos\varphi\\
  \psi_{2p_y}&=&\frac{1}{4(2\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}re^{-Zr/2a}\sen\theta\sen\varphi\\
  \psi_{3s}&=&\frac{1}{81(3\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{3/2}\left(27-18\frac{Zr}{a}+2\frac{Z^2r^2}{a^2}\right)e^{-Zr/3a}\\
  \psi_{3p_z}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}\left(6-\frac{Zr}{a}\right)re^{-Zr/3a}\cos\theta\\
  \psi_{3p_x}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}\left(6-\frac{Zr}{a}\right)re^{-Zr/3a}\sen\theta\cos\varphi\\
  \psi_{3p_y}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{5/2}\left(6-\frac{Zr}{a}\right)re^{-Zr/3a}\sen\theta\sen\varphi\\
  \psi_{3d_{z^2}}&=&\frac{1}{81(6\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{7/2}r^2e^{-Zr/3a}(3\cos^2\theta-1)\\
  \psi_{3d_{xz}}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{7/2}r^2e^{-Zr/3a}\sen\theta\cos\theta\sen\varphi\\
  \psi_{3d_{yz}}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{7/2}r^2e^{-Zr/3a}\sen\theta\cos\theta\cos\varphi\\
  \psi_{3d_{x^2-y^2}}&=&\frac{1}{81(2\pi)^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{7/2}r^2e^{-Zr/3a}\sen^2\theta\cos 2\varphi\\
  \psi_{3d_{xy}}&=&\frac{2^{1/2}}{81\pi^{1/2}}\left(\frac{Z}{a}\right)^{7/2}r^2e^{-Zr/3a}\sen^2\theta\cos\theta\sen 2\varphi
 \end{eqnarray*}

\section{Teoremas y principios de la mecánica cuántica}
 \newtheorem{definicion}{Definición}
 \newtheorem{corolario}{Corolario}
 \newtheorem{teorema}{Teorema}
 \newtheorem{postulado}{Postulado}

 \subsection{Definiciones y teoremas}
  \subsubsection{Notación bracket}
   \begin{definicion} notación bracket:
    $$ \int\varphi^*_m \hat{A}\varphi_n d\tau \equiv \langle \varphi_m|\hat{A}|\varphi_n\rangle \equiv (\varphi_m|\hat{A}|\varphi_n)\equiv \langle m|\hat{A}|n\rangle \equiv A_{mn}$$
    $$ \int\varphi^*_m \varphi_n d\tau \equiv \langle \varphi_m|\varphi_n\rangle \equiv \langle m|n\rangle $$
   \end{definicion}
   Identidades:
    $$ \left[ \int\varphi^*_m \varphi_n d\tau \right]^* = \int\varphi^*_n \varphi_m d\tau \Rightarrow \langle m|n\rangle^* = \langle n|m \rangle $$

  \subsubsection{Operadores hermíticos}
   \begin{definicion} $$\int f^*\hat{A}gd\tau =\int g(\hat{A}f)^*d\tau $$ \end{definicion}
   \begin{teorema} Los valores propios de un operador hermítico son números reales.
    $$\int \Psi^*\hat{A}\Psi d\tau =\int \Psi(\hat{A}\Psi)^*d\tau = <A> = <A>^*$$ \end{teorema}
   \begin{teorema} Las funciones propias de un operador hermítico son, o pueden escogerse, de modo que sean mútuamente ortogonales.
    $\hat{B}F=sF, \quad\hat{B}G=tG $ siendo $F$ y $G$ funciones propias independientes de $\hat{B}$
    $$\int F^*Gd\tau \equiv \langle F|G\rangle = 0 $$ \end{teorema}
   \begin{corolario} Si las funciones propias de un operador hermítico no son ortogonales, se
    pueden hacer ortogonales con las siguientes transformaciones: $\varphi_2=G+cF, \quad \varphi_1=F$
    donde $c$ se calcula como sigue (ortogonalización de Schmidt): $$c=-\int F^*Gd\tau \left/\int F^*Fd\tau\right.
    \textit{de modo que} \int\varphi^*_i\hat{B}\varphi_jd\tau = \delta_{ij}$$ \end{corolario}
  \subsubsection{Desarrollo en términos de funciones propias}
   \begin{definicion} Consideremos un conjunto de funciones $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3, \ldots
    \varphi_i,\ldots$ Decimos que las $\varphi_i$ forman un conjunto completo si es posible desarrollar
    cualquier función $f$, que se comporta bien y que obedece las mismas condiciones límite que $\varphi_i$,
    como combinación lineal de las $\varphi_i$, de acuerdo con \begin{equation} f=\sum_i a_i\varphi_i
    \label{eqdesarr} \end{equation} donde las $a_i$ son constantes y se calculan así:
    \begin{equation} a_j=\int\varphi^*_jfd\tau \end{equation}\end{definicion}
   \begin{corolario} El desarrollo de \refemeq{eqdesarr} se convierte en: \begin{equation} \label{refket}
    f=\sum_i\left[\int\varphi^*_ifd\tau\right]\varphi_i=\sum_i\langle\varphi_i|f\rangle\varphi_i \end{equation} \end{corolario}
   \begin{teorema} El conjunto de todas las funciones propias de un operador hermítico forman un
    conjunto completo cuyos valores propios son reales.\end{teorema}
   \begin{teorema} Sea $\varphi_i$ el conjunto completo de funciones propias del operador hermítico
    $\hat{A}$; sea $f$ una función que es función propia de $\hat{A};\; \hat{A}f=kf$. Si $f$ se
    expresa como combinación lineal de $\varphi_i$ de acuerdo con \refemeq{eqdesarr}, entonces los únicos
    coeficientes no nulos del desarrollo, $a_i$, son aquellos para los que $\varphi_i$ tiene el valor
    propio $k$. (pueden ser varias $\varphi_i$ las que tengan valor propio $k$ debido a la degeneración.)
    \end{teorema}
   \begin{definicion} Notación ket: ecuación \refemeq{refket} $$|f\rangle=\sum_i|\varphi_i\rangle
    \langle\varphi_i|f\rangle=\sum_i|i\rangle\langle |f\rangle$$ \end{definicion}
  \subsubsection{Funciones propias de operadores que conmutan}
   \begin{teorema} Si existe un conjunto completo común de funciones propias para dos operadores
    lineales, entonces los operadores conmutan y viceversa. \end{teorema}
   \begin{teorema} Sea $\hat A$ un operador hermítico con funciones propias $\varphi_i: \hat{A}\varphi_i
    =s_i\varphi_i$ y sea $\hat B$ un operador que conmuta con $\hat A$. Afirmamos que $$B_{ij}=
    \int\varphi^*_i\hat{B}\varphi_jd\tau=0 \quad \text{para } s_i\neq s_j$$ \end{teorema}
  \subsubsection{Paridad}
   \begin{definicion} Operador paridad: $\hat\Pi f(x,y,z)=f(-x,-y,-z)$ \end{definicion}
   \begin{corolario} $\hat\Pi^2=\hat{1}$ \end{corolario}
   \begin{teorema} Los valores propios de $\hat\Pi$ son $+1$ y $-1$ y sus funciones propias son
    todas las funciones pares e impares que se comporten bien. \end{teorema}
   \begin{corolario} Si el potencial $V(q)$ es una función par, el hamiltoniano $\hat H$ conmuta
    con $\hat\Pi$ y por lo tanto la función de estado debe ser una función par o impar \end{corolario}
  \subsubsection{Medida y superposición de estados}
   \begin{teorema} Sea $\hat G$ un operador que representa un observable físico y sean $\varphi_i$ y
    $g_i$ el conjunto de sus funciones propias y valores propios tal que $\hat G\varphi_i=g_i\varphi_i$.
    Sean $c_i(t)$ los coeficientes del desarrollo $$\Psi(q,t)=\sum_ic_i(t)\varphi_i(q)$$ se cumple que
    $$\prom{G}=\sum_i|c_i|^2g_i=\sum_iP_{g_i}g_i$$ donde $$|c_i|^2=\left|\int\varphi^*_j\Psi d\tau
    \right|^2=|\langle\varphi_j|\Psi\rangle |^2$$ representa la probabilidad de
    obtener el valor $g_i$ en una medida de la propiedad $G$. \end{teorema}
   \begin{corolario} $$\sum_i |c_i|^2=1 $$ \end{corolario}
  \subsubsection{Funciones propias de posición}
   \begin{definicion} Se define la función etapa de Heaviside como:
    $$H(x)=\begin{cases} 1, & x>0\\0,&x<0\\1/2,&x=0 \end{cases}$$ \end{definicion}
   \begin{definicion} Se define la función delta de Dirac como $$\delta(x)=\dpu{H(x)}{x}$$ \end{definicion}
   \begin{teorema} Los valores propios del operador posición $\hat x$ son cualquier número real $a$
    y sus funciones propias $\delta(x-a)$ \end{teorema}
 \subsection{postulados de la mecánica cuántica}
  \begin{postulado} El estado de un sistema está descrito por una función $\Psi$ de las coordenadas
   y el tiempo. Esta función, llamada función de estado (o función de onda), contiene toda la
   información que puede determinarse acerca del sistema. Además, postulamos que $\Psi$ toma
   valores simples y es continua y cuadráticamente integrable. (Para los estados del continuo
   el requerimiento de integrabilidad se omite.) \end{postulado}
  \begin{postulado} A todo observable físico le corresponde un operador hermítico lineal. Para 
   encontrar este operador, escribimos la expresión mecano-clásica para el observable en
   términos de las coordenadas cartesianas y las componentes del momento lineal correspondiente,
   y entonces sustituimos cada coordenada $x$ por el operador $x\cdot$ y cada componente del
   momento $p_x$ por el operador $-i\hbar \partial/\partial x$. \end{postulado}
  \begin{postulado} Los únicos valores posibles que pueden resultar de una medida del observable
   físico $G$ son los valores propios $g_i$ de la ecuación $\hat{G}\varphi_i=g_i\varphi_i$ donde
   $\hat G$ es el operador correspondiente a la propiedad $G$. Es preciso que las funciones propias
   $\varphi_i$ se comporten bien. \end{postulado}
  \begin{postulado} Si $\hat G$ es cualquier operador hermítico lineal que representa un observable
   físico, entonces las funciones propias $\varphi_i$ de la ecuación de autovalores $\hat{G}\varphi_i=g_i\varphi_i$
   forman un conjunto completo. \end{postulado}
  \begin{postulado} Si $\Psi(q,t)$ es la función de estado normalizada de un sistema al tiempo $t$,
   entonces el valor promedio de un observable físico $G$ en el instante $t$ es
   $$\prom{G}=\int\Psi^*\hat{G}\Psi d\tau$$ \end{postulado}
  \begin{postulado} La evolución con el tiempo del estado de un sistema no perturbado está dada por
   la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo $$-\frac{\hbar}{i}\dpu{\Psi}{t}=\hat{H}\Psi$$
   donde $\hat{H}$ es el operador hamiltoniano (es decir, de energía) del sistema. \end{postulado}
\section{El método de variaciones}
 \begin{teorema} Dado un sistema con un operador hamiltoniano $\hat{H}$, entonces si $\varphi$ es
  cualquier función normalizada que se comporta bien y que satisface las condiciones límite
  del problema es cierto que $$\intket{\varphi}{\hat{H}}{\varphi}\geq E_0$$ donde $E_0$ es el
  valor verdadero del valor propio de energía más bajo de $\hat{H}$. Si $\varphi$ no está
  normalizada se tiene $$\frac{\intket{\varphi}{\hat{H}}{\varphi}}{\intket{\varphi}{}{\varphi}}
  \geq E_0$$ \end{teorema}
 \subsection{Funciones variacionales lineales}
  La función de prueba es del tipo:
  $$\varphi=c_1f_1+c_2f_2+\ldots+c_sf_s=\sum_{j=1}^sc_jf_j$$
  Definimos la integral de solapamiento como:
  $$S_{jk}=\int f^*_jf_kd\tau \textit{y} H_{jk}=\int f^*_jf_kd\tau$$
  entonces (ecuación secular)
  $$ \det(H_{ij}-S_{ij}W)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix}
   H_{11}-S_{11}W & H_{12}-S_{12}W & \cdots & H_{1n}-S_{1n}W \\
   H_{21}-S_{21}W & H_{22}-S_{22}W & \cdots & H_{2n}-S_{2n}W \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   H_{n1}-S_{n1}W & H_{n2}-S_{n2}W & \cdots & H_{nn}-S_{nn}W
  \end{vmatrix}=0$$ que tiene $n$ soluciones que son $E_0 \leq W_0, E_1 \leq W_1, \ldots, E_{n-1} \leq W_{n-1}$
\section{Teoría de perturbaciones}
 \subsection{Teoría de perturbaciones para estados no degenerados}
  ecuación conocida: $\hat{H}^0\psi_n^{(0)}=E^{(0)}_n\psi_n^{(0)}$,
  ecuación desconocida: $\hat{H}\psi_n=(\hat{H}^0+\lambda\hat{H'})\psi_n=E_n\psi_n$
  $\psi_n=\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+\ldots+\lambda^n\psi^{(n)}_n$
  $E_n=E^{(0)}_n+\lambda E^{(1)}_n+\lambda^2 E^{(2)}_n+\ldots+\lambda^n E^{(n)}_n$
  $(\hat H^0+\lambda\hat H')(\psi_n=\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+\ldots
   +\lambda^n\psi^{(n)}_n)=(E^{(0)}_n+\lambda E^{(1)}_n+\lambda^2 E^{(2)}_n+\ldots+\lambda^n
   E^{(n)}_n)(\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+\ldots+\lambda^n\psi^{(n)}_n)$

  Primera corrección: $$E_n^{(1)}=\int\psi^{(0)*}_n\hat H' \psi^{(0)}_n d\tau=\langle \psi^{(0)*}_n|\hat H'|\psi^{(0)}_n\rangle=H'_{nn}$$
   $$\psi^{(1)}_n=\sum_{n\ne m} \frac{\int\psi^{(0)*}_m\hat H'\psi^{(0)}_n d\tau}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi^{(0)}_m=\sum_{m\neq n}\frac{H'_{mn}}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi^{(0)}_m$$
  Segunda corrección: $$E_n^{(2)}=\sum_{k\neq n}\frac{|H'_{kn}|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k}=\sum_{k\neq n}\frac{|\langle\psi^{(0)}_k|\hat H'|\psi^{(0)}_n\rangle|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k}$$
 \subsection{Teoría de perturbaciones para estados degenerados}
  ecuación sin perturbar: $\hat{H}^0\psi_j^{(0)}=E^{(0)}_j\psi_j^{(0)}$ con $E^{(0)}_1=E^{(0)}_2=\cdots=E^{(0)}_n$
  ecuación perturbada: $\hat{H}\psi_j=(\hat{H}^0+\lambda\hat{H'})\psi_j=E_j\psi_j$\\
  límites: $$\lim_{\lambda\to 0} E_j=E^{(0)}_j, \quad \lim_{\lambda\to 0} \psi_j=\sum_{i=1}^n c_j\psi^{(0)}_i, \quad i\leq j \leq n$$
  Funciones correctas de orden cero para la perturbación: $$\varphi^{(0)}_j=\sum_{i=1}^n c_j\psi^{(0)}_i, \quad i\leq j \leq n$$
  Ecuación secular:
   $$ \det(H'_{ij}-\delta_{mi}E^{(1)}_j)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix}
    H'_{11}-E^{(1)}_j & H'_{12}           & \cdots & H'_{1n} \\
    H'_{21}           & H'_{22}-E^{(1)}_j & \cdots & H'_{2n} \\
     \vdots           &  \vdots           & \ddots & \vdots \\
    H'_{n1}           & H'_{n2}           & \cdots & H'_{nn}-E^{(1)}_j
  \end{vmatrix}=0$$ que tiene $n$ soluciones que son $E^{(1)}_0, E^{(1)}_1, \ldots, E^{(1)}_n$
  Los coeficiente $c_i$ se determinan con el sistema
    $$\begin{matrix}
    (H'_{11}-E^{(1)}_j)c_1 + H'_{12}c_2 + \cdots + H'_{1n}c_n=0 \\
    H'_{21}c_1 + (H'_{22}-E^{(1)}_j)c_2 + \cdots + H'_{2n}c_n=0 \\
       \ldots \\
    H'_{n1}c_1 + H'_{n2}c_2 + \cdots + (H'_{nn}-E^{(1)}_j)c_n=0
  \end{matrix}$$ y se normaliza: $$\sum_{k=1}^n|c_k|^2=1$$
  y corrección de la función de onda perturbada de primer orden:
  $$\psi^{(1)}_j=\sum_{k=1}^\infty a_k\psi^{(0)}_k, \quad a_k=\frac{\langle\psi^{(0)}_k|\hat H'|\varphi_j^{(0)}\rangle}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k}, \quad k>n, \quad 1\leq j\leq n$$
  y de la energía de segundo orden:
  $$E^{(2)}_j=\sum_{k>n} \frac{|\langle\psi^{(0)}_k|\hat H'|\varphi_j^{(0)}\rangle|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k}, \quad 1\leq j\leq n$$
\end{document}

