Formulario de integrales

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001-2005 Salvador Blasco Llopis

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Séptima revisión: Febrero 2005

Sexta revisión: Julio 2003 Quinta revisión: Mayo 2002 Cuarta revisión: Mayo 2001 Tercera revisión: Marzo 2001

1. Integrales indefinidas

1.1. Funciones racionales e irracionales

1.1.1. Contienen ax + b

(1) ∫ (ax + b)^{n}dx = \frac{1}{a(n + 1)}(ax + b)^{n+1} + C, n ≠ 1

(2) ∫ \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a} ln |ax + b| + C

(3) ∫ \frac{dx}{x(ax + b)} = \frac{1}{a} ln |\frac{x}{ax + b}| + C

(4) ∫ \frac{dx}{(1 + ϵx)^{2}} = −\frac{1}{ϵ} · \frac{1}{1 + ϵx} + C

(5) ∫ \frac{xdx}{(1 + bx)^{3}} = −\frac{1}{2b} · \frac{2}{(1 + bx)^{2}} − \frac{1}{2b} · \frac{1}{1 + bx} + C

1.1.2. Contienen \sqrt{ax + b}

(6) ∫ x\sqrt{a + bx}dx = \frac{2(3bx − 2a)(a + bx)^{3/2}}{15b^{2}} + C

(7) ∫ \frac{x}{\sqrt{a + bx}}dx = \frac{2(bx − 2a)\sqrt{a + bx}}{3b^{2}} + C

(8) ∫ \frac{dx}{x\sqrt{a + bx}} = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{a}} ln |\frac{\sqrt{a+bx}−\sqrt{a}}{\sqrt{a+bx}+\sqrt{a}} | + C, a > 0 \\ \frac{2}{\sqrt{−a}} arctan \sqrt{\frac{a+bx}{−a}} + C, a < 0 \end{cases}

(9) ∫ \frac{\sqrt{a + bx}}{x}dx = 2\sqrt{a + bx} + a ∫ \frac{dx}{x\sqrt{a + bx}} + C

1.1.3. Contienen x^{2} ± a^{2}

(10) ∫ \frac{dx}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C, a > 0

(11) ∫ \frac{xdx}{(x^{2} ± a^{2})^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} ± a^{2}}} + C

1.1.4. Contienen a^{2} − x^{2}, x < a

(12) ∫ (a^{2} − x^{2})^{3/2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} arc sen \frac{x}{a} + C, a > 0

(13) ∫ \frac{dx}{a^{2} − x^{2}} = \frac{1}{2a} ln |\frac{a + x}{a − x}| + C = \frac{1}{a}arctanh\frac{x}{a}

(14) ∫ \frac{dx}{(a^{2} − x^{2})^{3/2}} = \frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} + C

1.1.5. Contienen \sqrt{x^{2} ± a^{2}}

(15) ∫ \sqrt{x^{2} ± a^{2}}dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{a^{2} ± x^{2}} + a^{2} ln |x + \sqrt{a^{2} ± x^{2}}|) + C =

= \begin{cases}\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2} + x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} arcsenhx + C & (+) \\ \frac{1}{2}x\sqrt{a^{2} − x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} arccoshx + C & (−) \end{cases}

(16) ∫ x\sqrt{x^{2} ± a^{2}}dx = \frac{1}{3}(x^{2} ± a^{2})^{3/2} + C

(17) ∫ x^{3}\sqrt{x^{2} + a^{2}}dx = (\frac{1}{5}x^{2} − \frac{2}{5}a^{2})(a^{2} + x^{2})^{3/2} + C

(18) ∫ \frac{\sqrt{x^{2} − a^{2}}}{x} dx = \sqrt{x^{2} − a^{2}} − a · arc cos \frac{a}{|x|} + C

(19) ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = a · arcsenh\frac{x}{a} + C

(20) ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = ln |x + \sqrt{x^{2} − a^{2}}| + C = arccosh\frac{x}{a} + C, (a > 0)

(21) ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = \frac{1}{a} arc cos \frac{a}{|x|} + C, (a > 0)

(22) ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2} ± a^{2}}} = ∓\frac{\sqrt{x^{2} ± a^{2}}}{a^{2}x} + C

(23) ∫ \frac{xdx}{x^{2} ± a^{2}} = \sqrt{x^{2} ± a^{2}} + C

(24) ∫ \frac{\sqrt{x^{2} ± a^{2}}}{x^{4}} dx = ∓\frac{(a^{2} + x^{2})^{3/2}}{3a^{2}x^{3}} + C

(25) ∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} − a^{2}} − \frac{a^{2}}{2} arccosh\frac{x}{a} + C

1.1.6. Contienen \sqrt{a^{2} ± x^{2}}

(26) ∫ \sqrt{a^{2} − x^{2}}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^{2} − x^{2}} − \frac{a^{2}}{2} arc sen \frac{x}{a} + C, (a > 0)

(27) ∫ x\sqrt{a^{2} ± x^{2}}dx = ±\frac{1}{3}(a^{2} ± x^{2})^{3/2} + C

(28) ∫ x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}dx = \frac{x}{8}(2x^{2} − a^{2})\sqrt{a^{2} − x^{2}} + \frac{a^{2}}{8} arc sen \frac{x}{a} + C, a > 0

(29) ∫ \frac{\sqrt{a^{2} ± x^{2}}}{x} dx = \sqrt{a^{2} ± x^{2}} − a ln |\frac{a + \sqrt{a^{2} ± x^{2}}}{x} | + C

(30) ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = \frac{−\sqrt{a^{2} − x^{2}}}{a^{2}x} + C

(31) ∫ \frac{dx}{\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = arc sen \frac{x}{a} + C, a > 0

(32) ∫ \frac{dx}{x\sqrt{a^{2} − x^{2}}} = −\frac{1}{a} ln |\frac{a + \sqrt{a^{2} − x^{2}}}{x} | + C

(33) ∫ \frac{x}{\sqrt{a^{2} ± x^{2}}} dx = ±\sqrt{a^{2} ± x^{2}} + C

(34) ∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} ± x^{2}}} dx = ±\frac{x}{2}\sqrt{a^{2} ± x^{2}} ∓ \frac{a^{2}}{2} arc sen \frac{x}{a} + C, a > 0

(35) ∫ \frac{dx}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = ln (x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}) + C = arcsenh\frac{x}{a} + C, a > 0

1.1.7. Contienen ax^{2} + bx + c

(36) ∫ \frac{dx}{ax^{2} + bx + c} = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{b^{2}−4ac}} ln |\frac{2ax+b−\sqrt{b^{2}−4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^{2}−4ac}} | = \\ = \frac{2}{\sqrt{b^{2}−4ac}}arctanh\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}−4ac}} + C, & b^{2} > 4ac \\ \frac{2}{\sqrt{4ac−b^{2}}} arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac−b^{2}}} + C, & b^{2} < 4ac \\ −\frac{2}{2ax+b} + C, & b^{2} = 4ac \end{cases}

(37) ∫ \frac{x}{ax^{2} + bx + c}dx = \frac{1}{2a} ln |ax^{2} + bx + c| − \frac{b}{2a} ∫ \frac{dx}{ax^{2} + bx + c} + C

(38) ∫ \frac{x · dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n}} = \frac{bx + 2c}{(b^{2} − 4ac)(n − 1)(ax^{2} + bx + c)^{n−1}} +

+ \frac{b(2n − 3)}{(b^{2} − 4ac)(n − 1)} ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n−1}} , n ≠ 0, 1, b^{2} < 4ac

(39) ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n}} = \frac{2ax + b}{−(b^{2} − 4ac)(n − 1)(ax^{2} + bx + c)^{n−1}} +

+ \frac{2a(2n − 3)}{−(b^{2} − 4ac)(n − 1)} ∫ \frac{dx}{(ax^{2} + bx + c)^{n−1}} , n ≠ 0, 1, b^{2} < 4ac

1.1.8. Contienen \sqrt{ax^{2} + bx + c} (40)

∫ \sqrt{ax^{2} + bx + c}dx = \frac{2ax + b}{4a}\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \frac{4ac − b^{2}}{8a} ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

(41) ∫ \frac{a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} dx Ver §3.5, pág. 11: método alemán

(42) ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} ln |2ax + b + \sqrt{a}\sqrt{ax^{2} + bx + c}| + C =

\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{a}}arcsenh\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac−b^{2}}} + C, & Δ < 0, a > 0; \\ \frac{1}{\sqrt{a}} ln |2ax + b| + C, & Δ = 0, a > 0; \\ \frac{1}{−\sqrt{−a}} arc sen \frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}−4ac}} + C, & Δ > 0, a < 0; \end{cases} , Δ = b^{2} − 4ac

(43) ∫ \frac{x}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = \frac{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}{a} − \frac{b}{2a} ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}

(44) ∫ \frac{dx}{x\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = \begin{cases}\frac{−1}{\sqrt{c}} ln |^{\frac{2\sqrt{c}\sqrt{ax^{2}+bx+c}+bx+2c}{x}} | + C, & c > 0 \\ \frac{1}{\sqrt{−c}} arc sen \frac{bx+2c}{|x|\sqrt{b^{2}−4ac}} + C, & c < 0 \end{cases}

1.2. Funciones trigonométricas

1.2.1. Contienen sen ax

(45) ∫ \frac{dx}{sen ax} = \frac{1}{a} ln |tan \frac{ax}{2}| + C

(46) ∫ sen^{2} axdx = \frac{1}{2} · \frac{ax − cos ax · sen ax}{a} + C = \frac{x}{2} − \frac{sen 2ax}{4a} + C

(47) ∫ sen^{n} axdx = −\frac{sen^{n−1} ax · cos ax}{a · n} + \frac{n − 1}{n} ∫ sen^{n−2} axdx, n ≠ 0, −1;

(48) ∫ sen ax sen bxdx = −\frac{1}{2} \frac{cos(a + b)x}{a + b} − \frac{1}{2} \frac{cos(a − b)x}{a − b} + C, a^{2} ≠ b^{2}

(49) ∫ x^{n} sen axdx = −\frac{1}{a}x^{n} cos ax + \frac{n}{a} ∫ x^{n−1} cos axdx

(50) ∫ \frac{sen ax}{x}dx = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(ax)^{2ν−1}}{(2ν − 1) · (2ν − 1)!}

(51) ∫ \frac{dx}{1 ± sen ax} = \frac{1}{a} tan (\frac{ax}{2} ∓ \frac{π}{4} ) + C

1.2.2. Contienen cos ax

(52) ∫ cos^{2} axdx = \frac{1}{2} · \frac{ax + cos ax · sen ax}{a} + C

(53) ∫ \frac{dx}{cos ax} = \frac{1}{a} ln |tan (\frac{ax}{2} − \frac{π}{4} )| + C

(54) ∫ \frac{cos ax}{x}dx = ln |ax| + ∑_{ν=1}^{∞}(−1)^{ν} \frac{(ax)^{2ν}}{(2ν) · (2ν)!} + C

(55) ∫ cos^{n} axdx = \frac{cos^{n−1} ax · sen ax}{a · n} + \frac{n − 1}{n} ∫ cos^{n−2} axdx+C, n ≠ 0, −1;

(56) ∫ cos ax cos bxdx = −\frac{1}{2} \frac{sen(a − b)x}{a − b} + \frac{1}{2} \frac{sen(a + b)x}{a + b} + C, a^{2} ≠ b^{2}

(57) ∫ x^{n} cos axdx = \frac{1}{a}x^{n} sen ax − \frac{n}{a} ∫ x^{n−1} sen axdx + C, n ≠ −1

(58) ∫ \frac{dx}{1 ± cos ax} = ±\frac{1}{a} tan \frac{ax}{2} + C

1.2.3. Contienen tan ax o cot ax

(59) ∫ tan axdx = −\frac{1}{a} ln cos ax + C

(60) ∫ tan^{2} xdx = tan x − x + C

(61) ∫ tan^{n} axdx = \frac{tan^{n−1} ax}{a(n − 1)} − ∫ tan^{n−2} axdx, n ≠ 1, 0;

(62) ∫ cot axdx = \frac{1}{a} ln sen ax + C

(63) ∫ cot^{n} axdx = −\frac{cot^{n−1} ax}{a(n − 1)} − ∫ cot^{n−2} axdx + C, n ≠ 1, 0;

1.2.4. Contienen sec ax o csc ax

(64) ∫ sec axdx = \frac{1}{a} [ln (cos \frac{ax}{2} + sen \frac{ax}{2}) − ln (cos \frac{ax}{2} − sen \frac{ax}{2})] + C

(65) ∫ sec^{2} axdx = \frac{1}{a} tan ax + C

(66) ∫ sec^{n} xdx = \frac{1}{a} \frac{tan ax · sec^{n−2} ax}{n − 1} + \frac{1}{a} \frac{n − 2}{n − 1} \frac{1}{sec}^{n−2}ax · dx + C, n ≠ 1;

(67) ∫ csc^{2} axdx = −\frac{1}{a} cot ax + C

(68) ∫ csc^{n} axdx = −\frac{1}{a} \frac{cot ax · csc^{n−2}}{n − 1} + \frac{1}{a} · \frac{n − 2}{n − 1} ∫ csc^{n−2} ax·dx+C, n ≠ 1;

1.2.5. Varias funciones

(69) ∫ sec x · tan ax · dx = sec x + C

(70) ∫ csc x · cot x · dx = − csc x + C

(71) ∫ cos^{m} x·sen^{n} x·dx = \begin{cases}\frac{cos^{m−1}x·sen^{n+1} x}{m+n} + \frac{m−1}{m+n} ∫ cos^{m−2} x · sen^{n} x · dx \\ \frac{cos^{m+1}x·sen^{n−1} x}{m+n} + \frac{n−1}{m+n} ∫ cos^{m} x · sen^{n−2} x · dx \end{cases}

1.2.6. funciones trigonométricas inversas

(72) ∫ arc sen \frac{x}{a}dx = x · arc sen \frac{x}{a} + \sqrt{a^{2} − x^{2}} + C, a > 0;

(73) ∫ arc cos \frac{x}{a}dx = x · arc cos \frac{x}{a} − \sqrt{a^{2} − x^{2}} + C, a > 0;

(74) ∫ arctan \frac{x}{a}dx = x · arctan \frac{x}{a} − \frac{1}{a}a ln (1 + \frac{x^{2}}{a^{2}} ) + C, a > 0;

(75) ∫ arccot\frac{x}{a}dx = \frac{1}{a}x · arccot\frac{x}{a} + \frac{a}{2} ln(a^{2} + x^{2}) + C

(76) ∫ x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C

1.3. Funciones exponenciales y/o logarítmicas

(77) ∫ x^{n}e^{ax}dx = \frac{x^{n}e^{ax}}{a} − \frac{n}{a} ∫ x^{n−1}e^{ax}dx

(78) ∫ e^{ax} sen bx · dx = \frac{e^{ax}(a sen bx − b cos bx)}{a^{2} + b^{2}} + C

(79) ∫ e^{ax} cos bx · dx = \frac{e^{ax}(b sen bx + a cos bx)}{a^{2} + b^{2}} + C

(80) ∫ \frac{dx}{a + be^{nx}} = \frac{x}{a} − \frac{ln(a + be^{nx})}{an} + C

(81) ∫ log_{a} xdx = x log_{a} x − \frac{x}{ln a} + C, ∀a > 0;

(82) ∫ x ln xdx = \frac{2x^{2} ln x − x^{2}}{4} + C

(83) ∫ x^{n} ln ax · dx = x^{n+1} [\frac{ln ax}{n + 1} − \frac{1}{(n + 1)^{2}} ] + C

(84)

∫ x^{n}(ln ax)^{m}dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1}(ln ax)^{m}−\frac{m}{n + 1} ∫ x^{n}(ln ax)^{m−1}dx, n, m ≠ −1, x > 0;

(85) ∫ ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;

(86) ∫ \frac{e^{ax}}{x} dx = ln |x| + ∑_{i=1}^{∞} \frac{(ax)^{i}}{i · i!} + C

(87) ∫ e^{ax} ln x · dx = \frac{1}{a}e^{ax} ln |x| − \frac{1}{a} ∫ \frac{e^{ax}}{x} dx + C

(88) ∫ \frac{dx}{ln x} = ln | ln x| + ∑_{i=1}^{∞} \frac{ln^{i} x}{i · i!} + C, x > 0;

(89) ∫ \frac{dx}{x ln x} = ln | ln x| + C, x > 0;

(90) ∫ \frac{ln^{n} x}{x}dx = \frac{1}{x + 1} ln^{n+1} x, n ≠ −1, x > 0;

1.4. Funciones hiperbólicas

(91) ∫ senh axdx = \frac{1}{a} cosh ax + C

(92) ∫ senh^{2} xdx = \frac{1}{4} senh 2x − \frac{1}{2}x + C

(93) ∫ cosh axdx = \frac{1}{a} senh ax + C

(94) ∫ cosh^{2} xdx = \frac{1}{4} senh 2x + \frac{1}{2}x + C

(95) ∫ tanh axdx = \frac{1}{a} ln | cosh ax| + C

(96) ∫ coth axdx = \frac{1}{a} ln | senh ax| + C

(97) ∫ sechxdx = arctan(senh x) + C

(98) ∫ sech^{2}xdx = tanh x + C

(99) ∫ cschxdx = ln |tanh \frac{x}{2}| = −\frac{1}{2} ln \frac{cosh x + 1}{cosh x − 1} + C

(100) ∫ senh x · tanh x · dx = −sechx + C

(101) ∫ cschx · coth x · dx = −cschx + C 1.4.1. funciones hiperbólicas inversas

(102) ∫ arcsenh\frac{x}{a}dx = x arcsenh\frac{x}{a} − \sqrt{a^{2} + x^{2}} + C, a > 0

(103) ∫ arccosh\frac{x}{a}dx = \begin{cases}x arccosh\frac{x}{a} − \sqrt{x^{2} − a^{2}} + C, & arccosh\frac{x}{a} > 0, a > 0; \\ x arccosh\frac{x}{a} + \sqrt{x^{2} − a^{2}} + C, & arccosh\frac{x}{a} < 0, a > 0; \end{cases}

(104) ∫ arctanh\frac{x}{a}dx = x arctanh\frac{x}{a} + \frac{1}{2}a ln(a^{2} − x^{2}) + C

(105) ∫ arccoth\frac{x}{a}dx = x arccoth\frac{x}{a} + \frac{1}{2}a ln(x^{2} − a^{2}) + C

(106) ∫ arcsenh\frac{x}{a}dx = x arcsech\frac{x}{a} − a arc sen \sqrt{1 − \frac{x^{2}}{a^{2}}} + C

(107) ∫ arcsech\frac{x}{a}dx = x arccsch\frac{x}{a} + a arccosh\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}} + C

2. Integrales definidas

(108) ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−qx}dx = \frac{n!}{q^{n+1}} , n > −1, q > 0;

(109) ∫_{0}^{∞} x^{m}e^{−ax^{2}}dx = \frac{Γ[(m + 1)/2]}{2a^{(m+1)/2}},  a > 0
= \frac{n!}{2a^{n+1}} , Si m impar : m = 2n + 1
= \frac{1 · 3 · . . . · (2n − 1)}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{π}{a^{2n+1}}} , Si m par : m = 2n

(110) ∫_{0}^{ϵ} x^{2}e^{−ax^{2}}dx = −\frac{ϵ}{2a}e^{−aϵ^{2}} + \frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a^{3}}} erf(ϵ\sqrt{a})

(111)

∫_{t}^{∞} x^{n}e^{−ax}dx = \frac{n!e^{−at}}{a^{n+1}} (1 + at + \frac{a^{2}t^{2}}{2!} + … + \frac{a^{n}t^{n}}{n!} ) , n = 0, 1, …, a > 0;

(112) ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−ax^{2}}dx = \frac{n − 1}{2a} ∫_{0}^{∞} x^{n−2}e^{−ax^{2}}dx

(113) ∫_{0}^{∞} e^{−ax^{2}}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}

(114) ∫_{0}^{∞} xe^{−ax^{2}}dx = \frac{1}{2a}

(115) ∫_{0}^{x} \frac{dx}{1 − x} = ln \frac{1}{1 − x}

(116) ∫_{0}^{x} \frac{dx}{(1 − x)^{2}} = \frac{x}{1 − x}

(117) ∫_{0}^{x} \frac{dx}{1 + ϵx} = \frac{1}{ϵ} ln(1 + ϵx)

(118) ∫_{0}^{x} \frac{1 + ϵx}{1 − x}dx = (1 + ϵ) ln \frac{1}{1 − x} − ϵx

(119) ∫_{0}^{x} \frac{1 + ϵx}{(1 − x)^{2}} dx = \frac{(1 − ϵ)x}{1 − x} − ϵ ln \frac{1}{1 − x}

(120) ∫_{0}^{x} \frac{(1 + ϵx)^{2}}{(1 − x)^{2}} dx = 2ϵ(1 + ϵ) ln(1 − x) + ϵ^{2}x + \frac{(1 + ϵ)^{2}x}{1 − x}

(121) ∫_{0}^{x} \frac{dx}{(1 − x)(Θ_{B} − x)} = \frac{1}{Θ_{B} − 1} ln \frac{Θ_{B} − x}{Θ_{B}(1 − x)}, Θ_{B} ≠ 1

(122) ∫_{0}^{x} \frac{dx}{ax^{2} + bx + c} = \frac{−2}{2ax + b} + \frac{2}{b}, b^{2} = 4ac

(123)

∫_{0}^{x} \frac{dx}{ax^{2} + bx + c} = \frac{1}{a(p − q)} ln (\frac{q}{p} · \frac{x − p}{x − q}) , b^{2} > 4ac; p, q son las raíces;

(124) ∫_{0}^{x} \frac{a + bx}{c + gx}dx = \frac{bx}{g} + \frac{ag − bc}{g^{2}} ln(c + gx)

3. Métodos de integración

3.1. Integración por partes:

∫ u · dv = u · v − ∫ v · du

3.2. Integración por sustitución:

si x = g(t) es un función que admite derivada contínua no nula y función inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f(g(t))g′(t) se tiene que:

∫ f(x)dx = F (h(x)) + C

3.3. Integración de funciones racionales:

Queremos hallar ∫ \frac{F (x)}{Q(x)}dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la división para obtener ∫ \frac{F (x)}{Q(x)}dx = ∫ C(x)dx + ∫ \frac{R(x)}{Q(x)}dx. La primera integral es inmediata. Para la segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera: Q(x) = a_{0}(x − a)^{p} … (x − a)^{q}[(x − c)^{2} + d^{2}]^{r} … [(x − e)^{2} + f^{2}]^{s} y es única. En tal caso, el integrando del segundo término se puede descomponer como sigue: \frac{R(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{(x−a)^{p}} + \frac{A_{2}}{(x−a)^{p−1}} + … + \frac{A_{p}}{x−a} + … + \frac{B_{1}}{(x−b)^{q}} + \frac{B_{2}}{(x−b)^{q−1}} + … + \frac{B_{q}}{x−b} + \frac{M_{1}x+N_{1}}{((x−c)^{2}+d^{2})^{r−1}} + … + \frac{M_{r}x+N_{r}}{(x−c)^{2}+d^{2}} + … + \frac{H_{1}x+K_{1}}{((x−e)^{2}+f^{2})^{s}} + … + \frac{H_{s}x+K_{s}}{(x−e)^{2}+f^{2}} . Todas las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se obtienen integrales del siguiente tipo:

1. ∫ \frac{dx}{x−a} = ln |x − a| + C

2. ∫ \frac{dx}{(x−a)^{p}} = \frac{1}{(1−p)(x−a)^{p−1}} + C

3. ∫ \frac{Mx+N}{(x−c)^{2}+d^{2}} dx = \frac{M}{2} ln |(x − c)^{2} + d^{2}| + \frac{Mc+N}{d} arctan \frac{x−c}{d} + C

4. \frac{Mx+N}{[(x−c)^{2}+d^{2}]^{r}} dx ⇒ Llamemos I_{r} = ∫ \frac{Mx+N}{[(x−c)^{2}+d^{2}]^{r}} dx y J_{r} = ∫ \frac{dx}{[(x−c)^{2}+d^{2}]^{r}} dx operando se obtiene

I_{r} = \frac{M}{2(1−r)} · \frac{1}{((x−c)^{2}+d^{2})^{r−1}} + (Mc + N) · J_{r}
J_{r} = \frac{1}{d^{2}} J_{r−1} + \frac{x−c}{d^{2}2(1−r)((x−c)^{2}+d^{2})^{r−1}} − \frac{1}{d^{2}2(1−r)}J_{r} − 1

3.4. Método de Hermite

Si Q(x) = (x − a)^{m} … (x − b)^{n} · [(x − c)^{2} + d^{2}] … [(x − e)^{2} + f^{2}] entonces

\begin{matrix}∫ \frac{R(x)}{Q(x)}dx = \frac{U(x)}{(x − a)^{m−1} … (x − b)^{n−1} … [(x − c)^{2} + d^{2}]^{p−1} … [(x − e)^{2} + f^{2}]^{q−1}} + \\ K ∫ \frac{dx}{x − a} + … + L ∫ \frac{dx}{x − b} + ∫ \frac{Cx + D}{(x − c)^{2} + d^{2}} dx + … + ∫ \frac{Ex + F}{(x − e)^{2} + f^{2}} dx \end{matrix}

donde U(x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresión e identificando coeficientes.

3.5. Integración de funciones irracionales algebraicas

Integrales del tipo

∫ R (x, (\frac{ax + b}{cx + d})^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} , …, (\frac{ax + b}{cx + d})^{\frac{ms}{ns}} ) dx | a, b, c, d ∈ ℝ; n_{i}, m_{i} ∈ ℤ; n_{i} ≠ 0

y c y d no se anulan simultáneamente. Se transforma en integral racional mediante el cambio \frac{ax+b}{cx+d} = t^{m} siendo m el mínimo común múltiplo de las n_{i}.

Integrales del tipo ∫ R (x, \sqrt{ax^{2} + bx + c}) dx se consideran los siguientes casos:

1. a > 0 → \sqrt{ax^{2} + bx + c} = ±\sqrt{a} · x + t

2. c < 0 → \sqrt{ax^{2} + bx + c} = ±\sqrt{c} + x · t

3. a, c < 0 → \sqrt{ax^{2} + bx + c} = t · (x − α) siendo α una de las raices del polinomio.

Método Alemán: ∫ \frac{P (x)}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx = Q(x) · \sqrt{ax^{2} + bx + c} + K ∫ \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}} Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes se obtienen derivando la expresión e identificando términos.

Series binómicas: ∫ x^{m}(a + bx^{n})^{p}dx | a, b ∈ ℝ; m, n, p ∈ ℚ. Estas integrales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados.

1. p ∈ ℤ → x = t^{q} donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.

2. \frac{m+1}{n} ∈ ℤ → a + bx^{n} = t^{q} siendo q el denominador de p.

3. \frac{m+1}{n} + p ∈ ℤ → \frac{a+bx^{n}}{x^{n}} = t^{q} siendo q el denominador de p.

En cualquier otro caso se puede expresar como función elemental.

3.6. Integración de funciones trascendentes

Si R(u) es una función racional y u = f(x) es una función que admite función inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f(x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f(x) = t′′.

3.7. Integración de funciones trigonométricas

Integración de ∫ R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan \frac{x}{2} = t con lo que sen x = \frac{2dt}{1+t^{2}} , cos x = \frac{1−t^{2}}{1+t^{2}} , dx = \frac{2t}{1+t^{2}} . En elgunos casos se pueden intentar otros cambios:

1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t 2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t 3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t Integrales del tipo I_{m,n} = ∫ sen^{m} x^{n}·x·dx se puede reducir de las siguientes formas:

1. I_{m,n} = \frac{sen^{m+1} x·cos^{n−1} x}{m+1} + \frac{n−1}{m+1}I_{m+2,n−2}, m ≠ −1

2. I_{m,n} = \frac{sen^{m+1} x·cos^{n−1} x}{m+n} + \frac{n−1}{m+n}I_{m,n−2}, m + n ≠ 0

3. I_{m,n} = −\frac{sen^{m−1} x·cos^{n+1} x}{m+1} + \frac{m−1}{n+1}I_{m+2,n+2}, m ≠ −1

4. I_{m,n} = −\frac{sen^{m−1} x·cos^{n+1} x}{m+n} + \frac{m−1}{m+n}I_{m−2,n}, m + n ≠ 0

5. I_{m,n} = −\frac{sen^{m+1} x·cos^{n+1} x}{n+1} + \frac{m+n−2}{n+1}I_{m,n+2}, n ≠ −1

6. I_{m,n} = \frac{sen^{m+1} x·cos^{n+1} x}{m+1} + \frac{m+n−2}{m+1}I_{m+2,n+2}, m ≠ −1

4. Ecuaciones diferenciales ordinarias

4.1. Ecuaciones diferenciales lineales

y′ + p(x)y = q(x) ⟹ y = e^{− ∫ (x)dx} (∫ q(x)e^{∫ p(x)dx} + C)

τy′ + y = p(t) ⟹ y = e^{−t/τ} (\frac{1}{τ} ) ∫_{0}^{t} p(t)e^{t/τ} dt + y_{0}

5. Solución numérica de ecuaciones diferenciales

5.1. Método de Runge-Kutta de cuarto orden

y′ = f(x, y) → y_{i+1} = y_{i} + \frac{1}{6}(k_{1} + 2k_{2} + 2k_{3} + k4)h

\begin{matrix}k_{1} = f(x_{i}, y_{i}) & k_{2} = f(x_{i} + h/2, y_{i} + k_{1}h/2) \\ k_{3} = f(x_{i} + h/2, y_{i} + k_{2}h/2) & k_{4} = f(x_{i} + h, y_{i} + k_{3}h) \end{matrix}