Razones Trigonométricas

1. Relaciones entre las razones del mismo ángulo

sen^{2} α + cos^{2} α = 1 tg α = \frac{sen α}{cos α} cotg α = \frac{1}{tan α} sec α = \frac{1}{cos α} csc α = \frac{1}{sen α} 1 + tg^{2} α = sec^{2} α 1 + cot^{2} α = csc^{2} α arc tg α = arc cos \frac{1}{\sqrt{1 + α^{2}}} = arc sen \frac{α}{\sqrt{1 + α^{2}}}

2. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

cos(α ± β) = cos^{2} α · cos β ∓ sen α · sen β cos(α ± β) = sen^{2} α · cos β ± cos α · sen β

tg(α ± β) = \frac{tg α ± tg β}{1 ∓ tg α · tg β} cot(α ± β) = \frac{cot α cot β ∓ 1}{cot α ± β}

3. Razones trigonométricas del ángulo múltiple

cos 2α = cos^{2} α − sen^{2} α = 1 − 2 · sen^{2} α = 2 · cos^{2} α − 1 tg 2α\frac{2 · tg α}{1 − tg^{2} α} sen 2α = 2 sen α · cos α sen 3α = 3 sen α − 4 sen^{3} α cos 3α = 4 cos α − 3 cos^{3} α

sen 4α = cos(4 sen α − 9 sen^{3} α) cos 4α = 8 cos^{4} α − 8 cos^{2} α + 1

4. Razones trigonométricas del ángulo mitad

sen \frac{α}{2} = ±\sqrt{\frac{1 − cos α}{2}} cos \frac{α}{2} = ±\sqrt{\frac{1 + cos α}{2}} tg \frac{α}{2} = ±\sqrt{\frac{1 − cos α}{1 + cos α}}

5. Suma y resta de razones trigonométricas

sen α ± sen β = 2 · sen \frac{α ± β}{2} · cos \frac{α ∓ β}{2} cos α + cos β = 2 · cos \frac{α + β}{2} · cos \frac{α − β}{2}

cos α − cos β = −2 · sen \frac{α + β}{2} · cos \frac{α − β}{2} tg α ± tg β = \frac{sen(α ± β)}{cos α · cos β}

6. Potencias de razones

sen^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(1 − cos x) cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}(1 + cos x) sen^{3} x = \frac{1}{3}(3 sen x − sen 3x) cos^{3} = \frac{1}{4}(cos 3x + 3 cos x) sen^{4} x = \frac{1}{8}(cos 4x − 4 cos 2x + 3) cos^{4} = \frac{1}{8}(cos 4x + 4 cos 2x + 3)

7. Producto de razones trigonométricas

2 sen α sen β = cos(α − β) − cos(α + β) 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)

2 sen α cos β = sen(α + β) + sen(α − β)

sen^{2} α − sen^{2} β = sen(α + β) sen(α − β) = cos^{2} β − cos^{2} α
cos^{2} α − sen^{2} β = cos(α + β) cos(α − β) = cos^{2} β − sen^{2} α