CAFÉ CON FÍSICA

Iván Martí Vidal

Editado por

ISBN: 9788415119531

ISBN: 9788415119548

Antequera, 2

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Al rei de casa (perleta divina!) i al iaio Rafael.

Introducción

Hazlo todo tan simple como sea posible, pero no más simple.

(A. Einstein)

Gracias a los avances tecnológicos y científicos de los últimos siglos, nuestros conocimientos acerca del Universo han dado en poco tiempo muchos cambios bruscos en su evolución. Tantos, que el ciudadano medio le ha perdido la pista a la imagen que la Física Moderna tiene actualmente de la Naturaleza. Hoy en día, y gracias a la avanzada tecnología de que disponemos, somos capaces de entrar en contacto directo con regiones de la realidad (como el mundo de lo muy pequeño o el de lo muy rápido) que antaño estaban vetadas a nuestros sentidos. Para nuestra enorme sorpresa, la Naturaleza nos mostró que cuando nos vamos a esas regiones de la existencia, para muchos aún inexploradas, se comporta de manera muy distinta a como en un principio podríamos haber imaginado a partir de nuestros conocimientos sobre el mundo cotidiano. Personalmente, me gusta ver este hecho con la ayuda de una metáfora geométrica, que podemos ver en la figura 1.

FIGURA 1 La realidad, vista como una curva más allá de la accesibilidad de nuestros sentidos.

Si la Naturaleza pudiese representarse como una línea curvada, la zona a la que son accesibles nuestros sentidos sin la ayuda de la tecnología (es decir, el mundo de lo cotidiano) sería una pequeña porción de esa curva; la línea mostrada en la figura 1(a). Si pidiéramos a alguien que sólo hubiese visto esa parte del mundo que nos describiese cómo se comporta la Naturaleza en regiones fuera de la accesibilidad de sus sentidos, probablemente nos dibujaría la porción discontinua que vemos en la figura 1(b). La realidad, en cambio, sería muy distinta a esa extrapolación lógica hecha a partir de nuestros conocimientos sobre el mundo ordinario, como vemos en la figura 1(c).

Un ejemplo de esta metáfora geométrica es la imagen que la mayoría de la gente tiene del tiempo, viéndolo como una entidad absoluta que fluye en una única dirección, de manera homogénea, independientemente de quien lo mida. Esta visión, que en el mundo de lo cotidiano parece describir bien el comportamiento de la Naturaleza, falla cuando nos vamos a velocidades enormes o a campos gravitatorios muy intensos, tal y como veremos a lo largo del libro.

Existen muchísimos más ejemplos en los que la Naturaleza cambia radicalmente su comportamiento cuando nos salimos del mundo cotidiano. Es posible que incluso la lógica misma, grabada a fuego en nuestras mentes y con la que procesamos nuestro conocimiento y aprehendemos de nuestras experiencias, pierda su validez cuando nos adentramos en las condiciones extremas de la existencia. En el mundo de lo muy pequeño, puede que una vuelta entera ya no sea de 360 grados, o puede que un objeto sea capaz de estar en varios sitios al mismo tiempo (o en infinitos sitios al mismo tiempo), de chocar y de interferir consigo mismo, o de atravesar fantasmagóricamente a otros objetos. ¡Incluso puede darse el caso de que dos conclusiones contradictorias no tengan por qué ser excluyentes! También es posible que en el mundo de lo muy rápido y lo muy energético el espacio y el tiempo se deformen, pasando el tiempo a fluir de manera distinta en los distintos puntos del espacio y el espacio a encogerse y estirarse en distintos puntos de sí mismo. Incluso puede que, en circunstancias especialmente extremas, el tiempo pase a comportarse como si fuera un espacio y el espacio como si fuera un tiempo...

Todos estos comportamientos que la Naturaleza nos muestra a escalas inalcanzables a nuestros sentidos desnudos tendemos a verlos como exóticos o patológicos, pero no hay nada más falso que eso. El lector se sorprendería si le escribiese una lista de todos los dispositivos tecnológicos que usa en su vida diaria y que están íntimamente relacionados con esas partes exóticas de la Naturaleza. Un físico que convive diariamente con la Relatividad y la Mecánica Cuántica, trabajando sobre ellas de manera continuada, llega a convertir estas partes exóticas de la realidad en su universo cotidiano y los comportamientos más asombrosos de la Naturaleza devienen para él lo más normal del mundo... Sin dejar de sentirse, no obstante, continuamente rodeado de una atmósfera repleta de asombro y fascinación. Y esa atmósfera es una de las cosas que hacen de la Física una de las más bellas fuentes de conocimiento a la que podemos tener acceso.

La aspiración por empaparse de ese asombro y fascinación es por la que espero que el lector decida emprender y acabar conmigo el maravilloso viaje a través del espacio y el tiempo, desde lo más grande hasta lo más pequeño, que estamos a punto de empezar. Espero que este viaje le ayude a tener una visión del Universo mucho más amplia que aquella a la que estamos limitados por nuestros sentidos desnudos, haciendo de esa visión su nuevo universo cotidiano y adquiriendo un nivel de conocimiento de la realidad al que por desgracia sólo suele acceder una minoría de la población.

El conocimiento científico que nos ofrece el privilegio de acceder a estos maravillosos rincones de la Naturaleza es propiedad de toda la Humanidad, pues somos los humanos, independientemente de raza o país de origen, los que lo hemos creado y seguimos enriqueciéndolo día tras día. Es por ello que todos los seres humanos tenemos derecho a conocer mejor las maravillas que nos muestra la Naturaleza y que desde siempre nos han fascinado, tanto a los profanos como a aquellos que hemos tenido la oportunidad de aprender de manera profesional sobre ellas.

¿Quién no se ha maravillado nunca al ver el firmamento? ¿Quién no se ha preguntado nunca nada acerca de la estructura del Universo y de las leyes que lo hacen ser como es y no de otra forma? Hay muchas personas que se frustran al ver que las respuestas a las preguntas que todos nos hemos hecho al menos una vez en nuestra vida suelen tener forma de complejas fórmulas matemáticas y de abstractas ideas y tecnicismos. Después de la frustración, en algunos casos sigue un peligroso sentimiento de sumisión a la ignorancia.

La Física y todo el conocimiento que de ella deriva no tiene por qué ser elitista ni estar restringida a la comprensión de unos pocos. De hecho, todo físico que se enfrente a cualquier pregunta a la que no sea capaz de dar respuesta de una manera distinta a una fórmula matemática y rebuscada jerga elitista, realmente estará demostrando que no comprende lo que cree comprender. La Física, realmente entendida, puede ser explicada a los curiosos con un lenguaje llano, usando las manos como fórmulas y los ejemplos como jerga. Y ese es el verdadero arte de la divulgación.

Pero ese arte no es sencillo de ejercer. En ocasiones, se intenta simplificar demasiado las ideas, de manera que muchas veces se llega a falsear lo que se dice. Además, la Física Moderna contempla ideas tan innovadoras para nuestras pobres mentes que es muy fácil malinterpretarlas y caer en errores, como a mí mismo me ha pasado en más de una ocasión. Durante los casi 8 años que llevo corrigiendo, refinando, dejando y retomando la escritura de este libro, he ido encontrando ciertas ideas y conceptos equivocados, concernientes a la Relatividad, la Cosmología o la Física Cuántica, que se han extendido no sólo entre el público profano, sino también entre algunos profesionales de la investigación. Algún que otro capítulo ha tenido que ser, de hecho, reescrito debido a esto, tras intensas y memorables interacciones con distintos compañeros y colegas, expertos cada uno de ellos en alguno de los temas tratados. A lo largo del libro, intento exponer de la forma más rigurosa (pero sencilla) posible las sutilezas que se ocultan detrás de varias de esas extendidas falacias. En mi opinión, esto le da un cierto valor añadido al resultado.

Este libro es un largo diálogo entre un físico y unos curiosos niños y adolescentes que le asaltan con todo tipo de preguntas inquietantes, todas ellas relacionadas con la Física Moderna. Muchas partes del diálogo están basadas en conversaciones reales que yo mismo tuve con gente interesada en Física, como Diana, mi mujer, a la que debo la fuerza de voluntad y la ilusión que me han ayudado a acabar de escribir este libro. El hecho de que parte del libro esté basado en conversaciones reales puede hacerle parecer al lector que no hay demasiada continuidad lógica entre los capítulos. Tampoco he pretendido escribir un libro monográfico que exprima buena parte del jugo divulgativo que pueda sacársele a la Relatividad, a la Cosmología o a la Física Cuántica. Mi deseo original fue, y continúa siendo, muy distinto; he pretendido hacer una especie de collage con muchas de las ideas que personalmente he encontrado más fascinantes en la Física Moderna, dándole al contenido un aire multicolor (aunque organizado) y tratando de maximizar el asombro del lector a cada página que vaya pasando. Puesto que, debido a esto, el contenido de algunos capítulos sobrepasa ligeramente el típico nivel en los escritos divulgativos, quienes más disfrutarán de este libro serán, seguramente, los estudiantes (especialmente a nivel de Secundaria) y los asiduos lectores de divulgación. De hecho, debido a la cantidad de temas que he querido tratar, he sacrificado la explicación detallada de algunos conceptos más básicos (o más comunes en los libros de divulgación), como el Principio de Incertidumbre de Heisenberg o la Ley de Hubble. No obstante, el premio que se consigue al presuponer una cierta base de conocimiento por parte del lector es un libro en el que he podido centrarme mejor en conceptos más avanzados (a la vez que extraordinariamente bellos y sutiles) de la Física Moderna, como la idea de los invariantes relativistas, el Teorema de Noether y sus consecuencias, la no-conservación de la energía en espacio-tiempos dinámicos o la no-localidad de la Teoría Cuántica, por poner unos ejemplos.

El estilo de diálogo le da mayor frescura al libro y lo hace menos cansino y más divertido de leer. Aún así, reconozco que la lectura de este libro no es nada fácil. Leerlo de manera continuada y sin pausas puede llegar a ser bastante contraproducente, convirtiendo su lectura en algo enrevesado y pesado en lugar de algo divertido y constructivo. Un libro de divulgación no debería leerse como una novela, especialmente cuando su contenido es denso (¡como es el caso!). Si en algún momento siente que las palabras que lee se le empiezan a escapar de la cabeza, concédase el placer de cerrar los ojos y meditar sobre todo lo que está aprendiendo. Incluso si va entendiendo todo lo que lee, concédase también el placer de cerrar el libro y meditar sobre lo que ha leído. A las ideas que he ido metiendo en estas páginas todavía se les puede sacar muchísimo partido con una buena dosis de paciencia, curiosidad y meditación. Para entender algo realmente bien hay que masticarlo, doblarlo, retorcerlo, ablandarlo... Es por ello que le aconsejo que a cada pequeño conjunto de páginas que vaya pasando se detenga un ratito para darle vueltas a aquello que le haya parecido más curioso. ¡Le aseguro que puede ser una experiencia muy constructiva! En mis años pre-universitarios, fui muy aficionado a leer divulgación y empezar a dar vueltas y vueltas a las ideas más fabulosas que después de mucho esfuerzo conseguía meterme en la cabeza; y no me arrepiento en absoluto de ninguno de aquellos minutos, de ninguna de aquellas horas, que me pasé pensando una y otra vez acerca de algunos extraordinarios misterios de la Física, en una atmósfera de placer intelectual sin límites y una fuerte y satisfactoria realización personal.

Después de esta introducción, sólo me queda desearle que disfrute y se divierta con todo lo que le queda por descubrir en las páginas que siguen. ¡Ah! ¡Y que en ningún momento le desanime la primera frase del capítulo que viene!

1. Una visita inesperada

“¡¡Pues yo no lo entiendo!!” era el grito que desde el interior de la casa había llegado unas cuantas veces a oídos de Xelo, poco antes de que la pequeña llegara a la puerta y llamara al timbre. Se sentía más mayor desde que llegaba cómodamente al botón sin tener que ponerse de puntillas. Unos segundos después de llamar, Diana le abrió la puerta lentamente, cargando entre sus manos una bandeja de aluminio repleta de pastelitos y unas cuantas piezas de café. La pobre Diana no le quitaba el ojo a la bandeja, mirándola concentrada para que nada le cayese al suelo.

—¡Ah! ¿Ya has llegado del colegio? —preguntó Diana.

—Mamá, me ha parecido oír a Óscar gritando hace un momento —susurró Xelo, sin hacer caso a la pregunta de su madre.

—¡Ah! Es que tu hermano está charlando con vuestro tío Alberto, y ya sabes cómo se pone cuando habla de esas cosas que le gustan a él —respondió Diana mientras daba la vuelta en dirección a la salita de estar, a mano derecha de la entrada, dejando que Xelo cerrase la puerta al entrar.

—¿El tío Alberto? —preguntó Xelo con el ceño fruncido, al tiempo que cerraba la puerta y empezaba a quitarse la pesada mochilita de la espalda.

—Es normal que no te acuerdes de él. Ya han pasado ocho años desde la última vez que le viste y ahora nos ha hecho una visita sorpresa —le respondió su madre, llegando ya frente a la puerta cerrada de la sala de estar.

Era normal que Xelo no supiera nada de aquel tío Alberto. No debería tener más de dos años cuando se vieron ella y el tío por última vez, según decía su madre. Diana abrió la puerta de la salita con el dedo meñique izquierdo, el único que parecía quedarle libre al cargar con aquella bandeja. Lo que parecían ser unos murmullos con tonos variados desde el otro lado de la habitación se convirtieron en claras palabras cuando Diana empujó la puerta con la bandeja para abrirse paso hacia la mesa, al fondo de la habitación.

Justo frente a la ventana con blancas cortinas, y rodeada de recargado mobiliario con toque coqueto, estaba la mesita redonda donde Diana solía tomar café con las amigas a primeras horas de la tarde, recién llegada de la oficina. Pero aquella tarde, quienes había sentados alrededor de la mesa no eran precisamente las amigas de Diana. Xelo reconoció a Óscar y a dos de sus amigos, Carlos y Nicolás, sentados junto a un hombre con gafas de unos treinta y pocos años, vestido más bien a la antigua con un chaleco oscuro y pantalones de pana. Mientras aquel hombre hablaba con los muchachos, haciendo gesticulaciones con las manos y mirándolos fijamente, se le podía entrever una leve sonrisa que inspiraba bienestar. Los muchachos le miraban con los ojos muy abiertos, como si aquel hombre les estuviese hipnotizando con sus palabras. Xelo apenas prestó atención a lo que estaban hablando, ya que toda su concentración estaba dirigida a estudiar con todo detalle la figura de aquel desconocido personaje.

Óscar, el hermano mayor de Xelo, había empezado el instituto ese mismo año. Desde pequeño tenía muy claro que de mayor quería ser científico, incluso antes de saber con claridad lo que esa palabra significaba. Hacía poco que había empezado a llevar gafas, que le daban un aire de empollón que disimulaba quitándoselas de vez en cuando para juguetear metiéndose las varillas en la boca. No le fue difícil a Xelo encontrar un cierto parecido entre las facciones de su hermano y las de aquel hombre misterioso. Carlos y Nicolás, los amigos de Óscar, tenían más o menos la misma edad que éste y ambos tenían una complexión parecida, siendo mucho más delgados que el rechonchete de Óscar.

—Alberto, ¿a que no reconoces a Xelo? —preguntó Diana con un tono muy alegre, como si hubiese estado toda la tarde deseando poder hacer por fin esa pregunta.

—¡¡¿La pequeña Xelo?!! —respondió rápidamente el tío Alberto con una dulce voz, rompiendo la conversación que se estaba desarrollando segundos antes. Los chicos se miraron entre ellos con caras repletas de impaciencia, deseando que acabase pronto el protocolo de presentación entre el tío Alberto y Xelo para poder continuar con el tema que estaban tratando -. ¡Vaya! ¡Pero si la última vez que te vi apenas podías pronunciar dos palabras seguidas!

—¡Pues ya ves cómo ha crecido! —dijo Diana, orgullosa. Seguidamente, se dirigió a Xelo -. Este hombre es tu tío Alberto, el hermano de tu padre, que hace unos ocho años se fue a trabajar a Alemania como astrónomo. —Los ojos de Xelo se llenaron de sorpresa. ¡Nunca se había imaginado que algún familiar suyo fuese astrónomo! Su padre era aficionado a la Astronomía e incluso le había enseñado ya a Xelo los nombres de algunas constelaciones... ¡Pero de ahí a dedicarse por completo al estudio del Universo hay todo un abismo! Seguidamente, se dirigió a Alberto —También has vivido en Estados Unidos, Australia y Japón, ¿no es así, Alberto?

—Mucho mundo he tenido que recorrer para poder vivir de la Astronomía, y me entristece no haber podido venir a visitaros en todo este tiempo... Pero, aunque suene algo egoísta, no cambiaría mi vida por nada. ¡Estoy enamorado de la Física y la Astronomía! ¿Te gusta la Astronomía, Xelo? —le preguntó el tío Alberto con una enorme sonrisa en sus labios.

—Sí —respondió Xelo con timidez.

Después de las presentaciones de turno y de una pequeña conversación acerca de la vida del tío Alberto en Alemania y de lo mucho que Xelo había crecido, Diana abandonó la habitación dejando a los tres muchachos, a Xelo y al tío Alberto solos en la salita mientras ella se iba a preparar la cena a la cocina. Xelo se sentó justo a la izquierda del tío Alberto y los otros tres muchachos se unieron en la parte contraria de la mesita. El tío Alberto se llenó una tacita de café mientras los jóvenes se servían una buena dosis de pastelitos y leche caliente.

Tras unos escasos segundos de silencio, Óscar, con su chillona voz, retomó el tema de conversación que habían dejado minutos antes.

2. Vacío, espacio y tiempo

—Tío Alberto, —empezó Óscar con tono severo —¡yo no comprendo cómo es posible que el vacío, la nada, pueda tener propiedades físicas, ni mucho menos que esas propiedades se puedan medir! ¡La nada no puede tener ninguna propiedad de ningún tipo, porque sencillamente no es nada!

Ante aquella frase de Óscar, la pobre Xelo no supo qué cara poner. ¿De qué diantre estaban hablando? El tío Alberto, al ver la cara que había puesto la pobre niñita, intentó hacer una pequeña recapitulación de lo que les había dicho a los muchachos poco antes de llegar Xelo, como si aquello pudiese hacer comprender mejor a la pobre chiquilla el tema que estaban tratando.

—Volvamos al principio, chicos —dijo el tío después de beber un sorbo de café -. Cuando Carlos me ha preguntado qué es eso de la “Física” a lo que yo me dedico, mi respuesta ha sido casi tan genérica y amplia como todo lo que abarca esa rama del saber. La Física es la parte de la Ciencia que estudia las características de (y describe las interacciones entre) la materia y la energía que llenan el Universo. De hecho, esa definición se queda corta, ya que la Física no se dedica solo a estudiar lo que llena el Universo, sino también al Universo mismo; no solo la materia y la energía, sino también el tiempo y el espacio (sí, sí; incluso el vacío mismo, con todas sus asombrosas propiedades físicas). Materia, energía, espacio y tiempo son las notas musicales que componen la sinfonía de la Física.

>> Llegados a este punto de mi definición, Óscar me ha interrumpido (cosa que agradezco; por favor, interrumpidme siempre que queráis preguntarme algo), mostrándose bastante inquieto ante la idea de que eso que llamamos espacio, o vacío, tenga propiedades que los físicos pueden medir y estudiar. De hecho, viendo vuestras caras, creo que todos estáis compartiendo esa misma inquietud. Pues bien, como nos sobra tiempo para charlar, voy a aparcar la definición de Física y a desviar el tema de la conversación para satisfacer vuestra sana curiosidad. ¡Veamos qué es eso de las propiedades del vacío!

Durante unos segundos, se hizo el silencio. El tío Alberto apoyó los codos sobre la mesa. Seguidamente, comenzó la discusión con voz lenta y profunda, acompañando las palabras con un ligero movimiento de sus manos.

—En el mundo existen varios tipos de fuerzas; varios tipos de interacciones que hacen que los cuerpos se atraigan o se repelan entre sí. Tenemos, por ejemplo, la fuerza magnética, que es la que hace que un imán pueda atraer a otros imanes y a ciertos metales. También tenemos la fuerza gravitatoria, que es la que hace que cualquier cuerpo masivo sea capaz de atraer a todos los demás cuerpos hacia él.

>> Si os fijáis bien, todas estas fuerzas tienen algo en común: son capaces de actuar a distancia. Con esto quiero deciros que cuando, por ejemplo, un imán atrae a otro imán, podemos ver que ambos objetos tienden a unirse, pero lo que no hay forma de ver es qué está haciendo que los imanes se unan. Nadie ha visto nunca que a un imán le salgan manos que agarren a los otros imanes, sino que la atracción entre imanes se ejerce de una manera invisible y misteriosa. Es como si los imanes fuesen capaces de saber si cerca de ellos se encuentra otro imán, sin nada material que los una.

—¿Como si tuviesen telepatía? —preguntó Xelo, con ingenuidad, obteniendo risas de Óscar y sus amigos como respuesta.

—¡Je, je, je! ¡Esa es una forma muy original de interpretarlo! —respondió el tío Alberto con una sonrisa mientras tomaba otro sorbo de café -. Aunque, desde luego, un imán no puede pensar ni tener telepatía. Esta manera de hablar es muy poco rigurosa y debe usarse únicamente para resaltar el hecho de que la fuerza magnética, al igual que las otras fuerzas, no necesita de ningún medio material para propagarse; no necesita de unas manos que les salgan a los imanes para agarrarse los unos a los otros, sino que dos imanes en mitad del espacio son capaces de sentir una fuerza mutua que atraviesa el vacío que los separa, actuando sobre ellos sin que haya nada que aparentemente los una.

>> Cuando los físicos trataron de teorizar acerca del comportamiento de los cuerpos sometidos a este tipo de fuerzas a distancia, acabaron por inventar lo que llamamos campos. En el lenguaje de la Física, un campo es una entidad que está definida en una región del espacio, independientemente de que haya o no algo material que llene dicho espacio. En cada punto del espacio, y para cada instante del tiempo, un campo toma un valor determinado. Los campos pueden estar definidos en el vacío (como si fuesen una propiedad inherente al espacio mismo) o en un medio material (y depender de las propiedades del medio donde se encuentren). La idea de campo se usa en muchas ramas de la Física, desde el Electromagnetismo hasta la Física Cuántica.

>> De acuerdo con esta idea, un imán es capaz de engendrar un campo magnético que llena el espacio, dotando al vacío de propiedades magnéticas que hacen sentir a los otros imanes una fuerza que los atrae hacia él (o los repele de él). Hasta la primera mitad del Siglo XX, los científicos fueron reacios a aceptar que el espacio vacío pudiese tener las propiedades físicas que le permitieran albergar campos, por lo que propusieron que el espacio donde hubiese campos no podía estar realmente vacío; debía estar lleno de algo que fuese el contenedor real de los campos de cualquier índole; algo a lo que los imanes fueran capaces de afectar (y que también fueran capaces de sentir); una especie de soporte invisible para los campos magnéticos, eléctricos o gravitatorios —Óscar cambió ligera y nerviosamente su postura sobre la silla, como si su tío hubiese dicho exactamente lo que él opinaba -.

>> Muchos físicos de hace un par de siglos eran incapaces de aceptar que pudiesen existir campos magnéticos, eléctricos o gravitatorios que llenasen en el vacío sin ningún soporte material que los contuviese. ¿Existen, entonces, realmente los campos en el vacío, o es que acaso el vacío no está vacío, albergándose los campos en alguna sustancia misteriosa que llena todo el espacio?

>> La hermosa y definitiva respuesta a esta pregunta vino de la mano de Albert Einstein, cuando interpretó debidamente los resultados a los que llegó James Clerk Maxwell cuando formuló su Electromagnetismo. Maxwell consiguió describir, usando un único conjunto de fórmulas, tanto la fuerza eléctrica como la magnética, llegando a la conclusión de que un campo eléctrico que variara con el tiempo era capaz de engendrar un campo magnético, también variable con el tiempo, que a su vez podría generar un campo eléctrico variable con el tiempo... y así hasta el infinito. En definitiva, Maxwell descubrió que los campos electromagnéticos tenían la propiedad de propagarse por el espacio, algo así como regenerándose a sí mismos a partir de una fuente inicial. Cuando calculó la velocidad a la que dichos campos se debían propagar por el espacio, vio que tal velocidad era exactamente igual a la de la luz. Y aquello no era una pura casualidad, ya que, como se vería tiempo después, la luz es en realidad un campo electromagnético. Así pues, Maxwell descubrió que los campos electromagnéticos no sólo son capaces de almacenar y propagar energía, sino que, incluso, pueden ser vistos, literalmente hablando, ya que la luz misma es un campo electromagnético.

>> Posteriormente, Einstein postuló, por razones que os explicaré dentro de un rato, que la radiación electromagnética no necesitaba de ningún soporte para propagarse (un soporte ficticio al que los físicos llamaban éter luminífero), y que el vacío mismo era quien albergaba las propiedades electromagnéticas necesarias para que la luz pudiese propagarse a través de él. Ese postulado llevó a una revisión profunda de nuestros conceptos sobre el espacio y el tiempo; una revisión que cambió radicalmente la Física de principios del Siglo XX. El espacio y el tiempo ya no serían algo absoluto e independiente del observador, sino que afectarían a (y serían afectados por) la materia y la energía que llenan el Universo.

—Pues yo no estoy de acuerdo con esas conclusiones sobre el espacio y el tiempo —dijo Nicolás -. En mi opinión, hay una clara diferencia entre la auténtica realidad y el modelo matemático que los físicos hacen de ella (usando campos y cosas de esas). Según Kant, filósofo que estamos estudiando Óscar y yo este trimestre en el instituto, puede que incluso el espacio y el tiempo existan únicamente dentro de nuestras mentes, ya que tanto el espacio como el tiempo podrían no ser más que un reflejo de nuestra forma de ver el mundo; algo así como un producto de nuestra estructura mental.

El tío Alberto miró a Nicolás sonriente.

—La Filosofía no es realmente lo mío, Nicolás —respondió -. Yo me limito a llegar a conclusiones a partir de lo que veo, ya sea a través de mis ojos o de los aparatos con los que me puedo ayudar; yo no hago castillos en el aire pensando en Metafísica, sino que prefiero poner los pies en el suelo basando mis conclusiones únicamente en los resultados experimentales, es decir, en lo que la Naturaleza nos dice. Y ahora que has mencionado al espacio y al tiempo —añadió -, dudando incluso de su existencia física como hacía Kant, voy a intentar mostrarte que no puedes estar más equivocado.

>> Hubo algunos pensadores antiguos que calificaron al espacio y al tiempo como productos de nuestra mente, sin mayor realidad física que un simple número; se llegó a creer que las ideas de espacio y tiempo eran fruto de nuestra estructura mental, o nuestra forma de ver y medir la Naturaleza. Estas posturas fueron de algún modo debidas a la idea que los científicos y filósofos de aquel entonces tenían sobre el espacio y el tiempo. Durante siglos, el espacio fue considerado únicamente como la bandeja sobre la que se definía la Física; como el contenedor que almacenaba al Universo. Por su parte, el tiempo era considerado como una entidad que fluía monótonamente en todo el espacio; como el responsable de la evolución del contenido del Universo. El tiempo se consideraba universal e inmutable, afectando de la misma forma a todo lo que existiese. Estas cualidades de persistencia, independencia y homogeneidad, que se les atribuía tanto al espacio como al tiempo, eran idóneas para que hubiese pensadores que se plantearan si su existencia misma podría ser ajena, o no, a nuestras mentes.

>> ¡Y nada hay más lejos de la realidad que las ideas antiguas sobre el espacio y el tiempo! Hoy en día sabemos que el espacio-tiempo no es la imperturbable bandeja sobre la que evoluciona el Universo, sino mucho más que eso. El espacio-tiempo es una variable más en la evolución de todo lo que existe; colabora en la dinámica de los cuerpos. El espacio-tiempo afecta a, y es afectado por, la materia y la energía. Una distribución de masa es capaz de deformar el espacio-tiempo, haciendo que el tiempo fluya de manera distinta en distintos puntos del espacio y que el espacio se estire y se contraiga en distintos puntos de sí mismo. Así pues, un cuerpo masivo, como la Tierra, es capaz de hacer que el tiempo en su superficie corra más lentamente que en el espacio vacío, como si la Tierra, con su masa, estuviese siendo capaz de repeler al tiempo de sí.

>> Y estos efectos de deformación del espacio y el tiempo son tan reales como la vida misma, y ya han sido comprobados y chequeados centenares de veces desde que Einstein formuló su Teoría de la Relatividad General. De hecho, la Relatividad es una teoría ya tan corroborada y aceptada, que ha dado el gran salto de ser un objetivo a chequear a convertirse en una herramienta para comprobar otras teorías (lo cual no significa que hoy en día no se siga experimentando para corroborar, una y otra vez, los postulados básicos de la Relatividad). De hecho, actualmente la Relatividad no sólo se usa en aplicaciones puramente científicas, sino también tecnológicas. Así, por ejemplo, el sistema GPS (Global Positioning System) que usan los barcos e incluso los coches más modernos para encontrar su posición en la Tierra está basado en transmisiones vía satélite que son procesadas teniendo en cuenta correcciones relativistas. Si no se usaran las fórmulas de la Relatividad de Einstein en el procesado de las señales GPS, la precisión del sistema sería inferior a 10 kilómetros cuadrados. Hoy en día, el sistema GPS es capaz de situar a alguien en la Tierra con una precisión de un metro cuadrado. ¡Fijaos lo importantes que son las correcciones relativistas para el sistema GPS! Asimismo, la Relatividad Especial se usa ya como herramienta en el diseño de los grandes aceleradores de partículas, como el Large Hadron Collider (LHC) de Ginebra (Suiza); aceleradores destinados tanto a estudiar las partes más pequeñas de la materia como a curar tumores cerebrales.

>> Nadie puede negar entonces que la Teoría de la Relatividad de Einstein funciona y es capaz de describir, con una precisión impresionante, el comportamiento de la Naturaleza a la escala de tamaños y energías para las que fue diseñada. Tampoco puede negarse que la Relatividad nos habla de la deformación del espacio y el tiempo como algo que depende de la masa y la energía que lo llenan, como las estrellas, los planetas o nosotros mismos. El espacio-tiempo debe ser, pues, tan real como la materia con la que la Relatividad nos dice que interacciona.

Xelo había empezado a perderse en mitad de todas aquellas palabrejas que había ido introduciendo su tío. La niñita no había llegado a comprender buena parte de aquellas explicaciones. Sentía unos deseos enormes de hacerse mayor para poder aprender lo suficiente y entender todo aquello. Aprovechando unos segundos de silencio después de la última frase, Xelo no pudo resistir hacer una pregunta que le había estado rondando la cabeza desde que empezó a oír aquella parte de la conversación.

3. Propiedades del vacío y velocidad de la luz

—Pero tío, ¿qué es el espacio-tiempo? —preguntó Xelo.

—Creo que todavía eres demasiado pequeñita para comprenderlo, Xelo. En cualquier caso, para darte una buena respuesta a esa pregunta —respondió el tío Alberto mientras cogía una pastita de la bandeja -, necesitaremos hacer primero un pequeño periplo a través de la Física de finales del siglo XIX.

>> No os sorprendáis ni os extrañéis si durante la charla empezamos a hablar sobre ciertas cosas incluso antes de definirlas, ya que la Historia de la Física está llena de casas que se empezaron por el tejado. Además, necesitaréis haber entendido también lo que hemos dicho antes sobre las fuerzas a distancia. ¿Realmente aceptáis todos que los campos pueden existir sin ningún soporte que los albergue y que un imán es capaz de dotar al vacío de propiedades magnéticas que llamamos campo magnético, así como una carga eléctrica puede otorgar al vacío propiedades de naturaleza eléctrica que llamamos campo eléctrico?

Los muchachos asintieron, aunque Óscar parecía algo dubitativo. El tío Alberto, tras llevarse la pastita a la boca y acompañarla con otro sorbo de café, empezó a hablar.

—Pues si todos aceptáis esto, no tendréis más remedio que admitir también la Teoría de la Relatividad de Einstein, junto con la definición de espacio-tiempo que de ella deriva.

—Pero, ¿qué tendrán que ver una carga eléctrica y un imán con la Teoría de la Relatividad? —preguntó Óscar, emocionado.

—Más de lo que te imaginas, como ahora vas a ver —Hubo un silencio que el tío Alberto rompió aclarándose la voz. Después, pareció meditar durante una fracción de segundo -. Veamos... ¿Alguien de vosotros sabe cuál es la velocidad del sonido en esta habitación?

Carlos respondió casi al instante: “¡unos 340 metros por segundo!”

—Muy bien, Carlos, pero en tu respuesta te has olvidado de algo muy importante —los muchachos intercambiaron una mirada de recelo -. Imagina, Carlos, que te encuentras en mitad del desierto y le mandas un grito a Óscar, que está a 340 metros al Norte de donde tú estás. Supongo que todos estaréis de acuerdo conmigo en que el grito de Carlos tardará un segundo en llegar hasta los oídos de Óscar —los muchachos asintieron. Incluso la pequeña Xelo puso cara de haber entendido aquello -. Pero eso sólo es cierto si no hay viento. Si en el momento en el que Carlos le gritase a Óscar soplara un viento desde el Sur hacia el Norte, el grito de Carlos tardaría menos de un segundo en llegar hasta Óscar. Si, por el contrario, el viento soplase en sentido Norte-Sur, el grito tardaría más de un segundo en llegar a su destino. La explicación de esto es que la velocidad del sonido que nos ha dado Carlos está medida respecto al aire, que es el medio donde se propaga el sonido que Carlos le envía a Óscar.

>> En efecto, si el aire mismo se está desplazando (es decir, si hay viento), la velocidad del sonido será mayor en el sentido en el que fluya dicho aire, ya que el sonido tenderá a acompañar al viento de manera tal que la velocidad del sonido respecto al aire sea siempre de 340 metros por segundo. Es así de sencillo. Cuando dais el valor de una velocidad, como la del sonido, debéis hablar siempre del sistema de referencia respecto al que especificáis tal velocidad. La velocidad que tiene, respecto a nosotros, un viejecito andando por la calle no es la misma si la medimos estando de pie en la acera que si la medimos montados en un bólido de carreras a 200 kilómetros por hora —Xelo y los muchachos se rieron ligeramente al unísono.

>> Igual le ocurre al sonido. Su velocidad no es la misma cuando la medimos estando quietos en el suelo que cuando la medimos acompañando al viento, de manera que el aire esté en reposo respecto a nosotros. El valor de 340 metros por segundo para la velocidad del sonido está referido al sistema de referencia en el que el aire (o sea, el medio en el que se propaga el sonido de nuestro ejemplo) está en reposo. Seguramente os estaréis preguntando qué relación tendrá todo esto con la Relatividad de Einstein... Tranquilos. Cada cosa a su tiempo —dijo el tío Alberto, mientras empezaba a comerse otra pastita. Seguidamente, continuó.

—Cuando Maxwell unificó la Electricidad y el Magnetismo bajo una única teoría, que llamó Electromagnetismo (como recordaréis de hace unos minutos, fue cuando descubrió que los campos electromagnéticos se propagan en el espacio y además lo hacen a la velocidad de la luz) seguramente no fue consciente a primera vista del lío en el que acababa de meter a la Física.

>> Las ecuaciones de Maxwell nos dicen que los campos electromagnéticos se propagan en el espacio de acuerdo a una ley de tipo onda. Esto significa que su propagación es muy similar a la de cualquier otro tipo de ondulación, como es el caso del sonido en el aire. Maxwell encontró que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas podía calcularse de manera sencilla a partir de ciertas propiedades eléctricas y magnéticas que tiene el vacío, las cuales se pueden medir fácilmente —Óscar pareció molestarse un poquito al oír esto -. Pero claro, si las ondas electromagnéticas son efectivamente ondas, su velocidad deberá estar definida (tal y como le ocurre al sonido en el aire) respecto a algún hipotético medio en el que esas ondas se propaguen... ¡Pero el vacío no es ningún medio de propagación, como pueden serlo el aire o el agua! ¡No tiene sentido referir al vacío la velocidad de una onda, ya que tampoco tiene sentido decir que alguien está en reposo, o en movimiento, respecto al vacío!

—Pero, ¿por qué no? —preguntó Nicolás -.

—Porque, aunque somos capaces de saber si estamos en reposo o en movimiento respecto al aire (tan sólo hemos de comprobar si sentimos viento o no), el vacío no produce ningún tipo de viento, ni nada por el estilo, por el simple hecho de que el vacío está vacío. De ahí que no podamos referir la velocidad de la luz al vacío. No hay ningún viento en el vacío que nos ayude a saber en qué sistema de referencia se medirá la velocidad de la luz que predicen las ecuaciones de Maxwell. No obstante, en el caso del sonido en el aire sí sabemos cuál es el sistema de referencia respecto al cual su velocidad es la predicha por las leyes de la Mecánica de Fluidos, es decir, todo aquel sistema de referencia en el que no haya aire en movimiento.

FIGURA 2 Aquí vemos a dos observadores, a los que podríamos llamar Proty y Electra, moviéndose uno con respecto al otro en el vacío. No obstante, ninguno de ellos está sintiendo viento alguno, ya que no hay nada en el vacío que pueda producir tal viento. Si esto es así, ¿puede entonces alguien de los dos tener más derecho que el otro a decir que él está en verdadero reposo respecto al vacío (por lo que el otro no lo está)?

>> Este es el problema en el que Maxwell metió a la Física. Sus ecuaciones definían cuál tenía que ser la velocidad de la luz, pero de lo que no hablaban era del sistema de referencia respecto al cual se debía medir esa velocidad. ¡Y se tardó bastante tiempo en resolver este entuerto! El primer intento que hubo para solucionarlo fue proponer que las propiedades eléctricas y magnéticas, a partir de las cuales Maxwell había calculado la velocidad de la luz, realmente no eran propias del vacío, sino de una sustancia misteriosa e invisible que llenaba todo el Universo; una sustancia de la que ya os he hablado antes, y que los físicos llamaron éter luminífero.

>> Con esta hipótesis, los físicos consiguieron hacer las paces entre su intuición y lo que les mostraba la Naturaleza. Por una parte, las propiedades electromagnéticas del vacío pasaban a ser propias del éter, el medio en el que las ondas electromagnéticas se propagaban... ¡Ya no había que asumir que el vacío tuviese propiedades electromagnéticas! Por otra parte, el sistema de referencia respecto al que las ecuaciones de Maxwell fijan la velocidad de la luz también pasaba a estar, finalmente, bien definido: las ondas electromagnéticas viajarían a la velocidad predicha por Maxwell cuando dicha velocidad se midiese en los sistemas de referencia que estuviesen en reposo respecto al éter luminífero, es decir, los sistemas de referencia que no sintiesen viento de éter. Naturalmente, la hipótesis del éter se puso de inmediato bajo lupa y los físicos empezaron a maquinar ideas para comprobar si realmente existía aquel medio tan misterioso y etéreo. Una idea bastante buena para poner a prueba la hipótesis del éter fue comprobar si la velocidad de la luz depende de la dirección en la que la midamos.

>> La analogía con el sonido es sencilla: si Carlos estuviese en mitad del desierto y de repente empezase a volar en círculos como un buitre —se oyeron unas cuantas carcajadas al decir esto -, empezaría a notar viento en su cara que haría que la velocidad del sonido dependiese de la dirección en la que orientase su cabeza. Asimismo, la Tierra, en su órbita alrededor del Sol, debería sentir también un viento de éter, en virtud del cual la velocidad de la luz dependería de la dirección en la que la midiéramos.

>> Para sorpresa de toda la comunidad científica, todos los experimentos que se hicieron para detectar viento de éter (el más famoso de los cuales es el del interferómetro de Michelson-Morley) llegaron a la misma conclusión: ¡la velocidad de la luz es independiente de la dirección en la que la midamos! Pero si esto es así, ¿qué ocurría con las ecuaciones de Maxwell? ¿Qué fallaba en todo esto? Para encontrar la respuesta correcta a estas preguntas, la Física tuvo que esperar hasta la llegada de Albert Einstein y la revolución que empezaría con su increíble inteligencia y su visión crítica de las cosas. Lo que Einstein hizo fue volver de nuevo a los albores del problema para poder arrancarlo de raíz. Regresó a las mismas ecuaciones de Maxwell, fruto de todo aquel tinglado, y les echó un sagaz vistazo. Después, dio solución al problema del éter de un plumazo y con una elegancia inigualable. Su idea, a primera vista, no es demasiado complicada, como ahora os explicaré.

>> Puesto que todos los experimentos hechos hasta la fecha no son compatibles con la hipótesis del éter, admitamos que el éter no existe, es decir, que las propiedades electromagnéticas que definen la velocidad de la luz a partir de las leyes de Maxwell pertenecen realmente al vacío. Pues bien, puesto que todo sistema de referencia en el Universo tiene el mismo derecho que los demás a decir que está en reposo respecto al vacío (ya que ningún sistema de referencia puede sentir viento de vacío), vamos a postular que la velocidad de la luz sea la misma para todos los sistemas de referencia. Es decir, que las leyes de Maxwell (que definen cuál es el valor de la velocidad de la luz a partir de las propiedades electromagnéticas del vacío) se cumplan para todo el mundo por igual y que el vacío tenga las mismas propiedades para todos los que en él nos encontramos, independientemente de nuestro estado de movimiento.

>> Esta es la única forma de hacer posibles las ecuaciones de Maxwell sin necesidad de inventar ningún éter ni llegar a ninguna paradoja: que la velocidad de la luz sea la misma para todos los sistemas de referencia. Y esta idea es el pilar fundamental de la Relatividad Especial de Einstein. Como ves, Óscar, la Relatividad sí tiene bastante que ver con un imán y una carga eléctrica. El hecho de que el vacío tenga efectivamente propiedades electromagnéticas, que definen los campos que los imanes y las cargas engendran en el espacio, es la causa principal del postulado de la Relatividad sobre la constancia de la velocidad de la luz... O, más que sólo constancia, de la independencia de la velocidad de la luz respecto de quien la observa. Esta independencia implica directamente que el espacio y el tiempo ya no pueden ser absolutos e independientes del observador, sino todo lo contrario. El tiempo fluirá de manera distinta y el espacio se encogerá o estirará con respecto a distintos observadores, de suerte que la velocidad de la luz sea siempre la misma para todos ellos.

Óscar frunció el ceño como si no hubiese acabado de comprender lo que le había acabado de decir su tío.

—Pero, ¿por qué el tiempo y el espacio tienen que ser distintos para diferentes observadores? —preguntó Óscar -. ¿Qué relación hay entre eso y el hecho de que la velocidad de la luz deba ser independiente del observador?

—Hay una manera sencilla de contestar a estas preguntas —respondió el tío Alberto, mientras se acababa el café que le quedaba en la taza de un trago -. ¡Vamos a ello!

4. Cómo la Relatividad retrasa el envejecimiento

—Imaginaos que en mitad del espacio hay dos observadores, uno junto al otro. De repente, a una distancia enorme de ambos, se emite un rayo de luz dirigido hacia ellos. Uno de los dos observadores, llamémosle Proty, empieza a desplazarse a gran velocidad hacia el rayo de luz (digamos, a unos 150.000 kilómetros por segundo), mientras que el otro, llamémosle Electra, se queda quieto en la posición inicial —Xelo y los muchachos rieron al unísono al oír aquellos nombres tan extravagantes -. Si tanto Proty como Electra fueran capaces de medir la velocidad que ese rayo de luz tiene respecto a ellos, la Relatividad de Einstein nos dice que ambos deberían medir el valor predicho por Maxwell (unos 300.000 kilómetros por segundo). Sin embargo, la lógica nos dice algo muy distinto. Si Electra mide que la velocidad del rayo de luz son 300.000 kilómetros por segundo, Proty debería medir una velocidad mucho mayor, ya que él se está acercando rápidamente hacia el rayo. De hecho, la velocidad que según nuestra intuición debería tener el rayo de luz para Proty es de 450.000 kilómetros por segundo, es decir, los 300.000 del rayo de luz hacia Proty más los 150.000 de Proty hacia el rayo de luz. Entonces, ¿cómo es posible que tanto Proty como Electra midan la misma velocidad para el rayo de luz?

FIGURA 3 Aquí vemos a Proty y Electra observando un mismo rayo de luz. Si el espacio y el tiempo fuesen absolutos, cuando Proty midiese la velocidad del rayo de luz debería obtener un valor superior al que mediría Electra. Para que esto no ocurra, Proty debe medir el tiempo y el espacio de manera totalmente distinta a Electra.

>> La respuesta —continuó diciendo —es que el ritmo al que transcurre el tiempo para Proty es distinto que para Electra y, además, el espacio también difiere para ambos —el tío Alberto sacó una calculadora de su bolsillo izquierdo. Tras teclear en ella durante unos segundos, continuó su charla.

>> Si Electra pudiese ver a Proty a través de una cámara que le transmitiese las imágenes instantáneamente (lo cual es imposible, ya que nada se puede transmitir a velocidad infinita, pero vamos a suponer que esto se pudiese hacer), Electra vería a Proty moviéndose un poco a cámara lenta, ya que un segundo para Proty equivaldría a 1.15 segundos para Electra. O sea, que Electra estaría envejeciendo más rápidamente que Proty. Del mismo modo, Electra vería a Proty aplanado en la dirección en la que éste se mueve, ya que 1 metro para Electra en la dirección del movimiento de Proty equivaldría a 1.15 metros para Proty.

>> Atención, muchachos. Eso no significa que Proty esté realmente aplanado en ninguna dirección. Cuando Proty se mira a sí mismo, ve que el tiempo para él transcurre con toda normalidad (su reloj no se ha acelerado ni frenado) y él no se ve a sí mismo en absoluto aplanado en ninguna dirección. El que (según Electra) Proty esté aplanado y avance más lentamente en el tiempo es consecuencia de que para Electra el espacio y el tiempo son distintos que para Proty. Dicho con otras palabras, la medida del espacio y el tiempo difiere respecto de Proty y Electra. Y estas diferencias en la medida del espacio y el tiempo son las que hacen que cuando Proty mida la velocidad del rayo de luz, ésta sea efectivamente de 300.000 kilómetros por segundo, tal y como medirá también Electra.

>> Si Proty pudiese acelerar a velocidades cercanas a la de la luz en el vacío, estos efectos de los que hemos hablado se exagerarían muchísimo más. Puede que incluso un solo segundo para Proty llegasen a ser años y años para Electra, de manera que si Proty volviese al punto de partida, se encontraría con que Electra sería mucho más vieja que él. Además, si durante todo ese tiempo Electra pudiese haber estado mirando a Proty con su “cámara instantánea”, hubiese visto a Proty a cámara superlenta, y además totalmente aplanado, como si hubiese pasado una apisonadora sobre él. No obstante, la misma escena para Proty hubiera sido totalmente distinta: él no se habría visto aplanado lo más mínimo, y el tiempo para él habría transcurrido con toda normalidad. ¡Sería como si Proty se hubiese montado en la máquina del tiempo de H. G. Wells!

—Hay una cosa que no acabo de entender, señor Alberto —dijo Nicolás -. Si Proty se desplaza a gran velocidad respecto a Electra, Electra también se estará desplazando a gran velocidad respecto a Proty, pero en sentido contrario. ¿Debería entonces Proty ver a Electra como Electra ve a Proty, es decir, aplanada y a cámara superlenta? En tal caso, ¿cuál de los dos sería más viejo si se volviesen a reencontrar?

—¡Esa observación ha sido muy buena, chaval! —respondió el tío Alberto con un tono excitado -. Y tiene una respuesta algo sutil. En el momento en el que Proty y Electra se separan a velocidad constante, lo que dices es cierto... ¡¡Proty envejece más rápidamente que Electra, visto desde Proty, y Electra envejece más rápidamente que Proty, visto desde Electra, lo cual aparentemente es una paradoja de mucho cuidado!!

>> Pero entonces, como tú bien dices, ¿quién es realmente el más viejo cuando ambos se reencuentran? ¿Cómo se resuelve esta paradoja? La solución a la paradoja que mencionas, que en Física recibe el nombre de paradoja de los gemelos, está en que la simetría entre Proty y Electra se rompe en el momento en el que se produce una aceleración entre ambos. Me explico. Imaginad que Proty viaja en una nave espacial. Para que Proty vuelva a reencontrarse con Electra, de cara a comprobar quién de los dos es más viejo, Proty debe acelerar su nave para cambiar el sentido de su movimiento y empezar a acercarse a Electra, en lugar de separarse de ella. Justo en el momento en el que se produce esa aceleración, la simetría de la situación se rompe. Proty siente la fuerza de los motores que lo pegan a su asiento cuando cambia de dirección, mientras que Electra no siente absolutamente ninguna aceleración. Es ahí cuando se decide cuál de los dos será más joven que el otro: aquél que tenga que acelerar (es decir, que tenga que cambiar la dirección en la que se mueve), para que ambos puedan reencontrarse, será el que menos haya envejecido. Hay una analogía geométrica que tiene mucho que ver con esto.

Seguidamente, el tío Alberto cogió una servilleta de papel de las que había encima de la bandeja y sacó un bolígrafo del bolsillo de su chaleco. Con el bolígrafo marcó dos puntos en la servilleta. Después trazó una línea recta que unía a ambos puntos y otra línea curvada que también los unía.

—¿Cuál de las dos líneas que unen a estos dos puntos tiene menor longitud? —preguntó el tío, mirando a Xelo de reojo.

—¡La línea recta! —respondió Xelo, orgullosa de haber entendido al menos esa parte de la conversación -.

—¡Exactamente! Imaginemos que uno de estos dos puntos es aquel donde Proty y Electra se separan y el otro punto es aquel donde se vuelven a reencontrar. Electra ha seguido la línea recta, ya que ella en ningún momento ha acelerado, ¿OK?... La línea curvada es, por lo tanto, la que representa la trayectoria de Proty. Puede demostrarse que en el espacio-tiempo (esa cosa que todavía no hemos definido) las líneas curvadas que recorren los cuerpos tienen una longitud espacio-temporal menor que las líneas rectas, ya que la métrica del espacio-tiempo es lo que llamamos una métrica lorentziana. Esto es justo lo contrario de lo que ocurre en el espacio ordinario (que tiene una métrica euclídea), donde, como por todos es sabido, las líneas rectas tienen menor longitud que las curvadas entre dos puntos cualesquiera.

—¡¿Longitud espacio-temporal?! —preguntó Óscar con el ceño fruncido.

—La longitud espacio-temporal es lo que mide las distancias en el espacio-tiempo. Esto es ahora algo complicadillo de explicar, ya que todavía no hemos definido qué es el espacio-tiempo. Lo que realmente nos interesa de todo este tinglado es que la longitud espacio-temporal de la trayectoria de un cuerpo es igual al tiempo (medido por dicho cuerpo) que se ha tardado en recorrer esa trayectoria.

>> Que la longitud espacio-temporal de las trayectorias curvadas (es decir, las aceleradas) sea siempre menor que la de las trayectorias rectas (es decir, las que van a velocidad constante) significará, para el caso que nos ocupa, que el tiempo transcurrido para Proty entre su separación de Electra y el reencuentro con ella será siempre menor que el tiempo transcurrido para Electra (que siguió el camino recto). Es decir, aquel de los dos que acelere (o sea, que recorra la línea curvada entre los dos puntos del espacio-tiempo) será el que menos haya envejecido.

FIGURA 4 Aquí tenemos el dibujo del tío Alberto. En el espacio ordinario (es decir, con métrica euclídea), la línea recta que une a los dos puntos del dibujo (la línea 1) tiene una longitud menor que cualquier línea curvada que pase por los mismos puntos (como la línea 2). No obstante, para las trayectorias de los cuerpos en el espacio-tiempo (que tiene una métrica lorentziana), la situación es justamente la inversa: todo objeto que acelere (es decir, que no vaya por la línea recta) recorrerá una distancia espacio-temporal menor que los que vayan a velocidad constante. O sea, que para dichos cuerpos acelerados el tiempo transcurrido entre dos puntos será siempre menor que para los objetos que no aceleran... En resumen, la aceleración retrasa el envejecimiento.

—Pero, ¿y si primero acelera Proty y después acelera Electra para reencontrarlo? —preguntó Óscar -. ¡Ambos podrían seguir líneas curvadas que tuviesen la misma longitud espacio-temporal!

—¡Buena observación! —exclamó el tío Alberto -. En tal caso, ambos se reencontrarían teniendo las mismas edades relativas que cuando se separaron. Pero si es sólo Proty el que acelera durante todo el experimento, o es él quien más acelera de los dos, Proty será definitivamente más joven que Electra cuando ambos se reencuentren.

El tío Alberto se acabó la taza de café y la volvió a llenar de nuevo. Tras ponerse un poquito de azúcar continuó su conversación mientras se oía el dulce tintineo de la cucharita removiendo el café.

—Otro efecto asombroso que se extrae de que la velocidad de la luz deba ser la misma para todos los que la observan es que la idea que tenemos de pasado, presente y futuro deja de tener sentido.

>> Me explico. Dos sucesos distintos (como la explosión de dos petardos que podríamos llamar petardo A y petardo B) que para Proty ocurren al mismo tiempo en lugares distintos del espacio, para Electra podrían ocurrir en tiempos muy distintos. Así pues, con respecto a Electra podría explotar primero el petardo A y después el B, e incluso para otro tercer observador el orden podría ser justo el opuesto, explotando primero el petardo B y después el petardo A. En definitiva, lo que para Proty es el presente (la explosión de los dos petardos al mismo tiempo), para Electra puede ser futuro, pasado o incluso ambas cosas, ya que una explosión podría estar en el futuro (no haber ocurrido todavía) y la otra en el pasado.

>> Fijaos que a alguien podría ocurrírsele ahora la paradoja de que si Proty pudiera ver estallar ambos petardos de manera sincronizada (con ayuda de una cámara instantánea), podría tal vez decirle a Electra (también de forma instantánea) que ha visto explotar ambos petardos, de manera que ésta (para la cual podría haber un petardo todavía sin estallar) decidiese apagar la mecha al pasar fortuitamente cerca de ella. ¡Electra estaría cambiando la Historia para Proty, de manera que Proty no podría haber visto estallar el petardo para el que Electra apagó a tiempo la mecha!

>> La solución a esta paradoja es otro de los pilares sobre los que se fundamenta la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein. La forma de evitar que tal paradoja suceda es que no sea posible comunicar ningún tipo de información a una velocidad superior a la de la luz en el vacío. Si algo fuese capaz de superar tal velocidad y pudiésemos usar ese algo para transmitir información, podríamos apagar los petardos cuando alguien nos dijese que para él ya han explotado, con lo cual llegaríamos a una paradoja total. Por esa sencilla razón, nada puede comunicar información más rápido que la luz en el vacío... De poder hacerlo, llegaríamos a lo que en Física se conoce como la violación del Principio de Causalidad. Pero fijaos en el detalle, chicos, porque es sutil e importante. No os he dicho que la Relatividad prohíba que nada pueda viajar más rápido que la luz; lo único que prohíbe la Relatividad es que, de haber algo que pueda superarla, ese algo no pueda usarse para transmitir información.

5. Las dos caras de la moneda

El tío Alberto paró unos segundos para comerse una pastita y beber un sorbo de café. Seguidamente, siguió con la charla.

—Bien, chicos, creo que ya estamos en condiciones de definir por fin qué es eso que llamamos espacio-tiempo y que tanto se suele mencionar en algunas películas de ciencia-ficción.

>> Con la ayuda de un poco de matemáticas, somos capaces de encontrar las fórmulas que nos permiten conocer cómo fluye el tiempo y cómo cambia el espacio cuando pasamos de un estado de movimiento a otro, de manera tal que la velocidad de la luz sea siempre la misma. Estas fórmulas son conocidas como las transformaciones de Lorentz y han sido las que me han ayudado a sacar con la calculadora el numerito 1.15 que mencioné en el ejemplo de antes. Estas transformaciones mezclan las coordenadas de espacio y de tiempo de observadores que se mueven uno con respecto al otro. Esto es como si el espacio y el tiempo formasen parte de una única entidad; algo así como si fuesen las dos caras de una misma moneda.

>> Fue el matemático alemán Hermann Minkowski quien se dio cuenta de que estas fórmulas de Lorentz pueden ser interpretadas de una forma muy sencilla, geométricamente, definiendo un espacio métrico especial que pasó a llamarse espacio-tiempo (un espacio se llama métrico cuando pueden medirse distancias dentro de él). El espacio-tiempo es un espacio de cuatro dimensiones, donde tres de ellas son espaciales (es el espacio normal y corriente que todos conocemos) y la otra dimensión es temporal. Este espacio cuadridimensional tiene algunas propiedades métricas especiales, inteligentemente diseñadas por Minkowski para que las transformaciones de Lorentz se traduzcan en él como simples rotaciones. Así pues, cualquier cambio en la dirección del movimiento, o cualquier aceleración en general, se traduce en una sencilla rotación en el espacio-tiempo, lo cuál nos facilita muchísimo los cálculos a los físicos.

>> Por consiguiente, el espacio-tiempo, aparentemente, no es más que un espacio métrico inventado (o diseñado) con unas características geométricas especiales que simplifican los cálculos en Relatividad, haciendo que un cambio en el estado de movimiento de un cuerpo en el Universo se traduzca en la simple rotación de un vector.

FIGURA 5 A la izquierda tenemos dos ejemplos de objetos que cambian su estado de movimiento (rebotando contra una pared y cayendo al suelo). Estos dos cambios producen sendas rotaciones de un vector en el espacio-tiempo (figuras a la derecha). En estas figuras se ha incluido la parte temporal del espacio-tiempo (el eje llamado t) y solamente dos de las tres dimensiones espaciales (que hemos llamado x₁ y x₂).

—Las fórmulas de Lorentz se traducen, pues, en operaciones geométricas sencillas en este espacio métrico que inventó Minkowski y que llamamos espacio-tiempo. Esto de convertir procesos físicos (como cambios en el estado de movimiento de los cuerpos) en operaciones geométricas definidas en espacios abstractos, es lo que en la jerga de los físicos llamamos la geometrización de la Física, y es una estrategia que ha dado frutos excelentes no sólo en Relatividad, sino también en Física Cuántica. —Tras aclararse la garganta, el tío siguió con sus explicaciones.

>> Los puntos del espacio-tiempo se pueden definir atendiendo a cuatro coordenadas, una por cada dimensión. Normalmente, tres de ellas serían de tipo espacial (y nos situarían en un punto del espacio tridimensional) y la otra sería de tipo temporal (y nos situaría en un momento de la Historia), aunque esto no tiene por qué ser siempre así por razones que ahora no vienen a cuento. Con esto, a los puntos del espacio-tiempo se les suele llamar sucesos, ya que son identificables con algo que ocurre en un lugar determinado y en un momento dado.

>> Atendiendo a cómo fue introducido el espacio-tiempo, esta creación de Minkowski es como una herramienta, o una entelequia matemática. De esta forma, no sólo los cambios de sistema de referencia, sino también cálculos algo más complicadillos, como la determinación de la energía cinética o la aceleración de un cuerpo, se convierten, empleando el espacio-tiempo como marco de trabajo, en operaciones geométricas sencillas, como rotaciones, traslaciones y productos (es decir, multiplicaciones) de unos vectores con otros.

>> ¡Pero no os engañéis! —continuó el tío Alberto, mientras bebía un poquito más de café —¡Lo que nació como el producto de una mente astuta, gracias al cual se simplificaban los cálculos en Relatividad, resultó tener mucha más trascendencia con la realidad de lo que en un principio se sospechó! En 1916, Albert Einstein, queriendo extender su Teoría de la Relatividad Especial a los sistemas de referencia con aceleración, consiguió también geometrizar, dentro del marco del espacio-tiempo, no únicamente los cambios de sistema de referencia como había hecho Minkowski, sino algo con mucha más miga: ¡¡la Gravitación!!

>> De esta manera, Einstein nos enseñó que el espacio-tiempo que había inventado Minkowski guardaba oculta la posibilidad de formular la fuerza de la gravedad con una elegancia y una exactitud sin precedentes, interpretándola como la curvatura de aquella entelequia minkowskiana que era el espacio-tiempo. Siguiendo el proceso geometrizador de Minkowski, Einstein se dio cuenta de que curvar el espacio-tiempo podría tener los mismos efectos sobre las trayectorias de los cuerpos que un campo gravitatorio, llegando a identificar cuantitativamente una cosa con la otra.

—Pero, ¿qué significa “curvar el espacio-tiempo”? —preguntó Óscar, con una expresión en su cara con la que Xelo reconocía muy bien cuándo su hermano estaba disfrutando locamente.

—Vamos por pasos para entender mejor todo esto. Hablemos primero sobre curvar el espacio, haciendo caso omiso del tiempo, al menos de momento. Imaginad que una hormiguita se está paseando por encima de una servilleta de papel. Si cogéis la servilleta con las manos y la dobláis un poco, el efecto que eso tiene sobre la trayectoria de la hormiguita es análogo al efecto que tiene curvar el espacio sobre la trayectoria de un cuerpo en el Universo, con la salvedad de que la superficie de la servilleta tiene tan sólo dos dimensiones y el espacio en nuestro Universo tiene tres.

>> Fijaos que para poder ver la superficie curvada de la servilleta necesitamos imaginárnosla embebida en un espacio de tres dimensiones, que es donde nosotros nos encontramos ahora. Eso significa que para poder ver curvado un espacio de tres dimensiones necesitaríamos imaginárnoslo embebido dentro de un espacio de cuatro dimensiones. Eso es lo que hace que para la mente humana sea totalmente imposible imaginarse un espacio tridimensional curvado, ya que nadie puede imaginar nada en cuatro dimensiones. Si ahora metemos también al tiempo en el ajo, ni mucho menos podríamos imaginarnos el espacio-tiempo curvado, ya que lo que necesitaríamos ahora es poder imaginar espacios de nada menos que cinco dimensiones.

>> Pero eso no significa que para curvar el espacio-tiempo deba haber un espacio más grande, de cinco dimensiones, dentro del cual el espacio-tiempo se curve. Sólo he dicho que para poder imaginar, o ver, un espacio curvado, necesitamos recurrir a otro espacio de dimensión superior. Pero eso no implica la necesidad de que dicho espacio de dimensión superior deba existir. Sé que todo esto es muy complicado para vosotros, y en verdad se necesita mucho tiempo y esfuerzo para entenderlo y aceptarlo.

—¡Pero yo sí puedo imaginarme un espacio tridimensional curvado sin tener que recurrir a uno de cuatro dimensiones! ¡Mira! —exclamó Carlos mientras cogía el cojín de un sillón cercano y empezaba a deformarlo con las manos-.

—No, Carlos. Lo que has hecho ahora es deformar un cojín, es decir, un objeto de tres dimensiones; pero aquello de lo que yo estaba hablando es de curvar el espacio en el que ese cojín se encuentra; eso es algo totalmente distinto e inimaginable.

6. ¡Una pluma cae como un elefante!

—Con esta idea tremendamente genial de que la fuerza de la gravedad puede entenderse como la curvatura del espacio-tiempo, Einstein consiguió matar varios pájaros de un solo tiro. Primero, unificó su Teoría de la Relatividad Especial con la Gravitación, creando una única teoría geometrizada. Segundo, esta nueva teoría, la Relatividad General, era más exacta que la Gravitación Universal de Newton, pudiendo explicar fenómenos observados que la Teoría de Newton no puede explicar (como anomalías en la órbita de Mercurio). Tercero, consiguió dar por fin una respuesta natural a una antigua pregunta que permanecía abierta desde los tiempos de Newton; una respuesta basada en lo que Einstein llamó el Principio de Equivalencia.

—¡¿El Principio de Equivalencia?! —exclamaron los tres muchachos al unísono. La pequeña Xelo, a pesar de que ya hacía un ratito que no entendía prácticamente nada de lo que hablaban, no se aburría al escuchar hablar al tío Alberto. Ver aquellas caras que ponían su hermano, Carlos y Nicolás cuando el tío les hablaba ya era entretenimiento suficiente.

—El Principio de Equivalencia es la razón de algo que ha estado preocupando a los físicos desde Sir Isaac Newton. Si habéis estudiado las leyes de Newton en el instituto, sabréis que, de acuerdo a su Segunda Ley del movimiento, la aceleración que una fuerza produce sobre un cuerpo es menor cuanto mayor es la masa de dicho cuerpo. Vamos, que cuanta más masa tiene un cuerpo, más esfuerzo debéis hacer para acelerarlo.

—Eso suena intuitivo —observó Óscar -.

—A partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton, también sabemos que la fuerza que un campo gravitatorio genera sobre un cuerpo es mayor cuanto mayor es la masa de dicho cuerpo. Asimismo, la masa que posee un cuerpo es capaz, de acuerdo a esta ley, de generar un campo gravitatorio que atraiga hacia él a los otros cuerpos masivos.

>> Fijaos que los conceptos de masa que aparecen en ambas leyes de Newton (la Segunda Ley y la Ley de la Gravitación Universal) no tienen absolutamente nada en común. En la Segunda Ley, la masa de la que se habla es la responsable de que nos cueste modificar el estado de movimiento de los cuerpos, es decir, de que tengan una inercia que les haga oponerse a ser acelerarlos. Es por ello que a la masa que aparece en esa ley se la llama masa inercial. En cambio, la masa que aparece en la Ley de la Gravitación Universal de Newton no tiene nada que ver con la inercia de los cuerpos, sino con el campo gravitatorio que éstos son capaces de generar y/o sentir. Es por ello que a la masa que aparece en la Ley de Gravitación Universal se la suele llamar masa gravitatoria.

>> A primera vista, no tendría por qué haber ninguna relación entre la masa inercial y la masa gravitatoria, ya que conceptualmente son cosas muy distintas. No obstante, ambas masas, después de un montón de distintos experimentos muy precisos que se han llevado a cabo desde los tiempos de Newton, resultan tener exactamente el mismo valor para todos los cuerpos. O sea, que ambas masas son completamente equivalentes, si bien su definición a partir de las leyes de Newton es radicalmente distinta.

>> Hasta que llegó Einstein, no se podía explicar de manera natural este hecho. Simplemente, se asumía su veracidad y se tomaba como principio, es decir, como algo que no puede ser demostrado o explicado —el tío Alberto descansó unos segundos mientras comía una pastita. Acto seguido, continuó con su explicación.

>> La consecuencia más directa del Principio de Equivalencia de Einstein es el resultado al que llegó Galileo, antes de nacer Newton, con su famoso experimento en la Torre de Pisa. Cuenta la leyenda que Galileo dejó caer desde lo alto de la Torre dos bolas con masas distintas, una de hierro y otra de madera. Se esperaba que la bola de hierro llegara antes al suelo, ya que su masa era mayor, pero... ¡ambas bolas llegaron al suelo al mismo tiempo!

>> Puesto que la gravedad comunica a un cuerpo más fuerza cuanto mayor es su masa gravitatoria, pero se necesita una mayor fuerza para acelerar a un cuerpo cuanto mayor es su masa inercial, los efectos de ambas masas (totalmente equivalentes) se cancelan entre sí, de manera tal que la aceleración que la gravedad comunica a dos cuerpos con masas distintas es la misma para ambos. Así pues, dos cuerpos con diferentes masas, dejados caer desde la misma altura, llegarán al suelo al mismo tiempo.

—Pero entonces, de acuerdo con este Principio de Equivalencia del que nos hablas, ¿una pluma tardaría lo mismo que un elefante en caer de un rascacielos? —preguntó Nicolás extrañadísimo -. ¡A mí me parece que no es así!

—Si consiguiéramos extraer todo el aire del interior de un edificio hueco —siguió el tío Alberto -, un elefante y una pluma caerían al mismo tiempo al suelo cuando los soltáramos desde lo alto. La Tierra no ejerce la misma fuerza sobre todos los cuerpos, sino que la fuerza que ejerce depende de la masa de los mismos. Por lo tanto, la fuerza que la Tierra ejerce sobre la pluma es mucho menor que la que ejerce sobre el elefante, de manera tal que la aceleración a la que caen ambos cuerpos es la misma.

FIGURA 6 Aquí vemos a Proty y Electra intentando simular un campo gravitatorio. A Electra le va de maravilla, ya que ella tan sólo debe acelerar una pluma. No obstante, nuestro amigo Proty debe sufrir bastante, ya que está obligado a transmitirle al elefante la misma aceleración que Electra transmite a la pluma.

>> Si la pluma y el elefante no caen al suelo al mismo tiempo en circunstancias normales, es porque el aire que llena la escena es capaz de frenar a la pluma con mucha más eficacia que al elefante. Y el rozamiento con el aire es algo ajeno a la gravedad. No obstante, un elefante y una pluma sí llegarían al suelo al mismo tiempo en la Luna, ya que allí no hay atmósfera —Óscar puso los ojos entrecerrados, mostrando una expresión como de concentración absoluta.

>> Como ya os he dicho, durante muchos años la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria se aceptó como principio, es decir, como algo que se comprueba que es así, pero que no se puede explicar. Este principio está tan arraigado en nuestras mentes que incluso hay físicos que llaman a ambas masas simplemente masa, a secas, sin conocer siquiera que hay una diferencia conceptual abismal en la definición de ambas, como ya hemos visto.

>> La manera en la que Einstein interpreta la igualdad entre ambos tipos de masa es diciendo (y esta es la definición rigurosa de su Principio de Equivalencia) que es imposible distinguir, mediante cualquier experimento, entre un sistema de referencia acelerado en mitad del espacio vacío y un sistema de referencia en reposo sometido a un campo gravitatorio... siempre (aunque esto no viene ahora al caso) que nuestros experimentos se restrinjan a espacios pequeños y a tiempos cortos.

>> Intentemos comprender esto. Imaginaos una caja opaca, del tamaño de un ascensor, en mitad del espacio vacío. Imaginad que uno de los lados de la caja está sujeto a una cuerda. En el interior de la caja hay un físico y una pelota. Si alguien, o algo, empezase a tirar de la cuerda, la caja comenzaría a acelerar en el sentido de la tensión de la cuerda. Por consiguiente, el físico vería acelerar a la pelota y a sí mismo con la misma aceleración que la caja, pero en sentido opuesto. Es decir, la aceleración de la caja haría que todos los objetos de su interior tendiesen a pegarse contra la pared opuesta a la que tiene la cuerda atada.

FIGURA 7 Aquí tenemos a Proty mostrándonos el Principio de Equivalencia de Einstein. Para él es aparentemente imposible distinguir si se halla acelerado en mitad del Universo (figura izquierda) o si se halla en reposo sobre la superficie de la Tierra (derecha), ya que en ambos casos siente los mismos efectos dentro de la caja en la que se encuentra.

>> Si la aceleración de la caja fuese justamente de 9.8 m/s² (que es la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la Tierra), al físico del interior le sería imposible distinguir si se halla en reposo sobre la superficie de la Tierra o si está acelerado en mitad del Universo vacío. Para él, el lado opuesto al de la cuerda sería como el suelo de una caja en reposo sobre la Tierra. En tanto en cuanto la gravedad transmita a todos los cuerpos la misma aceleración, independientemente de la masa de los mismos, al físico de la caja le será totalmente imposible averiguar en cual de los dos escenarios se encuentra (o sea, caja acelerada en mitad del espacio o caja en reposo sobre la Tierra). Recordad esta importantísima conclusión, porque volveremos a ella más tarde.

A todo esto, Xelo se estaba comiendo el último de los pastelitos con cara de no prestar ya demasiada atención al tío Alberto. Diana apareció en aquel momento en escena, dejando entrar con ella un intenso olor a pescado frito y sarmale que venía de la cocina.

—¡La cena ya está casi lista! —exclamó mientras se limpiaba las manos con el delantal para recoger rauda las tazas, servilletas y restos de pastelito de encima de la mesa para ponerlos sobre la bandeja -. Alberto, he hecho comida también para ti, y en lugar de irte a casa de mis suegros te quedas esta noche a dormir aquí.

—¡Pero Diana, si tengo la ropa en casa de mis padres y ellos también me están esperando para cenar!

—Me da igual. Hace mucho tiempo que no os veis tu hermano y tú. Además, aquí hay pijamas de Iván que puedes usar tú también.

—De acuerdo. Muchas gracias por la invitación. Además, ¡ahí fuera huele que alimenta! —dijo el tío Alberto.

Tras la profunda conversación que el tío acababa de tener con los muchachos, les sonaba rarísimo oírle hablar segundos después de cosas tan cotidianas como pijamas y comida. El tío Alberto se despidió de Nicolás y Carlos, sin antes prometerles que no seguiría hablando con Óscar sobre aquel tema tan candente, al menos hasta la tarde siguiente cuando todos volviesen a estar reunidos.

7. El camino más corto entre dos puntos

A la tarde siguiente, Xelo se dio más prisa que de costumbre en llegar a casa para poder estar así más tiempo escuchando al tío Alberto. Aunque había muchas cosas que no comprendió la tarde anterior, le encantaba oír hablar a los muchachos y al tío sobre aquellos temas tan fantásticos. Sentía unos deseos enormes de poder hablar ella también de cosas como el espacio-tiempo, la curvatura, aquella equivalencia rara y cosas por el estilo. Después de llamar al timbre un par de veces, Diana le abrió la puerta sonriente. Ya no llevaba ninguna bandeja en sus manos. Seguramente todavía estaría preparando el café.

—¿Dónde están el tío Alberto y los demás? —preguntó Xelo a su madre, mientras lanzaba literalmente la mochilita encima de una de las pequeñas sillas que había en la entrada de la casa.

—Están ahí, en la salita. ¿No vas a jugar con los amigos a la calle?

—¡Prefiero estar con el tío, con Óscar y los demás!

Abrió la puerta raudamente y tomó asiento, tras un leve saludo, justo donde se había sentado la primera vez. El tío Alberto vestía camisa blanca y un chaleco rojo granate que le daba un aire aún más clásico, si cabía, que el que tenía la tarde anterior. Después de que Xelo hablase con el tío sobre cómo le había ido en el cole, todos retomaron la interesante conversación que habían dejado inacabada. El tío Alberto comenzó a hablar.

—Ayer quedamos en que hoy os explicaría cómo el Principio de Equivalencia puede explicar de forma natural la igualdad entre la masa inercial y la gravitatoria, algo que preocupó durante siglos a los físicos anteriores a Einstein, ¿recordáis? —los muchachos asintieron con caras de impaciencia, como si hubieran estado pensando largo y tendido acerca de aquello.

—¡Pues vamos a ello! —dijo finalmente el tío -. No obstante, antes de poder explicaros eso debemos discutir, aunque sea de pasada, acerca de los fundamentos geométricos en los que se basa la Relatividad General.

>> Recordad que ayer dijimos que el espacio-tiempo, aquel espacio métrico tan especial de cuatro dimensiones, fue diseñado astutamente por Minkowski para que las transformaciones de Lorentz se convirtieran en cosas sencillas, como rotaciones dentro de ese espacio, ¿recordáis esto? —los muchachos asintieron, aunque no alcanzaban a comprender al cien por cien aquellas palabras -. Pues bien, en cualquier espacio vectorial métrico (o sea, en cualquier sitio donde podamos definir distancias, como es el caso de nuestro espacio ordinario, de una servilleta de papel o del espacio-tiempo) existen lo que se llaman geodésicas. Una geodésica, salvo excepciones muy especiales, se define como el camino más corto entre dos puntos.

—¡Pero el camino más corto entre dos puntos siempre es una línea recta! —observó Nicolás, a lo que los otros muchachos y Xelo asintieron.

—¿Cómo que siempre es una línea recta? —respondió el tío Alberto —¡Yo te puedo demostrar que no es así!

Seguidamente, el tío cogió un pañuelo de papel de un paquete que llevaba en el bolsillo y sobre él dibujó con su bolígrafo dos puntos. Después trazó una línea recta que unía dichos puntos. Dejó seguidamente el pañuelo desplegado encima de la mesa.

—¿Verdad que lo que estáis viendo ahora en el pañuelo es una línea recta entre esos dos puntos? —los muchachos y Xelo asintieron.

Tras la respuesta, tomó el pañuelo de papel en su mano derecha y cerró un poco la palma, haciendo que el pañuelo tomara una forma similar a un cuenco.

—Lo que antes era una recta, ahora ya no lo es, puesto que he curvado el pañuelo en mi mano. Una geodésica sobre este pañuelo sería, entonces, la línea anteriormente recta que ahora estáis viendo curvada. Éste es el camino más corto que una hormiguita debería seguir sobre el papel para ir desde uno de los dos puntos que he dibujado hasta el otro. Fijaos que la hormiguita ya no puede ir en línea recta, puesto que está obligada a ir por encima del pañuelo curvado.

FIGURA 8 Aquí vemos el pañuelo del tío Alberto, con los puntos y la línea que dibujó. Efectivamente, la línea más corta posible que, sin salirse del pañuelo, une ambos puntos no es una línea recta. En la figura puede apreciarse que es una línea curvada.

—Pero entre esos dos puntos del pañuelo, a través del aire, podríamos trazar una línea recta que sería un camino todavía más corto que el que seguiría la hormiga —observó Nicolás.

—Eso es verdad —respondió Alberto -, pero nuestra hormiga no puede ir volando de un punto al otro. Está condenada a desplazarse sobre el pañuelo.

—¡Condenada! —rió Xelo, que se imaginaba a una pobre hormiguita atada a la superficie del pañuelo de papel.

—Así es, Xelo. La geodésica en el pañuelo que pasa entre los dos puntos que he dibujado es el camino más corto que, sin salirse del pañuelo, une a esos dos puntos.

>> Imaginaos ahora que en lugar de un pañuelo de papel tenemos a nuestro espacio tridimensional. Supongamos que la hormiga tiene una nave espacial. Notad que ahora ya no está limitada a ir por una superficie de dos dimensiones, sino que es capaz de viajar por las tres dimensiones del espacio. Pues bien, dados dos puntos en el espacio tridimensional, el camino más corto que la hormiga debería seguir con su nave para ir de un punto al otro sería también una geodésica.

—¡Que ahora sí que sería una línea recta! —gritó Nicolás de nuevo -.

—¡Pues tampoco tendría por qué serlo! —respondió el tío Alberto, imitando el tono de seguridad de Nicolás -. Imaginad que nuestro espacio de tres dimensiones estuviese también curvado, al igual que el pañuelo en mi mano... Bueno, esto en realidad no nos lo podemos imaginar, como ya dijimos ayer; nuestras mentes no son capaces de imaginar un espacio curvado de tres dimensiones embebido en uno de cuatro, aunque sí somos capaces de imaginar este pañuelo, que es un espacio de dos dimensiones embebido en uno de tres.

>> No obstante, aunque no podamos imaginarnos nuestro espacio tridimensional curvado, la analogía con el pañuelo nos ayudará en nuestro camino hacia el entendimiento. Considerad, por lo tanto, que nuestro espacio de tres dimensiones estuviese curvado. La hormiga (al igual que ocurrió con el pañuelo curvado, sólo que ahora todo tiene una dimensión más) estaría condenada a viajar siempre dentro de las tres dimensiones del espacio, sin poder volar a una hipotética cuarta dimensión espacial. Si existiese realmente esa cuarta dimensión espacial, puede que el camino verdaderamente más corto entre los dos puntos no fuese el trayecto que la hormiga seguiría. No obstante, dicho camino sí sería el más corto posible dentro de nuestro espacio tridimensional.

>> Algunos astrónomos y físicos teóricos hablan de la posibilidad de hacer, en tres dimensiones, algo similar a que la hormiga de nuestro pañuelo bidimensional pudiese salirse del papel para llegar antes al otro punto, volando por el aire. El equivalente en nuestro Universo se llama agujero de gusano. Si los agujeros de gusano existiesen, podrían conectar puntos alejadísimos en el Universo, si los miramos sin salirnos de nuestras tres dimensiones, pero que podrían estar a un tiro de piedra atajando por algún puente —dijo el tío, mientras cerraba más la palma de la mano en la que sujetaba el pañuelo, poniendo los dos puntos que había dibujado sobre éste casi en contacto uno con otro -. Un agujero de gusano en el pañuelo sería algo así como un puente de papel con el que pudiésemos unir los dos puntos, y sobre el que la hormiga pudiese caminar.

8. La pluma, el elefante y la Relatividad

Dándose cuenta de que se estaba desviando del tema central de la conversación, el tío Alberto dejó el pañuelo encima de la mesa y continuó hablando.

—Uno de los principios sobre los que descansa la geometrización de la gravedad en la Relatividad General es que los cuerpos sobre los que únicamente actúa el campo gravitatorio siguen trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo. Aunque el espacio-tiempo tiene una geometría un tanto especial que lo diferencia bastante del espacio ordinario, la idea de geodésica es igualmente aplicable aquí, si bien con una sutileza muy curiosa de la que hablamos someramente cuando discutíamos acerca de la paradoja de los gemelos: en el espacio-tiempo, las geodésicas (es decir, el equivalente a las líneas rectas= no son realmente el camino más corto entre dos puntos, sino que son lo que se conoce como trayectorias extremales. Estas trayectorias extremales pueden ser, en ocasiones, el camino más corto, pero también pueden ser el más largo; eso depende del tipo de trayectoria espacio-temporal que estemos considerando. Me explico.

>> Las trayectorias extremales pueden tener longitudes espacio-temporales positivas (y mínimas), negativas (y máximas) o incluso nulas, dependiendo de si las geodésicas son de tipo espacio, tipo tiempo o tipo luz, respectivamente. No obstante, las geodésicas que sigue toda partícula en el Universo sólo pueden ser de tipo tiempo o de tipo luz. Por lo tanto, las longitudes de las geodésicas siempre van a ser máximas (o sea, correspondientes al camino más largo entre dos puntos) o nulas. Las geodésicas de tipo espacio (y que tienen longitudes mínimas, tal y como ocurre en nuestro espacio ordinario) no tienen, en principio, ningún sentido físico, aunque hay algunos teóricos que creen que puede haber ciertas partículas (llamadas taquiones) que viajen describiendo este tipo de geodésicas. Pero tampoco quiero marearos ahora con tanto detalle. Sigamos con nuestra discusión original diciendo, sencillamente, que los cuerpos sobre los que actúa la gravedad siguen trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo.

>> ¡Pero fijaos en el detalle! La trayectoria de un cuerpo seguirá una geodésica en el espacio-tiempo (es decir, el equivalente a las líneas rectas en el espacio ordinario), no cuando nada actúe sobre dicho cuerpo, de manera que su estado de movimiento no cambie, sino cuando la gravedad esté actuando sobre él. En la Relatividad General, la gravedad no se interpreta como una fuerza, en contraposición a como pensaba Newton. Como ya dijimos en su momento, en Relatividad General la gravedad se entiende como algo muy distinto a una fuerza; se entiende como la curvatura del espacio-tiempo. Por consiguiente, la gravedad solamente se limita a curvar el espacio-tiempo (tal y como yo mismo he hecho antes con el pañuelo de papel), pero no a acelerar a los cuerpos que lo llenan.

>> Esto implica que los cuerpos que sólo están sometidos a la gravedad van a seguir geodésicas en el espacio-tiempo curvado, del mismo modo que, según las antiguas leyes de la Mecánica de Newton, los cuerpos sobre los que no actúa ninguna fuerza siguen líneas rectas a velocidad constante en el espacio ordinario.

>> Cuando un cuerpo está en lo que se llama caída libre (es decir, cuando sólo la gravedad actúa sobre él) un físico relativista dirá que ese cuerpo está libre de fuerzas y que, en efecto, su cuadri-aceleración (o aceleración en el espacio-tiempo) es cero, concluyendo que su trayectoria es geodésica... Dicho con otras palabras, un cuerpo sometido únicamente a la gravedad no tiene cuadri-aceleración en el espacio-tiempo. Por consiguiente, se desplaza a lo largo de lo que para un espacio-tiempo curvado es el equivalente a una línea recta, es decir, se desplaza siguiendo una geodésica.

—¡Pero un cuerpo sobre el que sólo actúa la gravedad sí que acelera! ¡Mira! —exclamó Óscar mientras cogía el pañuelo de papel de encima de la mesa. Rápidamente, hizo una bolita con él y lo lanzó hacia la puerta de la salita. La bolita siguió una trayectoria parabólica perfecta. Justo después del lanzamiento de la bola, Diana abrió la puerta de la salita cargada con la bandeja repleta de bollos, cafetera y la taza de café para el tío Alberto. La casualidad hizo que la bolita fuese a aterrizar justo dentro de la taza de café, salpicando por completo a Diana, quien miró al pobre Óscar con una cara que mezclaba desorientación y ganas de administrar un buen castigo.

—¡¿Qué has hecho?! —gritó la madre de Óscar, a lo que todos los demás rieron abiertamente al ver la escena que había montado el pobre chico.

—¡Uy! ¡Lo siento! ¡Yo sólo estaba haciéndole ver al tío Alberto que los cuerpos sometidos a la gravedad sí que aceleran!

—Ya sé que aceleran, Óscar, pero eso sólo ocurre en el espacio tridimensional ordinario —respondió el tío intentando disimular la risa -. En cambio, no cuadri-aceleran en el espacio-tiempo. Puede que el papelito que has lanzado no haya seguido una geodésica en el espacio encerrado en esta habitación, pero sí ha seguido una geodésica en el espacio-tiempo. Llamemos al punto desde el que has lanzado la bolita, Punto A de la habitación, y llamemos al punto en el que ha aterrizado, Punto B.

—¡Que es la taza del tío Alberto! —rió Xelo en tono burlesco, a lo que todos rieron de nuevo mientras Diana quitaba el papelito mojado del interior de la taza y dejaba la bandeja encima de la mesa. Seguidamente, Diana se sentó junto a Xelo, a seguir también la conversación del tío Alberto.

—Supón —siguió el tío —que has lanzado la bolita a las 17:15 horas exactamente y que ha tardado un segundo en caer a la taza. según esto, el camino espacio-temporal extremal (es decir, geodésico) entre los dos puntos definidos por las coordenadas espacio-temporales (Punto A, hora 17:15:00) y (Punto B, hora 17:15:01) es el que ha seguido la bolita de papel.

>> Si tuviéramos en cuenta la dimensión temporal e interpretáramos la trayectoria de la bolita como una curva, no en el espacio tridimensional ordinario, sino en el espacio-tiempo, la bolita habría seguido una geodésica. Y cuando un cuerpo sigue una geodésica en el espacio-tiempo, su cuadri-aceleración es exactamente cero, aunque su aceleración en el espacio tridimensional (o sea, en el espacio ordinario) no lo sea.

—Entonces —dijo Carlos muy pensativo —sería como si la parte de la cuadri-aceleración que hay en el espacio ordinario (lo que nosotros entenderíamos como la aceleración normal y corriente) se anulase con la parte de la cuadri-aceleración que va en la dirección del tiempo, de tal forma que al sumar todas las componentes de la cuadri-aceleración (la espacial más la temporal) el resultado diese cero. ¿Es así?

—Mmmmmhhh... Más o menos —observó Alberto con un rostro sorprendido -... ¡Oye, tú deberías estudiar Física Teórica! —Carlos se sonrojó un poco al oír aquello.

—Creo que ya estamos en condiciones de responder a la pregunta de por qué esta visión de la gravedad, considerándola como la mera curvatura del espacio-tiempo (al decir mera, quiero resaltar que la gravedad curva el espacio-tiempo, pero no actúa sobre los cuerpos acelerándolos), puede explicar de manera natural la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria.

>> La consecuencia más directa de esta igualdad es que dos cuerpos con masas distintas son acelerados exactamente de la misma forma por un campo gravitatorio, ¿recordáis? —los muchachos asintieron. Seguidamente, el tío cogió una servilleta de papel de la bandeja. Puso la servilleta sobre la mesa, aplanándola con las manos, y dibujó un punto y, al lado de éste, una flechita que apuntaba hacia Xelo -. ¿Serías capaz, Nicolás, de trazarme dos líneas rectas distintas que pasen por este punto y que vayan en la dirección de la flecha que he dibujado?

Nicolás se quedó unos segundos dubitativo. Por mucho que lo pensaba, no podía imaginarse dos líneas rectas diferentes que cumpliesen las condiciones de pasar por un mismo punto e ir en una misma dirección.

—Sólo hay una recta que pase por ahí en la dirección de la flecha —acabó concluyendo Nicolás.

—¡Exactamente! ¡Y eso no ocurre sólo en la servilleta, sino en cualquier espacio métrico! Dados un punto y una dirección en el espacio-tiempo, existe una, y sólo una, geodésica que pasa por dicho punto en la dirección dada.

>> La interpretación física de este resultado, puramente geométrico, es que dado un cuerpo sometido exclusivamente a la gravedad, situado en un punto del espacio-tiempo y con una velocidad inicial determinada, sólo podrá seguir una trayectoria en el espacio-tiempo. Esto es, la geodésica correspondiente. Y como sólo hay una trayectoria geodésica que cumpla con las condiciones iniciales (posición inicial y velocidad inicial), esta geodésica será completamente independiente de la masa del cuerpo en cuestión. Todos los cuerpos con las mismas posiciones y velocidades iniciales, independientemente de su masa, deberán seguir esa única trayectoria geodésica.

>> No importará para nada si el cuerpo que va a seguir esa trayectoria es una pluma o un elefante, sino que lo único relevante será la curvatura del espacio-tiempo, así como la posición y la velocidad iniciales del objeto, que definen por completo la geodésica correspondiente. Como consecuencia, la gravedad no hará distinción entre las masas de los cuerpos... ¡¿Os dais cuenta?! ¡Uno de los principios más importantes de la Mecánica, como es el principio de igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria, ha sido explicado de manera completamente natural gracias a la interpretación geométrica que la Teoría de la Relatividad General le da al campo gravitatorio!

9. ¿Cómo se mide la curvatura del espacio?

Seguidamente, Carlos, que llevaba un tiempo con cara de concentración, empezó a hablar con un tono un poco inseguro.

—Señor Alberto, hay algo que no acabo de entender sobre lo que nos dijo de la hormiga y la servilleta. Aunque el camino más corto entre dos puntos en un espacio tridimensional curvado no sea realmente una línea recta, nosotros (que estamos condenados a permanecer dentro del espacio de tres dimensiones) sí deberíamos ver que los caminos más cortos entre dos puntos son siempre líneas rectas... Pero más bien serían líneas falsamente rectas, o algo así, ¿no? En otras palabras, lo que para nosotros es una línea curvada en la servilleta, para la hormiga debería ser una línea recta...

—Eso es verdad, Carlos, al menos dentro de la escala de tamaños con la que estamos acostumbrados a experimentar. Lo que nosotros vemos como líneas rectas dentro de nuestro espacio tridimensional podrían en realidad no serlo si fuéramos capaces de salirnos de nuestro espacio de tres dimensiones y verlas desde un espacio de cuatro. El equivalente con una dimensión menos (es decir, con la hormiguita sobre el pañuelo) sería que la hormiga sólo pudiese mirar hacia la superficie del papel, bajo sus patas, para no ver nunca nada que se saliese del pañuelo. Fijaos que nosotros tampoco podemos ver nada que se salga de nuestro espacio tridimensional.

>> Aquella línea que tracé en el pañuelo de papel es, como recordaréis, la trayectoria que debería seguir nuestra hormiga para ir de un punto a otro del pañuelo en el menor tiempo posible, sin salirse de la superficie del papel. Nosotros veíamos aquella línea como curvada, ya que curvé el pañuelo sobre mi mano. No obstante, si nuestra hormiga sólo pudiese mirar hacia el papel durante todo su trayecto de un punto al otro, juraría que la línea seguida sería perfectamente recta.

—Pero si nosotros no podemos distinguir si las líneas rectas que observamos en nuestro espacio son realmente rectas o no —dijo Óscar -, ¿cómo saben los físicos si el espacio tridimensional está realmente curvado o no?

—¡Esa pregunta es muy buena! ¡Y será muy divertido que tratemos de hallar la respuesta todos juntos! —El tío Alberto dijo esto con un entusiasmo tal, que todos los chicos cambiaron sus posturas en las sillas, como si dijesen al unísono con la mímica “¡manos a la obra!”.

—Para responder a tu pregunta, Óscar, será conveniente que nos fijemos en una versión imaginable del problema. O sea, que nos imaginemos hormigas desplazándose a lo largo de superficies, en lugar de naves espaciales viajando a lo largo de las tres dimensiones de nuestro espacio. ¿Cómo podría una hormiga, que siempre anda mirando hacia la superficie sobre la que camina, saber si se desplaza sobre un plano o sobre una superficie curvada?

>> Imaginaos que la hormiga anda sobre una esfera que es lo suficientemente grande, comparada con el tamaño de la hormiga, como para que la hormiga crea que se encuentra sobre un plano (algo similar a lo que nos pasa a nosotros sobre la superficie de la Tierra). ¿De qué manera podría la hormiga saber si se encuentra sobre un plano o sobre una esfera?

—¡Yo lo sé! —gritó Óscar con su chillona voz -. Dejando algún objeto en el suelo (un grano de arena, por ejemplo) y poniéndose a caminar sin parar. Si anda sobre una esfera, llegará un momento en el que le habrá dado una vuelta completa, como si fuese Phileas Fogg dando la vuelta al mundo, y reencontrará el grano de arena que antes había dejado. Si, en cambio, anda sobre un plano, nunca reencontrará el grano de arena. ¿A que sí?

—Pues no es mala idea. De hecho, recuérdame que volvamos a hablar de ello dentro de un rato, ya que a esa idea se le puede sacar muchísimo jugo. Pero piensa que si la esfera es enormemente grande, nuestra hormiga tardará muchísimo tiempo en darle la vuelta andando. Incluso puede que durante el camino se canse de andar antes de reencontrar el objeto que dejó caer y concluya, fatigada, que anda sobre un plano.

>> Hay otra manera más sutil de que nuestra hormiga averigüe si anda sobre un plano o una esfera, pero para realizar ese experimento necesitaría a otra hormiga compañera. Imaginaos que tenemos dos hormigas, y que éstas tienen una cuerda muy larga que está marcada de forma regular, de manera que puedan usarla para medir distancias. Imaginemos ahora que una de las hormigas coge un extremo de la cuerda y empieza a andar en una dirección a velocidad constante (por lo que seguirá una geodésica sobre la esfera). Seguidamente, la otra hormiga empieza también a andar a velocidad constante, pero en otra dirección distinta, soltando la cuerda necesaria entre ambas. La separación entre las hormigas irá aumentando con el tiempo.

FIGURA 9 Aquí tenemos a dos hormigas tratando de averiguar (mirando únicamente hacia el suelo) si se hallan en un plano o en una esfera. Cuando ambas hormigas empiecen a caminar y a medir la cantidad de cuerda que las separa en función del número de pasos que dan, podrán discernir por fin dónde se encuentran. A la derecha vemos las trayectorias que ambas hormigas seguirían, tanto para el caso del plano como para el de la esfera. Al contrario de lo que pasaría en un plano, si estuvieran en una esfera la longitud de la cuerda desenrollada no iría creciendo siempre al mismo ritmo a medida que las hormigas se fueran separando.

>> Si ambas hormigas están sobre un plano, cuando midan con la cuerda la distancia a la que se están separando como función del número de pasos que han dado, verán que se están separando a velocidad constante.

>> En cambio, si se hallan sobre una esfera, la velocidad a la que se separarán no será constante, sino que irá disminuyendo con el tiempo, como fácilmente podéis imaginar. Llegará un momento en el que, incluso, dejarán de separarse para empezar a aproximarse de nuevo la una a la otra, reencontrándose nuevamente en la antípoda de donde partieron. Así pues, una manera de determinar si las hormigas están en un plano o en una esfera es midiendo si existe una aceleración entre ambas cuando éstas empiezan a andar siguiendo geodésicas en direcciones distintas, es decir, si cada hormiga ve que la otra está acelerando mientras ambas andan.

>> La moraleja de este ejemplo es que en la esfera las geodésicas aceleran unas con respecto a las otras. En cambio, esto no ocurre en un plano, donde la distancia que separa dos geodésicas (dos líneas rectas) crece monótonamente en función de la longitud dibujada, no habiendo por consiguiente ninguna aceleración entre geodésicas.

>> Puede demostrarse que siempre que un espacio métrico tenga curvatura distinta de cero, sea o no una superficie esférica, sus geodésicas acelerarán unas con respecto a las otras. ¡Y es esa aceleración relativa entre geodésicas la que nos puede ayudar a medir la curvatura de nuestro espacio y de nuestro espacio-tiempo sin necesidad de salirnos de ellos!

10. ¿Cómo se mide la curvatura del espacio-tiempo?

—Entonces —dijo Nicolás —dos naves espaciales que en nuestro Universo empezasen a desplazarse en línea recta (bueno, siguiendo geodésicas) en direcciones distintas, ¿podrían llegar a medir una aceleración distinta de cero entre ellas si nuestro espacio tuviese curvatura?

—¡Exactamente! ¿No es fantástico? ¡Dos objetos que dejásemos desplazándose en mitad del Universo, sin ninguna fuerza que actuase sobre ellos, podrían llegar a acelerar uno con respecto al otro si el espacio tuviese curvatura!

>> Pero aunque hasta ahora sólo hemos estado hablando de las dimensiones espaciales a la hora de estudiar la medida de la curvatura (quizás para simplificar nuestra conversación), la dimensión temporal también se debe tener en cuenta cuando hablamos de geodésicas en Relatividad. Para hablar de geodésicas en el espacio-tiempo no sólo tendríamos que pensar en líneas trazadas sobre las tres dimensiones espaciales, sino en curvas de cuatro dimensiones con una componente temporal.

>> Nicolás nos acaba de comentar cómo medir la curvatura de un espacio tridimensional con naves que aceleran unas con respecto a las otras cuando éstas siguen líneas rectas o, más bien, geodésicas. Pero ¿cómo se mide la curvatura del espacio-tiempo? ¿Cómo pasamos a cuatro dimensiones lo que ya hemos visto en dos y tratado de imaginar en tres? Pues de una manera sencilla, como ahora os explicaré. No obstante, no creáis que por ser sencilla está realmente comprendida por toda la comunidad de físicos. Yo, de hecho, conozco a algunos físicos que están muy equivocados con respecto a lo que ahora os voy a explicar.

>> En uno de los artículos en los que Einstein introdujo la Relatividad General y su Principio de Equivalencia, habló de uno de sus famosos Gedanken Experiment (experimento mental) en el que imaginaba una caja rígida en mitad del Universo vacío, con una cuerda atada a uno de los laterales. Ya os introduje este experimento cuando os hablé del Principio de Equivalencia, pero creo que no estará de más recordároslo: si de repente apareciese una tensión en la cuerda atada a la caja, ésta empezaría a acelerar en la dirección de la tensión. Un físico que hubiese en el interior del recinto notaría una aceleración que lo pegaría a la pared opuesta a la que tiene la cuerda atada. Esta fuerza que el científico notaría sería muy parecida a la gravedad que sentimos nosotros en la Tierra. De hecho, si la tensión hiciese acelerar a la caja a 9.8 m/s², que como recordaréis es la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre, nuestro científico no podría distinguir a primera vista si se halla realmente en una caja acelerada en mitad del Universo o en una habitación en reposo sobre la superficie de la Tierra.

>> Este experimento mental es una introducción fabulosa a lo que ahora vamos a discutir. Cuando Einstein hablaba de un Universo vacío en el que la caja aceleraba, se refería a que el espacio-tiempo de su experimento mental no albergaba masa ni energía (a excepción de la caja, el contenido del interior de ésta y la cuerda), por lo que a efectos prácticos el espacio-tiempo de su experimento mental tenía una curvatura nula. Eso es lo que los relativistas llaman espacio-tiempo de Minkowski puro o simplemente de Minkowski, ya que un espacio-tiempo plano, sin curvatura, se reduce al espacio-tiempo primitivo que introdujo Minkowski en la Teoría de la Relatividad Especial.

>> Daos cuenta de que la moraleja de este experimento mental es el Principio de Equivalencia que tan bien conocéis. Además, de este experimento se extrae que en un espacio-tiempo plano, sin curvatura, siempre podemos encontrar un sistema de referencia capaz de simular un campo gravitatorio. En nuestro caso, ese sistema de referencia sería la caja acelerada por la cuerda.

Tras meditar unos segundos, Nicolás interrumpió al tío Alberto.

—Pero tú nos has dicho antes que un campo gravitatorio se caracteriza por una curvatura en el espacio-tiempo. Entonces, ¿cómo puedes simular un campo gravitatorio en un espacio-tiempo sin curvatura? ¡Eso sería como decir que una servilleta que para alguien es plana podría ser vista por otra persona como si fuera una servilleta curvada, lo cual es imposible!

—¡Me sorprendes con esa observación, Nicolás! ¡Eres un chico muy avispado! Es muy cierto esto que dices. La curvatura del espacio-tiempo es algo totalmente independiente del observador que la mide. Así pues, si el espacio-tiempo está (o no) curvado respecto a un observador, debe seguir estándolo (o no) para todos los observadores, se encuentren en el estado de movimiento en el que se encuentren. ¡Pero es que aún no me has dejado terminar la explicación! ¿Recuerdas cuando estuvimos hablando de cómo una hormiguita podría averiguar si anda sobre un plano o sobre una esfera? ¿Recuerdas cuando dijimos que la esfera debía ser lo suficientemente grande como para que la hormiguita no pudiese distinguir fácilmente entre una esfera y un plano? El hecho de que una hormiga andando sobre una esfera enorme se crea, a primera vista, andando sobre un plano, es un efecto que no sólo ocurre con esferas grandes, sino con cualquier espacio métrico: todo espacio curvado puede verse, localmente, como un espacio plano. En la jerga de los físicos, la palabra localmente significa a pequeña escala}.

FIGURA 10 A la izquierda vemos una superficie curvada y a la derecha tenemos una aproximación a dicha superficie, construida como una suma de porciones planas. La aproximación a la superficie curvada se consigue haciendo que las porciones planas contiguas tengan distintas inclinaciones. Si hacemos las porciones planas de la figura derecha suficientemente pequeñas, seremos capaces de recuperar la superficie curvada de la izquierda con toda la precisión que deseemos. Una superficie curvada, por lo tanto, puede entenderse como la suma de porciones planas muy pequeñas.

>> Fíjate que antes he dicho que en el espacio-tiempo plano de Minkowski siempre podemos encontrar un sistema de referencia en el que seamos capaces de simular un campo gravitatorio. No obstante, eso sólo es cierto a pequeña escala. Es como decir que un espacio-tiempo curvado (o sea, con un campo gravitatorio) es, a pequeña escala, igual que el espacio-tiempo plano de Minkowski. Un observador que estuviese limitado a realizar medidas y experimentos dentro de una región del espacio-tiempo lo suficientemente pequeña (como la caja-ascensor del experimento mental de Einstein) no podría percibir diferencia alguna entre estar acelerado en el espacio-tiempo plano de Minkowski o estar en reposo en un espacio-tiempo con curvatura.

FIGURA 11 Aquí vemos como Electra no puede distinguir si se halla sometida a un campo gravitatorio (y en caída libre) o se encuentra flotando en mitad de un espacio-tiempo sin curvatura. La conclusión, recordando también lo que le pasaba a Proty en el otro Gedanken Experiment de Einstein (Figura 6, capítulo 6), es que no se puede distinguir a pequeña escala (es decir, dentro de una caja pequeña como la de Proty o la de Electra) entre un espacio-tiempo plano (es decir, sin curvatura) y uno con curvatura (como el que genera la Tierra).

>> La correspondencia entre el pedazo local de espacio-tiempo curvado y el espacio-tiempo plano de Minkowski también se puede ver a la inversa: en todo pedazo local de espacio-tiempo curvado podemos encontrar un sistema de referencia tal que todo se comporte como si estuviéramos quietos en mitad de un Universo vacío. Ese sistema de referencia es justo el de un cuerpo en caída libre... Me explico:

>> Si estuviésemos subiendo a un rascacielos en ascensor y de repente los cables del ascensor se rompiesen, pasando el ascensor a descender en caída libre, nosotros empezaríamos a flotar dentro de la cabina como si hubiese desaparecido el campo gravitatorio de la Tierra; como si estuviésemos en mitad de un Universo vacío, o sea, en el espacio-tiempo plano de Minkowski.

>> Dado que nuestras conclusiones acerca de la estructura del espacio-tiempo han de ser totalmente independientes de los sistemas de referencia que hayamos usado en nuestras deducciones (al igual la morfología de una servilleta doblada no depende de quien la esté observando), podemos concluir también con este ejemplo que todo pedazo local (es decir, muy pequeño) de espacio-tiempo curvado es exactamente igual que el espacio-tiempo plano de Minkowski. No obstante, globalmente (o a gran escala) sí podemos tener un espacio-tiempo distinto al de Minkowski, es decir, con curvatura. Esta idea es totalmente análoga a ver una superficie curvada como un conjunto de pequeñas porciones planas, una al lado de la otra, pero cada una de ellas con inclinaciones distintas.

—Pero tío —interrumpió Óscar -, el otro día nos dijiste que las medidas del espacio y el tiempo se alteran cuando cambiamos de sistema de referencia, de manera tal que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, ¿no es así?

—Así es —le respondió el tío Alberto, acabándose después la taza de café.

—Entonces, ¿cómo puedes decirnos ahora que la estructura del espacio-tiempo debe ser independiente del sistema de referencia, al igual que la forma de una servilleta es independiente de quien la mira? ¿No te estás contradiciendo?

—Pues no, aunque así lo parezca. Una cosa es hablar de la medida de espacio y tiempo, por separado, y otra muy distinta es hablar del espacio-tiempo como un todo (espacio más tiempo)... La manera en la que se alteran el espacio y el tiempo cuando cambiamos de sistema de referencia es tal que la estructura del espacio-tiempo, visto como un todo, no cambia. Si bien las componentes espacial y temporal pueden cambiar, la entidad total permanece inalterada. Sé que esto es difícil de entender cuando se oye por primera vez, pero así es.

Tras llenarse de nuevo la taza de café continuó la charla.

—Volviendo al tema que nos ocupaba, cuando realmente percibimos la curvatura del espacio-tiempo es cuando nos vamos a escalas grandes, y eso es lo que vamos a hacer ahora. Notad que el inquilino de nuestra caja acelerada en mitad del vacío ve a todos los objetos que están dentro de dicha caja (incluido a él mismo) caer hacia el lado opuesto de aquel que tiene la cuerda tensa atada. Además, los objetos caen con una aceleración idéntica para todos ellos (que es igual a la aceleración que sufre la caja en el espacio vacío, pero en sentido opuesto). Esta aceleración es, por consiguiente, independiente de la masa de los cuerpos acelerados, así como del punto de la caja desde donde se los deje caer.

>> Imaginaos ahora que la caja es enorme. Suponed que cada lado tiene unos 100 kilómetros de longitud. Antes he dicho que el científico de la caja ve caer a todos los objetos con la misma aceleración, ¿no es así? Pues bien, esto se sigue cumpliendo sea cual sea el tamaño de la caja en cuestión, ¿me seguís? ¿Creéis que ahora, dentro de esta caja enorme, nuestro científico será por fin capaz de discernir si se encuentra acelerado en el espacio vacío o si está en reposo sobre la superficie de la Tierra?

Hubo silencio. El tío Alberto, después de mojar una deliciosa pastita en la taza y llevársela entera a la boca, siguió con su explicación.

—A 100 Kilómetros de altura, la aceleración de la gravedad creada por la Tierra disminuye más o menos un 3%. Eso significa que si nuestro científico fuese capaz de medir la aceleración de los cuerpos con una gran precisión, podría distinguir si a 100 Km de altura (dentro de la caja) la aceleración de los cuerpos es menor que en el suelo. Si nuestro científico midiese la misma aceleración para todos los cuerpos dentro de la caja, independientemente de la altura desde la que los dejase caer, habría averiguado por fin que se halla acelerado en mitad de un espacio-tiempo sin curvatura. Si, por el contrario, nuestro científico registrase una disminución de la aceleración de la gravedad a medida que se incrementa la altura, concluiría que se halla a salvo sobre la superficie de la Tierra.

El campo gravitatorio generado por cualquier cuerpo masivo va disminuyendo a medida que nos alejamos de éste, como bien sabréis si habéis estudiado la Ley de la Gravitación Universal de Newton. De hecho, la fuerza del campo gravitatorio disminuye de acuerdo con la muy conocida fórmula de Newton. Este efecto de variación de la intensidad del campo gravitatorio con la altura es lo que nos permite distinguir un espacio-tiempo curvado de un espacio-tiempo de Minkowski. Si aceleramos la caja donde está el físico en un espacio-tiempo de Minkowski, sólo seremos capaces de simular un campo gravitatorio en el que todos los cuerpos caen siempre con la misma aceleración, independientemente de la altura a la que se encuentren. En cambio, en un espacio-tiempo realmente curvado, esa independencia de la aceleración con la altura sólo vale localmente, es decir, en una caja lo suficientemente pequeña como para que nuestros aparatos de medida no alcancen la precisión necesaria para detectar la dependencia de la gravedad con la altura. Por debajo de esa precisión, podemos, efectivamente, simular un campo gravitatorio mediante un sistema de referencia acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski, de la misma forma que una superficie curvada puede verse como una sucesión de pequeñas superficies planas. Al aumentar el tamaño de la caja en nuestro Gedanken Experiment, lo que hemos hecho es irnos a una región más grande del espacio-tiempo curvado, de manera que la aproximación a un espacio-tiempo plano dejaba de ser válida para la precisión de nuestros aparatos de medida.

—Pero si tuviéramos aparatos de medida increíblemente precisos para la determinación de la aceleración de los cuerpos —añadió Carlos -, tal vez seríamos también capaces de detectar una pequeñísima disminución de la intensidad de la gravedad con la altura dentro de una caja del tamaño de un ascensor... Al fin y al cabo, la gravedad siempre está disminuyendo con la altura, estemos en una caja pequeña o en una grande...

—Por supuesto que sí, Carlos —respondió el tío -. Cuando digo que un espacio-tiempo curvado es localmente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski, en realidad me estoy refiriendo a porciones infinitamente pequeñas de espacio-tiempo, en las que realmente no existe variación alguna de la intensidad de la gravedad con la altura. Es en esas porciones infinitesimales de espacio-tiempo donde nadie puede verdaderamente distinguir, de ninguna forma, si está sometido a un campo gravitatorio o si está en un sistema acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski. Para el nivel de rigor con el que estábamos charlando creo que no era necesario llegar hasta este punto; no obstante, aplaudo tu observación.

El tío Alberto bebió un poco de café y se llenó de nuevo la taza. Tras poner cara de meditación durante unos segundos, mientras comía lentamente un pastelito, siguió con la conversación.

—Prestad ahora mucha atención, porque lo que os voy a explicar es tremendamente bello, pero necesitaréis mucha paciencia y meditación para entenderlo —los muchachos cambiaron ligeramente las posturas sobre sus asientos, con los ceños fruncidos, como si estuviesen viendo una película de misterio y se estuviese acercando el final -. ¿Recordáis cuando os dije cómo dos hormiguitas podrían llegar a saber si estaban sobre una esfera o sobre un plano?

—¡Sí, eso sí que lo entendí! —dijo Óscar con aires de orgullo -. Averiguando si al andar a lo largo de geodésicas distintas notaban una aceleración entre ellas o, en cambio, se separaban a velocidad constante. ¿A que sí?

Óscar se quedó extrañado al oírse a sí mismo hablar usando aquellas palabras tan técnicas, como geodésicas, que ya se había acostumbrado a oír de su tío.

—¡Efectivamente, Óscar! ¡¡Muy bien!! —respondió el tío Alberto, orgulloso de su sobrino.

—Imaginaos ahora el siguiente experimento mental. Cogemos dos piedras y situamos una de ellas a 100 kilómetros de altura sobre la Tierra y la otra a 1000 kilómetros de altura. En un principio, ambas piedras están separadas 900 kilómetros. Imaginad ahora que soltamos ambas piedras al mismo tiempo, de manera que las dejamos a merced del campo gravitatorio terrestre. Si la intensidad del campo gravitatorio fuera la misma para ambas piedras, éstas siempre estarían separadas 900 kilómetros, durante toda su caída hacia la Tierra... Pero la gravedad actúa de forma distinta para cada una de ellas.

—¡Pero si antes nos has dicho, cuando explicabas el Principio de Equivalencia, que la gravedad no hace distinción entre los cuerpos y que los acelera a todos por igual! —dijo Óscar con tono de preocupación.

—Eso es verdad, pero los acelera a todos por igual cuando están a la misma altura. La gravedad no hace distinción entre masas (como ya vimos cuando hablamos de la pluma y el elefante), pero la aceleración que produce sobre éstas puede ser distinta si las posiciones de las masas son también distintas. De hecho, hace un momento acabamos de decir que la intensidad de un campo gravitatorio disminuye con la distancia al cuerpo que genera el campo, de acuerdo a la Ley de Gravitación Universal Newton. Si en la Tierra situamos dos piedras a alturas muy distintas, ¡claro que la gravedad las acelera de forma distinta! No obstante, si en lugar de dos piedras hubiéramos usado cuatro, situándolas por parejas, una pareja a 100 kilómetros de altura y la otra a 1000, la gravedad hubiera tratado a cada par de piedras, por separado, con la misma aceleración, independientemente de la masa de cada una de ellas.

>> Bien, sigo por donde me quedé. Puesto que ahora la gravedad es más intensa para la piedra que está más cerca de la superficie terrestre, esa piedra irá acelerando cada vez más que su compañera, de manera que la distancia inicial de 900 kilómetros entre ambas piedras se irá incrementando con el tiempo. Así pues, si montada en cada piedra tuviésemos a una hormiga capaz de medir la velocidad de separación entre las dos piedras, ambas hormigas verían que están acelerando una respecto a la otra.

—¡¡Vaya!! —gritó Nicolás, como si de repente un montón de piezas de rompecabezas se hubiesen encajado en su mente -. ¡¡Eso es exactamente lo mismo que ocurría cuando las dos hormigas caminaban encima de la esfera, midiendo con su cuerda una aceleración entre ellas!! ¡Claro! ¡Como los cuerpos en caída libre siguen geodésicas en el espacio-tiempo, medir que las piedras en caída libre se están separando aceleradamente es medir la aceleración entre las geodésicas que esas piedras están siguiendo!... ¡Y así se puede detectar la curvatura del espacio-tiempo!

—¡¡¡Muy bien!!! ¡¡Eso es, Nicolás!! —gritó el tío Alberto, todavía más excitado que el joven -. Recordad que la aceleración entre geodésicas es un fenómeno que ocurre sólo cuando el espacio en el que estas geodésicas se trazan está curvado. Pero fijaos que tal aceleración se ha de medir entre geodésicas, es decir, entre cuerpos en caída libre en el espacio-tiempo; no entre un cuerpo en caída libre y otro en reposo, por ejemplo.

>> Fijaos también que lo que hizo que el físico de la caja de nuestro experimento mental pudiese averiguar si estaba en el espacio-tiempo sin curvatura de Minkowski o en el espacio-tiempo con la curvatura generada por la Tierra, fue el hecho de que la intensidad de la gravedad disminuye con la altura... ¡Y ese mismo hecho es el que hace que las piedras de nuestro último experimento mental caigan con aceleraciones distintas, produciéndose una aceleración neta entre ellas. Es decir, una aceleración entre las geodésicas del espacio-tiempo! Por lo tanto, la aceleración relativa entre las piedras de nuestro experimento es un efecto medible de la curvatura del espacio-tiempo.

>> Así pues, la variación del campo gravitatorio con la posición (lo que en Física llamamos fuerzas de marea) es un reflejo directo de que el espacio-tiempo tiene curvatura. Si la gravedad no dependiese de la posición, no habría manera de distinguir entre un sistema de referencia acelerado en el espacio-tiempo de Minkowski o uno en reposo en mitad de un campo gravitatorio. Por esto, ¡las fuerzas de marea son una medida directa de la diferencia que hay entre el espacio-tiempo de Minkowski y un espacio-tiempo curvado, es decir, son una medida directa de la curvatura real del espacio-tiempo! Cuanto mayores sean las fuerzas de marea en una región del espacio-tiempo (o sea, cuanto más exagerada sea la variación del campo gravitatorio en función de la posición) tanto mayor será la curvatura del espacio-tiempo en dicha región. Fijaos también que para que haya fuerzas de marea, no es estrictamente necesario que la intensidad del campo gravitatorio varíe con la posición; también puede darse el caso de que solamente cambie la dirección del campo. En nuestro ejemplo de las piedras en caída libre, si soltáramos ambas piedras desde la misma altura, pero poniendo una sobre España y la otra sobre Australia, las hormigas montadas en las piedras también detectarían una aceleración entre ellas, ya que ambas estarían cayendo hacia el centro de la Tierra y, por lo tanto, seguirían direcciones distintas.

>> Antes habíamos imaginado una superficie curvada como un montón de pequeñas porciones planas contiguas. Lo que daba curvatura a la superficie total era que éstas porciones planas podían tener inclinaciones distintas. Cuando pasamos esta idea al espacio-tiempo, y lo imaginamos como un conjunto de pequeñas porciones planas (es decir, porciones de tipo Minkowski), el análogo a que en dos dimensiones las pequeñas porciones planas tengan distintas inclinaciones es que la intensidad (y/o la dirección) del campo gravitatorio varíe de una porción plana a la otra, debido esto exclusivamente a las fuerzas de marea.

—¿Por qué a la dependencia del campo gravitatorio con la posición se le llama fuerza de marea? —preguntó Carlos.

—Pues porque es esa dependencia de la gravedad con la posición la que origina las mareas en la Tierra cuando la Luna orbita alrededor de nosotros.

Antes de dejar que el tío Alberto siguiese explicando aquello, Diana, que hasta entonces había estado escuchando la conversación con mucha curiosidad, formuló una pregunta.

11. ¿Depende la masa de la velocidad?

—Siempre hay una cosa que he querido saber y nunca he preguntado a nadie, Alberto —dijo Diana -. ¿Por qué la teoría de Einstein se llama Relatividad?

Óscar se adelantó a su tío, rebosando seguridad: “Es porque en esa teoría el espacio y el tiempo, que antes se creía que eran absolutos o independientes de sistema de referencia, pasaron a depender del observador, o sea, a ser relativos a cada medidor”.

—Sin embargo —añadió el tío Alberto -, no estoy demasiado de acuerdo con el nombre que se le dio a la teoría, porque puede llevar (y, de hecho, ha llevado a más de uno) a una terrible confusión —Óscar miró a su tío con una cara que era combinación de curiosidad e inquietud -. Muchas personas tienden a pensar que la Relatividad de Einstein es la versión científica de esa corriente filosófica que va circulando por ahí, llamada relativismo. Según el relativismo filosófico, todo depende de todo. No hay nada absoluto, de manera que todas las opiniones sobre cualquier tema tienen exactamente el mismo valor y peso, ya que la verdad misma se supone relativa a cada individuo. No obstante, esta postura no puede estar más en contra de la Teoría de la Relatividad de Einstein, como ahora os explicaré.

>> Más que Relatividad, a la Teoría de Einstein podría llamársela (aunque parezca paradójico) Teoría de lo Absoluto, porque realmente nos está diciendo algo totalmente antagónico a las posturas del relativismo filosófico. Si bien en la Relatividad se llega a la conclusión de que las medidas de espacio y tiempo son relativas a cada observador, lo que muchos no saben es que hay una cosa absoluta (o invariante) en esas medidas relativas. De hecho, y a modo de curiosidad histórica, os diré que al mismo Einstein nunca le gustó el nombre de Relatividad para su teoría. Él siempre hubiera preferido llamarla Teoría de los Invariantes, aunque buena parte de sus colegas y los medios de comunicación acabaron ganando la batalla del nombre de su teoría.

—¡Xelo! —dijo el tío mientras le daba su bolígrafo a la chiquilla -, coge este bolígrafo en tus manos. ¿Lo ves bien? —preguntó, a lo que Xelo asintió -. Ahora gíralo cuanto quieras en la dirección que quieras.

Xelo le obedeció girando el bolígrafo unos 90 grados en la horizontal, en el sentido de las agujas del reloj. “¿Sigues viendo bien el boli?”, le preguntó el tío Alberto. Xelo no tenía ni idea de a dónde quería ir a parar su tío. Asintió de nuevo, con gran curiosidad.

—¿Crees que por el hecho de haber girado el boli ahora es más largo o más corto que como era antes de girarlo? —le preguntó el tío, con aquella sonrisita característica suya.

—Pues no —respondió Xelo convencida -. Por mucho que lo gire, siempre va a ser igual de largo.

—¡Efectivamente! ¡Ninguna rotación ni ninguna traslación son capaces de cambiar la longitud de las cosas! ¡Y exactamente lo mismo ocurre en el espacio-tiempo! La gracia de que las transformaciones de Lorentz (que, como recordaréis, son las que nos permiten relacionar las coordenadas espaciales y temporales de distintos observadores) se traduzcan en rotaciones en el espacio-tiempo, tiene como consecuencia directa que las longitudes de los vectores del espacio-tiempo deben ser las mismas para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. Luego las longitudes de los vectores en el espacio-tiempo son absolutas, y no relativas a cada observador.

>> Naturalmente, cuando rotamos un vector en el espacio-tiempo estamos cambiando sus componentes en las direcciones espaciales y en la dirección temporal, al igual que la sombra del bolígrafo sobre la mesa se alarga o se contrae cuando Xelo lo gira con su mano. No obstante, la longitud de los vectores en el espacio-tiempo se mantiene siempre constante, al igual que la longitud de nuestro boli.

>> Un vector en el espacio-tiempo puede representar, por ejemplo, el estado de movimiento de un objeto en el Universo. Que varíen las proyecciones espacial y temporal de los vectores en el espacio-tiempo cuando aplicamos una rotación (al igual que cambia la sombra del boli sobre la mesa cuando lo giramos) se traduce en que habrá magnitudes asociadas a dichos cuerpos, como son su energía cinética o su momento lineal, que dependerán del sistema de referencia desde el que las midamos. ¡Pero esto no es nada nuevo! ¡Ya se sabía incluso en tiempos de Newton!

>> No obstante, el hecho de que las longitudes de los vectores en el espacio-tiempo (llamadas también invariantes relativistas) se mantengan siempre constantes, por muchas rotaciones que hagamos, va a imponer duras restricciones a las cantidades que va a medir cada observador. De este modo, dado un cambio en el sistema de referencia de un observador, éste no podrá medir cualquier valor de la energía cinética de un objeto, por poner un ejemplo, sino que su medida estará totalmente determinada por aquello que es absoluto, a saber, los invariantes relativistas. Fijaos que esta conclusión es totalmente distinta a las posturas del relativismo en Filosofía. La Relatividad realmente es muy severa y absoluta para los sistemas de referencia, ya que impone a cada uno qué es lo que tiene que medir, de manera que todos los observadores vean siempre los mismos invariantes relativistas, o sea, midan las mismas longitudes de los vectores en el espacio-tiempo.

—Entonces —dijo Carlos —la masa de los cuerpos es la proyección en el espacio (o el tiempo, no sé...) de uno de esos vectores de los que hablas, ya que la masa aumenta con la velocidad...

—¡¡¿Qué has dicho?!! —respondió el tío Alberto sorprendido —¡¿Que la masa depende de la velocidad?! ¡¿Quién te ha dicho eso?!

—El profesor de Física del instituto —respondió Carlos, no menos sorprendido que el tío Alberto al ver su reacción.

—¡Vaya! ¡Ya estamos otra vez! —dijo Alberto, como si estuviese enfrentándose de nuevo a una conversación que ya había mantenido decenas de veces -. En los primeros escritos que Einstein publicó sobre Relatividad Especial, definió lo que se conoce como masa relativista, que depende de la velocidad relativa entre el observador y el objeto cuya masa es medida. Por lo tanto, la masa relativista efectivamente dependería del sistema de referencia. No obstante, la masa relativista no es más que un truco matemático que ideó Einstein para tratar de escribir el momento lineal, en Relatividad Especial, usando la misma fórmula que usó Newton cuando formuló su Mecánica (el momento lineal es una importantísima magnitud física que se define como la masa de un cuerpo multiplicada por su velocidad). Este truco matemático de Einstein se debió más a la comodidad (o a razones históricas) que a la pura necesidad de la teoría. Además, ese concepto de masa relativista resultó ser muy poco fructífero cuando Einstein empezó a hurgar de lleno en su nueva teoría para formular la Relatividad General.

>> Efectivamente, tal y como hemos dicho hace un rato, la estructura del espacio-tiempo debe ser independiente del sistema de referencia desde el que la estudiamos, al igual que la forma de una servilleta doblada no se altera por mucho que cambiemos la dirección desde la que la observamos. De este modo, como la masa de los cuerpos es una de las causas de que el espacio-tiempo se curve, la masa no puede depender del sistema de referencia desde el que se la mida. De no ser así, estaríamos diciendo indirectamente que la curvatura del espacio-tiempo debería ser distinta para diferentes observadores. En ese sentido, la masa de los cuerpos debe ser lo que antes hemos llamado un invariante relativista, para asegurarnos de que la Teoría de la Relatividad sea auto consistente (es decir, para asegurarnos de que la curvatura del espacio-tiempo sea la misma para todos los observadores que en él se encuentren). La masa, por lo tanto, es algo directamente relacionado con la longitud de un vector en el espacio-tiempo; vector que, de hecho, llamamos cuadrimomento. Así pues, ningún cambio en el estado de movimiento de un observador (o sea, ninguna rotación en el espacio-tiempo) será capaz de hacer que cambie la longitud del vector cuadrimomento, de forma que la masa de un cuerpo cambie. La masa será, por consiguiente, totalmente absoluta e independiente del observador.

—Pero si no es verdad que la masa aumenta con la velocidad, ¿cómo explicas entonces que ningún cuerpo sea capaz de superar la velocidad de la luz? —replicó Carlos -. Porque, si la masa aumentara con la velocidad hasta hacerse prácticamente infinita cuando la velocidad del cuerpo se acercase mucho a la de la luz, nos costaría una energía también casi infinita acelerar a dicho cuerpo un poquitín más, de manera que ningún cuerpo con masa no nula podría llegar jamás a acelerar hasta la velocidad a la luz... ¿Cómo explicas este efecto si dices que la masa es un invariante relativista?

—Pues de una manera un poco complicada, Carlos. De hecho, creo que es su complejidad lo que hace que algunos profesores prefieran no marearos con la explicación correcta cuando os introducen el arcaico concepto de masa relativista.

>> Recordad que el otro día dijimos que para que la velocidad de la luz fuese exactamente la misma respecto a cualquier sistema de referencia (por lo que la velocidad de la luz también es, de hecho, otro invariante relativista), debíamos admitir que las medidas de espacio y tiempo tenían que ser distintas para distintos observadores. O sea, que el tiempo corre más lento cuanto mayor es la velocidad de un observador respecto a otro y, asimismo, el espacio también se encoge en la dirección del movimiento del observador.

FIGURA 12 Aquí tenemos a Proty y Electra observando cómo un mismo objeto, que al principio estaba parado respecto a Electra (figura superior izquierda), de repente gana una enorme velocidad (figura superior derecha). No obstante, la misma escena vista por Proty (que, con respecto a Electra, se está desplazando a gran velocidad hacia la izquierda) es bien distinta. Él ve cómo un cuerpo que ya se estaba desplazando a gran velocidad (figura inferior izquierda) gana solamente un poquitín más de velocidad, casi inapreciable (figura inferior derecha). Un gran empujón para el objeto, visto por Electra, se transforma, pues, en un pequeñísimo empujón para Proty, como si Proty estuviese observando que la masa inercial del objeto es increíblemente grande... Pero esto no significa que la masa del objeto sea realmente mucho mayor para Proty; este efecto es más bien debido a que el espacio y el tiempo son distintos para Proty y Electra, dada su velocidad relativa.

>> Imaginad, con esto en mente, que estáis observando en mitad del Universo un cuerpo que modifica su estado de movimiento de forma brusca, como si alguien lo hubiese empujado con mucha fuerza. Si vosotros estabais en reposo respecto a dicho cuerpo, veréis como pasa, en un instante, de tener velocidad nula a tener una alta velocidad.

>> Pero si la misma escena fuese vista por otro observador, tal que éste se estuviese moviendo a gran velocidad en sentido opuesto al del empujón, dicho observador mediría las distancias espaciales y el tiempo de manera muy distinta a vosotros. Puesto que este observador mediría el espacio encogido respecto a vosotros, un gran cambio en la posición del cuerpo para vosotros sería un cambio pequeño para este segundo observador, casi imperceptible si su velocidad respecto a vosotros fuese lo suficientemente alta. Del mismo modo, como un tiempo muy corto para vosotros para él puede ser un tiempo larguísimo (y mayor cuanta más velocidad tenga respecto a vosotros), el tiempo que para vosotros ha tardado el cuerpo en recorrer cierta distancia será, para este observador, un tiempo mucho mayor.

>> De esta manera, el cuerpo empujado que, según vosotros, cambió su estado de movimiento de manera exagerada, pasando de estar en reposo a tener una gran velocidad, apenas llegó a cambiar su ya alta velocidad inicial para este segundo observador. Tened en cuenta que esto nada tiene que ver con un hipotético incremento de la masa con la velocidad, sino más bien con la medida del espacio y el tiempo, que depende del sistema de referencia. Así pues, cuanto mayor es la velocidad de un cuerpo respecto a vosotros, tanto más exagerada es la diferencia entre vuestras medidas del espacio y el tiempo y las de un observador que viaje junto a ese cuerpo. Y es eso lo que hace que un gran empujón respecto al sistema de referencia que viaja junto a dicho cuerpo apenas afecte el estado de movimiento del cuerpo respecto a vosotros, de manera exactamente equivalente a como si la masa de los cuerpos aumentase con la velocidad... Sólo que este efecto no es producido por una variación real de la masa, sino más bien por las distintas medidas de espacio y tiempo que realizan distintos observadores.

>> Si admitiéramos que la masa aumenta con la velocidad, los efectos de dicho aumento se sumarían a estos que acabo de describiros, y que provienen básicamente de las transformaciones de Lorentz. El resultado de sumar ambos efectos (es decir, transformaciones de Lorentz, por una parte, y masa relativista, por otra) sería equivalente a aplicar dos veces las transformaciones de Lorentz, por lo que los resultados a los que llegaríamos serían totalmente erróneos. Por lo tanto, la hipótesis de que la masa varía con la velocidad es falsa.

—Entonces, ¿por qué en los libros del instituto se dice que la masa varía con la velocidad? —preguntó Carlos, con aire de frustración.

—Pues porque, como os he dicho antes, hay gente que cree que esa explicación es más fácil de comprender que la que yo os acabo de dar ahora. Además, hoy en día aún hay personas (incluso algunos físicos) que, conociendo únicamente la Relatividad Especial, no ven las grandes paradojas a las que llegaríamos en Relatividad General cuando impusiéramos que algo que genera curvatura en el espacio-tiempo, como es la masa, dependiese de los distintos observadores. Hay libros de instituto que sólo parecen tener en cuenta los primeros artículos de Einstein sobre Relatividad Especial, haciendo caso omiso a los posteriores avances en la Teoría.

El tío Alberto se aclaró la voz y pareció meditar durante unos segundos en los que un tranquilizador silencio inundó la habitación. Después, sacó de su bolsillo una libretita de notas y buscó entre sus páginas una anotación que pasó a leer en voz alta.

—Lo que ahora os voy a leer es el extracto de una carta que el mismo Albert Einstein escribió a su amigo Lincoln Barnett, hablando precisamente del tema que nosotros estamos tratando ahora. Este extracto me gustó tanto que decidí apuntármelo en mis notas, por si en algún momento discutía con alguien acerca de esta falacia tan extendida de que la masa varía con la velocidad.

>> Si no os fiáis de mí, muchachos, escuchad lo que llegó a escribir durante el verano de 1948 el mismo Albert Einstein, padre de la Relatividad:

“[...] No es bueno introducir el concepto de masa relativista de un cuerpo, término para el que no se puede dar una definición clara. Es mejor, en cambio, no definir otra masa más que la masa en reposo y, en lugar de usar la masa relativista, limitarse a trabajar con las fórmulas relativistas para la energía y el momento lineal [...]”

Tras leer aquellas palabras, se hizo de nuevo el silencio durante unos instantes; silencio que Óscar, como no, rompió contundentemente con su chillona voz.

—¡¿Entonces la masa es un invariante relativista?! ¡Guau! —exclamó Óscar sonriente, pensando en qué cara pondría su profe cuando se lo dijese. Después se paró a pensar un poco y su cara se tornó en preocupación -. Pero... ¡Oooops! ¿Qué ocurre en las reacciones nucleares? ¡Ahí, parte de la masa de los núcleos se convierte en energía, por lo que en una reacción nuclear la masa está realmente cambiando, aún siendo un invariante relativista!

—No mezclemos peras con manzanas, Óscar. Que la masa sea un invariante relativista quiere decir únicamente que si hacemos un cambio de sistema de referencia la masa no cambiará. Pero eso no tiene nada que ver con que durante una reacción nuclear la masa se transforme en energía. ¡Un proceso nuclear no es un cambio de sistema de referencia! Si en una reacción nuclear la masa, por ejemplo, se redujese en un 1%, entonces se reduciría en un 1% para cualquier sistema de referencia desde el que se observase esa reacción nuclear. De esta manera, la masa sería siempre la misma para todo sistema de referencia, tanto antes como después de la reacción.

>> De manera rigurosa, la masa se define como la energía en reposo de los cuerpos. Esto significa que si cogiéramos un objeto, lo pusiéramos en reposo respecto a nosotros y fuéramos capaces de medir toda la energía que pudiéramos extraer de él (la totalidad de la energía nuclear disponible hasta desintegrar y hacer desaparecer por completo al objeto), la energía extraída sería igual a... —el tío Alberto cogió el bolígrafo de las manos de Xelo y escribió sobre una servilleta la famosísima fórmula que robó una leve sonrisa de la boca de todos los presentes -.

E = m c²,

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y m es la masa del objeto en cuestión. La masa, de acuerdo con esta fórmula, es una forma de medir toda la energía en reposo que posee un cuerpo. Durante una reacción nuclear, podemos hacer que cambie la energía total de interacción entre los protones y los neutrones de un núcleo, de manera que la energía en reposo de los productos sea más pequeña que la de los reactivos. De ese modo, la masa disminuye y la diferencia entre las masas antes y después del proceso (multiplicada por c²) nos da la energía nuclear que hemos sido capaces de producir en la reacción.

FIGURA 13 Aquí vemos el esquema de una reacción nuclear de fisión, donde un núcleo pesado (izquierda) se parte en varios núcleos más ligeros (derecha). Las líneas onduladas simbolizan la energía que mantiene unidos a los nucleones (protones y neutrones). Dado que la masa es igual a la energía en reposo y, como vemos, hay energía que se escapa cuando el núcleo pesado se parte, la suma de las masas de los productos de la reacción será menor que la masa del núcleo pesado antes de la reacción... En este caso, ¡el todo pesa más que la suma de las partes!

>> Notad que esta definición de masa como la energía en reposo de los cuerpos es, por construcción, un invariante relativista, ya que nos obliga a ponernos en reposo respecto del cuerpo en cuestión para poder medir su masa. No importa pues en qué sistema de referencia nos encontremos, ya que la masa siempre se deberá medir como la energía en reposo del cuerpo que la posee. Este valor será, obviamente, independiente del sistema de referencia.

—¡Bueno, chicos, creo que ya va siendo hora de que acabe la conversación! —dijo Diana mientras se levantaba de la silla y empezaba a recoger las piezas de café encima de la bandeja -. Ya se está haciendo tarde y me tenéis que hacer una compra y ayudar en las tareas de la casa.

—¡Oh, mamá! —gritaron Xelo y Óscar casi al unísono con un tono que reflejaba claramente las ansias que tenían de colaborar en las tareas del hogar.

—¡O eso o a hacer los deberes!

—¡¡Los deberes!! —respondieron ambos en menos de una décima de segundo, saltando de las sillas en las que estaban sentados, preparados para ponerse a hacer los deberes cuanto antes.

—¡Tú si que sabes controlarlos, Diana! —dijo Alberto a su cuñada con una sonrisa de complicidad.

Los chicos se despidieron del tío Alberto y quedaron sin falta para charlar de nuevo al siguiente día.

12. Nuestro lugar en el Universo

Era ya la tercera tarde de charla y café del tío Alberto con los chicos y Xelo (y con Diana, que la vez anterior también formó parte de la reunión). Diana le contó a Xelo que el tío Alberto había venido a pasar unos días a Valencia para ver a la familia, antes de volverse a Alemania. Por suerte, todavía quedaban varios días libres antes del regreso de Alberto a Bonn. Eso significaba que aún podrían disfrutar varias tardes más con la compañía del tío, que siempre tenía cosas interesantísimas que contar.

Aquella tercera tarde, el que comenzó a hablar fue Óscar, después de que Xelo se uniera al cuarteto como de costumbre. Diana también quería unirse a la conversación, pero todavía estaba preparando el café. No obstante, dio permiso a todos para que comenzasen la tertulia sin ella.

—¿Te acuerdas, tío, —empezó Óscar —de aquel comentario mío sobre la hormiga dando la vuelta completa a una esfera para saber si se encuentra realmente sobre ella o sobre un plano? ¡Tu dijiste que se le podía sacar mucho jugo a aquella idea!

—¡Vaya, pues claro que sí! Y se lo vamos a sacar ahora mismo, si queréis —Los muchachos asintieron y se acomodaron en sus asientos como si por fin hubiera ocurrido lo que todos ellos estaban esperando: oír al tío Alberto hablar de Física.

—Si os parece bien, hoy vamos a hablar sobre Cosmología, la ciencia que estudia al Universo entero como una única entidad. Decidme, muchachos: si os pidiese ahora que me describierais cómo es el Universo, ¿qué me diríais?

—¡Es algo oscuro con muchas estrellitas blancas que lo llenan! —respondió Xelo.

—¡Ja, ja, ja! ¡Buen intento, Xelo! —dijo el tío Alberto entre abiertas risas -. Pero creo que esa definición se puede mejorar. De hecho, y como esto que os voy a contar no parece estudiarse demasiado en la Geografía del instituto (que más bien se centra en el estudio del planeta Tierra, como su nombre indica) creo que voy a haceros un pequeño paréntesis para hablar un poco sobre la geografía de nuestro Universo. De este modo, tendremos todos una mejor visión de lo que es el Universo a la hora de ponernos a hablar sobre la Cosmología.

El tío Alberto se aclaró la voz antes de seguir con la charla. Se detuvo unos segundos, como queriendo recordar algunos datos de interés, y seguidamente empezó la exposición.

—En tu descripción del Universo, Xelo, debes de tener en cuenta que el total de las cerca de 8000 estrellas que somos capaces de ver a simple vista durante la noche, sólo pertenecen, en realidad, a una pequeñíiiiisima parte de los centenares de miles de millones de estrellas y cuerpos celestes que pueblan nuestra galaxia. Además, toda nuestra galaxia es también una parte pequeñíiiisima entre los miles de millones de galaxias que llenan todo el Universo.

>> Para que os hagáis una idea del tamaño de nuestra galaxia, tened en cuenta que un rayo de luz podría dar casi ocho vueltas al mundo en tan sólo un segundo ¡Imaginad cuán rápida es la luz! Pues bien, para ir de un lado al otro de nuestra galaxia, este rayo tan rápido de luz necesitaría más de 100.000 años, viajando continuamente a esa enorme velocidad.

—¡Guau! ¿Cuántas vueltas al mundo son eso? —preguntó Xelo fascinada -.

—No lo he calculado, pero en 100.000 años caben muchísimos segundos y cada uno de ellos representa casi ocho vueltas al mundo.

—¡Madre mía! ¡¿Y dices que nuestra galaxia, ese mastodonte, es pequeñísima comparada con el resto del Universo?! —exclamó de nuevo Xelo.

—Claro que sí. Aún siendo pequeñísima en comparación con el tamaño del Universo, nuestra galaxia, comparada con otras galaxias, es de tamaño medio tirando a grandecito, y cerca de ella tiene algunas galaxias pequeñitas orbitando a su alrededor.

>> Nuestro Sistema Solar se encuentra dentro del disco galáctico, cerca del borde exterior de la galaxia, donde un enorme conglomerado de materia oscura (que todavía no se sabe muy bien lo que es) la rodea, afectando a su movimiento de rotación. Nuestra galaxia es lo que se llama una galaxia espiral, es decir, compuesta por un núcleo muy denso (con un agujero negro supermasivo en el centro) y unos brazos con forma espiral que forman su disco. Al igual que pasa con casi todo aquello a lo que son accesibles nuestros sentidos (con ayuda también de la tecnología), hemos puesto nombre a cada uno de los brazos que conocemos de la galaxia, llamándolos como a ciertas constelaciones. ¡Ojo! esto no significa que las estrellas de estas constelaciones estén situadas en los diferentes brazos galácticos. Las estrellas que podemos ver a simple vista (es decir, las que forman las constelaciones) están todas prácticamente pegadas a nuestro Sol, si comparamos su distancia a nosotros con el tamaño total de la galaxia.

>> Tenemos entonces, desde fuera hacia dentro, los brazos de Cisne, Perseo, Orión (donde se encuentra nuestro Sol, una estrella más de este brazo), Sagitario, Scutum y Norma.

FIGURA 14 Aquí tenemos un esquema cualitativo de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Los brazos espirales, en orden numérico, son los de Cisne, Perseo, Orión, Sagitario, Scutum y Norma. El puntito blanco sería la zona donde se encuentra nuestro Sol. En la figura, la galaxia rotaría en el sentido de las agujas del reloj.

>> Aunque estamos en un brazo de la galaxia donde la densidad de estrellas es superior a la media, eso no significa que nuestras estrellas vecinas estén a un tiro de piedra de nosotros. De hecho, la estrella más próxima a nuestro Sol (llamada Alpha-Centauri) está nada menos que a unos 4 años-luz de nosotros. Es decir, que la luz emitida por esa estrella, viajando a 300.000 kilómetros por segundo, tarda cuatro años en llegar hasta nuestros ojos.

>> Si mi hermano aún utiliza el telescopio que se compró hace un tiempo, alguna de estas noches, cuando queráis, podríamos ir al campo a echar un vistazo al firmamento y poder mostraros así vuestro lugar en el Universo. Os enseñaré dónde está el disco galáctico, cuál es el movimiento de rotación y traslación de nuestra galaxia y veremos cosas muy interesantes. Observaremos nubes moleculares (el lugar donde nacen las estrellas), como son la Nebulosa de Orión o la nebulosa del Águila, donde se halla lo que a los astrónomos nos gusta llamar los Pilares de la Creación. ¡Pero no esperéis que lleguemos a distinguirlos con el telescopio de Iván! Veremos también nebulosas planetarias (que es la última etapa de la vida de estrellas del tamaño del Sol) y muchas cosas más.

Los muchachos y Xelo asintieron con grandes sonrisas, e incluso Óscar dio un aplauso y empezó a reír de felicidad al pensar en la idea que el tío había tenido. Aunque Iván, el hermano del tío Alberto, era muy aficionado a la Astronomía, no conocía con tanta profundidad el cielo nocturno como el tío Alberto. Carlos, tras la celebración de aquella idea sobre exploración cósmica, formuló una interesante pregunta.

—Ha dicho, señor Alberto, que las estrellas nacen en nubes moleculares ¿El Sol nació también en una nube molecular?

—Por supuesto que sí, al igual que la práctica totalidad de las demás estrellas. Nuestro Sol es una estrella relativamente rica en elementos pesados, lo cual es un claro indicativo de que antes que ella hubo otras. Eso sería como decir que nuestro Sol tuvo padres y abuelos, de cuyos restos, debidamente procesados por miles de millones de años de evolución, surgió él junto con los planetas que forman el Sistema Solar, incluida la materia que forma nuestros cuerpos y todo cuanto nos rodea. Con esto en mente, muchachos, daos cuenta de que todo aquello de lo que estamos formados, y de lo que está formado nuestro planeta Tierra, no es más que polvo de estrellas; el polvo que en su día formó parte de las estrellas que fueron los ancestros de nuestro Sol. La avanzada edad de nuestro Sol hace bastante difícil determinar con toda seguridad cuál es (o fue) la nube molecular de la que proviene. Pero venga de la nube molecular que venga, es allí donde el Sol tendrá un montón de estrellas hermanas, que surgieron del mismo polvo estelar que él (¡y que nosotros!).

>> Según lo que actualmente conocemos acerca de la formación estelar, la historia de las estrellas como el Sol suele empezar en esas nubes moleculares (las madres de las estrellas), lugares donde se forman, debido a la presión de la radiación de estrellas vecinas, o a ondas de choque provenientes de explosiones supernova, pequeñas nubes de gas y polvo que se van alejando poco a poco de su lugar de origen... ¡Pequeñas, claro está, a las escalas de tamaño de las nubes moleculares!

>> Actualmente hay un montón de fotos, como las del telescopio Hubble de la nebulosa de Orión, en las que se ve claramente este fenómeno. Mientras se van alejando de las grandes nubes moleculares, estos pequeños cúmulos de gas y polvo, en ocasiones denominados embriones estelares, se van condensando debido a la fuerza de la gravedad que ellos mismos generan. Esta condensación de gas sigue hasta que en el corazón de los embriones se engendran presiones y temperaturas suficientes como para encender reacciones termonucleares de fusión. Es entonces cuando el embrión estelar se convierte finalmente en una proto-estrella.

>> Durante el colapso gravitatorio del embrión estelar, parte de éste queda diluido en los alrededores, o formando un disco de materia en el ecuador de la futura estrella. De este disco surgirán los futuros planetas, tras los continuos choques entre las partículas y los pequeños colapsos gravitatorios que allí también se irán produciendo, así como de la limpieza del material interplanetario que los propios planetas efectuarán usando su gravedad como escoba.

>> Pasados unos cuantos miles de millones de años tras la formación de la proto-estrella, el resultado de todo el proceso será una estrella central rodeada de planetas, así como de los restos del disco de materia del que los planetas nacieron. Estos restos tomarán forma de asteroides, cometas y otros pequeños cuerpos en órbita alrededor de la estrella central.

>> Nuestro propio Sistema Solar alberga todavía los restos del colapso de la nube de gas y polvo de la que proviene, así como de la formación de sus planetas (entre los que se encuentra la Tierra). Por ejemplo, más allá de Neptuno, y extendiéndose hasta unos 6000 millones de kilómetros (que son algo menos de 6 horas-luz), existe un disco de materia (la reliquia de nuestro primitivo disco proto-planetario) que recibe el nombre de disco de Kuiper... Y más allá del disco de Kuiper, en un radio de casi treinta billones de kilómetros (unos 3 años-luz), existe una tenue esfera de gas que rodea el Sistema Solar entero. Este gas es el residuo de nuestro embrión estelar, así como de la limpieza gravitatoria con la que nuestros planetas vaciaron, aunque no del todo, el espacio interplanetario. Esta enorme esfera de gas que nos rodea recibe el nombre de nube de Oort. Esta nube no se ha visto directamente, pero su existencia ha sido corroborada en base a las órbitas de todos los cometas de largo período conocidos. Según se ha medido, todos estos cometas deben venir de una región esférica situada a unos tres años luz de nuestro Sol. La nube de Oort es, pues, no sólo el remanente del nacimiento de nuestro Sistema Solar (y de nuestra civilización con él), sino que, además, es el origen de gran parte de los cometas que de vez en cuando nos vienen a visitar.

Los muchachos no podían salir de su asombro al escuchar las palabras del tío Alberto. Nada más, sino la Astronomía, podía hacerles sentir parte del Universo de aquella forma tan especial.

—¡Pero si ahora nos vamos fuera de nuestro Sistema Solar, o incluso fuera de nuestra galaxia, todavía quedan muchas más maravillas por descubrir! —les dijo el tío Alberto, sonriéndose al ver los pasmados rostros de sus oyentes -. Nuestra galaxia forma parte de lo que se llama el Grupo Local, compuesto por ella misma, la galaxia de Andrómeda y unas cuantas decenas de galaxias más pequeñas. Cerca del Grupo Local se encuentra el Cúmulo de Virgo, formado por un par de centenares de otras galaxias, todas ellas separadas por distancias del orden de millones de años luz. Si el cúmulo de Virgo fuera una ciudad, el Grupo Local, junto con la Vía Láctea (nuestra galaxia) estaría en los suburbios de las afueras; en una zona donde apenas hay densidad galáctica. La zona más importante del cúmulo de Virgo (la gran ciudad) se encuentra a unas cuantas decenas de millones de años luz de nosotros. Pero aún estando en una región de baja densidad de galaxias, la galaxia de Andrómeda, nuestra vecina más cercana, está nada menos que a 2.3 millones de años luz de la Vía Láctea; aunque se está acercando a nuestra galaxia vertiginosamente, por lo que ambas llegarán a colisionar dentro de unos 3000 millones de años. Tras el choque, ambas galaxias pasarán a formar una única y enorme galaxiota —los muchachos y Xelo intercambiaron una mirada que era combinación de asombro y miedo.

>> La colisión de galaxias es algo muy común en el Universo. Nuestra galaxia no será la primera ni la última que colisione con otra compañera. De hecho, hoy en día se sabe casi a ciencia cierta que parte de la materia que forma nuestra galaxia proviene de primitivas colisiones con otras galaxias más pequeñas. De hecho, actualmente sabemos que hay muchas galaxias pequeñas orbitando alrededor de la nuestra, como las Nubes de Magallanes. A finales del siglo pasado también se descubrió, al otro lado de la Vía Láctea, una pequeña galaxia satélite que, según nuestros cálculos, no podrá aguantar una vuelta más orbitando alrededor de la Vía Láctea, colisionando finalmente con ella dentro de unos cuantos centenares de millones de años. Al parecer, esta pequeña galaxia ya chocó una vez contra la nuestra hace un montón de millones de años, atravesando su disco casi perpendicularmente y dejando tras de sí un surco de tenue materia que traspasa el disco y, prácticamente, rodea toda nuestra galaxia.

Tras detenerse unos segundos, fijando la mirada en el infinito, el tío Alberto les preguntó con un tono excitado: “¡¿No es maravillosa la imagen que la Astronomía nos da de nuestro lugar en el Universo?!”. Los chavales respondieron “sí” con los ojos, sin necesidad de abrir la boca. El tío Alberto, queriendo estimularles un poco más las mentes frente a las maravillas del Cosmos, acabó aquella parte de la conversación con un breve comentario.

—Hablando un poco más de la galaxia de Andrómeda, cabe decir que es la única que puede verse a simple vista, sin necesidad de usar telescopio. Si durante alguna noche clara llegáis a verla, pensad que la luz que estará entrando en las retinas de vuestros ojos habrá sido creada por aquella galaxia cuando nuestra especie, Homo Sapiens-Sapiens, ni siquiera existía en el mundo... ¡Y esa luz habrá necesitado todos esos dos millones y pico de años para llegar hasta vuestros ojos, dada la titánica distancia que nos separa de esa galaxia! —Xelo escuchaba con la boca abierta.

>> Pero eso no es todo. En el Universo no sólo están nuestro Grupo Local y el Cúmulo de Virgo, sino que hay muchos otros cúmulos de galaxias (miles de millones), formando entre ellos racimos de cúmulos inimaginablemente grandes que llamamos supercúmulos... Y toda esta estructura se va repitiendo hasta escalas del orden de miles de millones de años-luz... ¡Y más allá!

13. Los tres posibles universos

De manera que creo que esa definición de Universo que me has dado al principio, Xelo, necesitaría unos cuantos retoques. Dime tú, Carlos: ¿cómo describirías el Universo?

—Según lo que ha dicho usted, como un espacio enorme lleno de galaxias en todas direcciones.

—Eso no ha estado nada mal —dijo el tío Alberto -. Pero la parte de la definición con la que definitivamente me quedo es la última: en todas direcciones.

>> El Universo hasta donde hoy sabemos es muy homogéneo, lo que significa que, grosso modo, es idéntico en todas direcciones. Si nos fijamos en los objetos celestes fuera de nuestra galaxia, observamos que en términos generales no hay ninguna dirección en el Universo donde haya una concentración mucho mayor de materia que en las demás direcciones; los cúmulos y supercúmulos de galaxias están esparcidos por todas partes de forma muy homogénea. En un lenguaje más riguroso, diríamos que la materia en el Universo está repartida de forma homogénea e isótropa a gran escala. Con esto no sólo estamos diciendo que el Universo tenga más o menos el mismo aspecto en todas direcciones, sino algo más general: el Universo tiene el mismo aspecto si lo observamos desde cualquier punto del espacio. Esto no implica que su aspecto no pueda cambiar, o evolucionar, con el tiempo. Lo que sí implica es que, de evolucionar, lo hará por igual en todas direcciones y desde cualquier punto desde donde se observe. Esta imagen de un Universo homogéneo e isótropo es lo que llamamos el Principio Cosmológico. Nuestra galaxia, según este principio, no es ningún lugar privilegiado. Cualquier observador, desde cualquier otra galaxia, verá al Universo con el mismo aspecto que nosotros a gran escala. Fijaos que, según este principio, tampoco hay ningún centro del Universo, ni cosa que se le parezca. Todos los puntos del espacio tienen, de acuerdo al Principio Cosmológico, el mismo derecho a ser elegidos como centro del Universo.

>> Si ahora nos planteáramos el problema matemático de encontrar qué posibles formas podría tener el espacio-tiempo de un Universo que fuese homogéneo e isótropo, no creáis que habría muchas posibilidades distintas para la forma del espacio-tiempo en cuestión. De hecho, sólo hay tres posibles tipos de espacio-tiempo que sean compatibles con estas características genuinas de nuestro Universo, que son la homogeneidad y la isotropía espaciales. Y estos tres tipos distintos de Universo se pueden escribir de acuerdo a una única fórmula, dando lugar a lo que se conoce como los espacio-tiempos de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (o FLRW, para los amigos). Naturalmente, el Universo real sólo es homogéneo e isótropo a gran escala (escalas de cúmulos y supercúmulos de galaxias), pero no a pequeñas escalas. Por consiguiente, el espacio-tiempo de verdad sería uno de tipo FLRW modificado, o perturbado, por las estructuras a pequeña escala del Universo, como son las galaxias, las estrellas, etc. No obstante, estas correcciones del espacio-tiempo a pequeña escala no afectan a la morfología global del Universo.

>> Además, estos tres tipos de espacio-tiempo predicen, al aplicar las fórmulas de la Relatividad General sobre la materia que los llena, que debe haber una expansión del espacio a medida que transcurre el tiempo. Por esto, según las predicciones relativistas, la materia que puebla el Universo debió estar en el pasado mucho más unida que ahora; y más unida cuanto más retrocediéramos en el tiempo, hasta llegar a un momento en el que la densidad de materia en el Universo debió ser infinita... Esto es lo que en Cosmología llamamos el Big Bang.

>> La expansión del Universo, que somos capaces de deducir aplicando las leyes de la Relatividad General a la materia y la energía que llenan los espacio-tiempos de FLRW, es un hecho observacional consumado, por lo que tanto la teoría como la observación nos hacen concluir que, efectivamente, debió haber un Big Bang en nuestro Universo.

>> Fijaos que lo que acabo de deciros es más importante de lo que parece, muchachos. Partiendo de unas propiedades del Universo deducidas únicamente a partir de la observación inteligente del mismo (que son la homogeneidad y la isotropía espaciales a gran escala) hemos sido capaces de restringir a tres los posibles tipos de espacio-tiempo que podrían representar a nuestro Universo. Además, aplicando las ecuaciones de la Relatividad General a esos espacio-tiempos, también hemos sido capaces de conocer cuál es su dinámica (es decir, la expansión del espacio) y, por lo tanto, su origen en el Big Bang.

—¡Eso de la expansión del Universo lo hemos estudiado en el instituto! —interrumpió Óscar -. La forma en la que se observa es viendo cómo las galaxias se van alejando de nosotros, cada vez más rápido cuanto más lejos están. Eso se llamaba la Ley de... —comenzó a rascarse la cabellera, como tratando de recordar aquel nombre tan pintoresco -.

—La Ley de Hubble —interrumpió Carlos con media sonrisa -. La forma en que observamos cómo las galaxias se alejan de nosotros es viendo cómo la luz que emiten se enrojece, debido al efecto Doppler —continuó el muchacho -. Es como lo que le ocurre al sonido de las sirenas de las ambulancias cuando pasan cerca de nosotros. Cuando se alejan, su tono baja (la sirena se oye más grave). Lo que para el sonido es una bajada de tono, para la luz es un enrojecimiento (o corrimiento al rojo). Esto implica que ver a las galaxias enrojecidas es una consecuencia directa de que se están alejando de nosotros —Carlos sonrió abiertamente; por unos instantes, parecía haber podido sustituir al tío Alberto en sus explicaciones -.

—Una explicación muy bonita, Carlos —respondió el tío Alberto -, pero no por ello es correcta —Carlos tornó su sonrisa en una clara expresión de confusión -. Lo que enrojece a la luz de las galaxias no es el efecto Doppler, como os han hecho creer en el instituto. De nuevo, estamos ante otro ejemplo en el que, para simplificar mucho lo que os pretenden explicar, acaban por no explicároslo bien. En el efecto Doppler, las ondas recibidas (sean de sonido o de luz) disminuyen su frecuencia cuando el emisor se separa del receptor, bien sea por la velocidad del primero, por la del segundo, o por la de ambos. No obstante, y según la interpretación más estricta del modelo de FLRW, las galaxias que se están separando de nosotros realmente están (al igual que la nuestra) en reposo.

Los oyentes no podían estar más confusos. ¿Cómo podían las galaxias lejanas estar separándose de la nuestra (y, de hecho, a mayor velocidad a medida que se van alejando) y al mismo tiempo estar todas ellas en reposo? El tío Alberto se permitió el placer de mantener el suspense unos segunditos más; seguidamente, continuó.

—La razón real por la que las galaxias se separan unas de otras es que el espacio que las separa se está estirando continuamente. Todas las galaxias están, en primera aproximación, siguiendo lo que en Cosmología conocemos como el flujo de Hubble. Este flujo se define como aquél que tiene sus coordenadas espaciales fijas respecto a lo que llamamos el Observador Cosmológico. Para el nivel de rigor en nuestra discusión, podemos interpretar esa condición como el reposo de unas galaxias respecto a las otras. Naturalmente, las galaxias reales no mantienen sus coordenadas espaciales exactamente fijas, ya que han acelerado un poquitín unas respecto a las otras durante su formación y su evolución. Esas pequeñas aceleraciones (debidas mayormente a la interacción gravitatoria entre las galaxias) producen lo que en Cosmología se conoce como movimientos peculiares, que no vienen ahora al caso y serían la razón por la que la Galaxia de Andrómeda se está acercando a la nuestra, en lugar de alejarse como cabría esperar por la ley de Hubble. No obstante, estos movimientos peculiares pueden considerarse pequeños comparados con el flujo de Hubble.

>> Bien. Considerando entonces que los movimientos peculiares son pequeños y que, por lo tanto, las galaxias prácticamente siguen el flujo de Hubble, ¿por qué observamos ese enrojecimiento en la luz de las galaxias? ¿Cómo pueden las galaxias estar en reposo unas respecto a las otras y, al mismo tiempo, estar alejándose unas de otras? Como ya os he adelantado, la sutil explicación de esto es que es el espacio mismo el que está produciendo el alejamiento entre las galaxias, al estirarse continuamente en todas direcciones. Lo que realmente se está expandiendo en el Universo no es la distribución de las galaxias, sino el espacio, o sea, las reglas de medir distancias. Al estirarse, el espacio está efectivamente separando a unas galaxias de otras, y con mayor velocidad cuanto más separadas están. No obstante, la luz no se enrojece en su camino desde las galaxias hasta nuestros telescopios, porque haya algo que esté empujando a las galaxias y esté produciendo un efecto Doppler al alejarlas de nosotros, sino porque el espacio en el que esa luz se propaga se ha ido estirando entre la emisión de los rayos de luz y su recepción en nuestros telescopios. Al estirarse, el espacio alargó a las ondas electromagnéticas, lo que se tradujo en un aumento de su longitud de onda y, equivalentemente, en una disminución de su frecuencia. Este alargamiento de la longitud de onda, debido al estiramiento del espacio, es algo radicalmente distinto al efecto Doppler, si bien ambos procesos físicos devienen en un efecto medible similar, es decir, en un enrojecimiento de la luz.

>> Pero volvamos ahora a los modelos de espacio-tiempo que describen el Universo. Si estudiamos únicamente la parte espacial de esos espacio-tiempos de FLRW (es decir, si sólo tenemos en cuenta el espacio y no hacemos caso del tiempo) los tres tipos posibles de espacio-tiempo de nuestro Universo devienen en tres clases distintas de espacio:

* Por una parte, tenemos el espacio de curvatura igual a cero. Esto es lo que se llama un espacio plano, que sería equivalente a la idea que todo el mundo tiene de espacio: algo que no se acaba nunca en ninguna dirección y cuyas geodésicas son líneas verdaderamente rectas.

* Por otra parte, tenemos el espacio abierto o con curvatura negativa. Este espacio también es infinito, pero lo que lo diferencia del espacio plano es que ahora las geodésicas ya no son líneas rectas, sino curvas de otro tipo.

* Finalmente, tenemos el espacio que tal vez es el más fascinante de los tres: el espacio cerrado, o de curvatura positiva. Este espacio, a diferencia de los otros dos, es finito. Lo extraordinario de esto es que, aún siendo finito, no tiene ninguna frontera. O sea, que tampoco se acaba nunca en ninguna dirección. Ni qué decir tiene que en este espacio las geodésicas tampoco son líneas rectas. La parte espacial de este universo sería como la superficie de una esfera, sólo que de tres dimensiones. Nuestras limitadas mentes son incapaces de visualizar algo así.

FIGURA 15 Aquí tenemos tres porciones de superficie que tienen el mismo signo de curvatura que los espacios asociados a los tres posibles universos de FLRW. Es por esto que podrían considerarse como representaciones, en dos dimensiones, de la parte espacial de los tres posibles universos. De izquierda a derecha, tenemos el universo plano, el abierto y el cerrado (que correspondería a una superficie esférica).

—¡¿Qué?! —exclamó Óscar asombrado —¿Cómo has dicho? Pero, ¿cómo puede un universo cerrado ser finito y en cambio no tener frontera? ¡Pero si finito significa que tiene fin!

—Je, je, je... ¡Ahora es cuando empezaremos a sacarle jugo a la idea que tuviste sobre la hormiga y la esfera! Cuando aquella hormiga de la que hablábamos estaba caminando encima de la esfera, se encontraba exactamente en la misma situación que una nave espacial en un universo cerrado, sólo que con una dimensión menos por la que desplazarse. ¿Recordáis que Óscar concluyó que si la hormiguita dejaba algún objeto sobre la superficie esférica (por ejemplo, un grano de arena) y se ponía a andar en una dirección cualquiera, acabaría por darle la vuelta a la esfera y reencontrar el grano de arena que dejó caer? Pues bien, si ahora imagináis una nave espacial dejando su granito de arena en mitad de un universo cerrado y poniéndose a viajar a enorme velocidad en una dirección cualquiera, la nave también acabará reencontrando el grano de arena que dejó. ¡Y eso ocurrirá sea cual sea la dirección que tome para su viaje en el espacio de tres dimensiones! Esto es análogo a que la hormiguita en dos dimensiones reencuentre su grano de arena sea cual sea la dirección que tome sobre la esfera para darle la vuelta. Entonces, así como la hormiga sobre la superficie esférica nunca será capaz de encontrar una frontera (o un final) de la superficie esférica, nuestra nave en mitad de un universo cerrado tampoco podrá encontrar, jamás, ninguna frontera en el espacio. Por mucho que viaje en cualquier dirección, la nave siempre acabará llegando al lugar del que partió.

FIGURA 16 Aquí vemos cómo una nave espacial en un universo cerrado deja un objeto en mitad del espacio (izquierda), empieza a viajar a gran velocidad en una dirección cualquiera (centro) y, sin haber cambiado nunca de dirección durante su viaje, reencuentra el mismo objeto que dejó tiempo antes (derecha). Cuando reencuentra el objeto, llegando al mismo lugar del que partió, la nave ha dado una vuelta entera al Universo... Es imposible, pues, encontrar frontera alguna en un universo cerrado, aún teniendo un volumen finito. Lo mismo pasa con una superficie esférica, que tampoco tiene frontera, aún teniendo un área finita.

—¿Significa eso que si el Universo es cerrado habrá infinitas copias idénticas de ese grano de arena en cualquier dirección? —preguntó Nicolás.

—No, Nicolás. Piensa en el ejemplo de la hormiga en la esfera. ¿Acaso se generaron sobre la esfera infinitas copias del grano de arena cuando la hormiga lo dejó caer sobre su superficie?

—Pues no —respondió Nicolás -. Cuando la hormiga dio la vuelta a la esfera reencontró el mismo grano de arena que dejó en un principio.

—¡Pues exactamente lo mismo le ocurre a la nave en el universo cerrado! No hay infinitas copias del grano de arena en todas las direcciones del universo cerrado, sino que el grano de arena que nuestra nave reencuentra es exactamente el mismo que dejó. ¡Y fijaos que la nave puede tomar cualquier dirección en el espacio tridimensional para darle la vuelta a ese universo!

—¡¡Caramba!! ¿Y es nuestro Universo realmente así? —exclamó Carlos con los ojos muy abiertos.

—No tiene por qué ser así, Carlos, ya que las tres posibilidades distintas de espacio (plano, abierto y cerrado) son igual de válidas si sólo exigimos homogeneidad e isotropía espaciales para el Universo. No obstante, hay maneras de averiguar cuál de las tres posibilidades es realmente la representativa de nuestro Universo. Resulta que, si imponemos las ecuaciones de la Relatividad General de Einstein a los tres tipos distintos de espacio-tiempo, la Relatividad General nos hace llegar a unas conclusiones muy muy interesantes:

* Un universo plano sólo podría ser generado si la densidad media de materia fuese exactamente igual a una cantidad llamada densidad crítica. Dado que el Universo se halla en expansión, su densidad está disminuyendo con el tiempo, por lo que esa densidad crítica también disminuye con el tiempo. Si la densidad de nuestro Universo fuese en todo instante exactamente igual a la densidad crítica, éste (que no olvidemos que sería infinito en cualquier dirección) se iría agrandando, o estirando, después del Big Bang en todas las direcciones para siempre jamás.

* Un universo abierto sería aquel en el que la densidad media fuese inferior a la densidad crítica. En tal caso, el Universo seguiría expandiéndose por siempre jamás, como le ocurre a un universo plano.

* En un universo cerrado, en cambio, la densidad media sería superior a la densidad crítica. En este caso, llegaría un instante de expansión máxima después del Big Bang, seguido de una contracción hasta el llamado Big Crunch, que sería el momento en el que toda la materia y la energía del Universo volverían a tener densidades infinitas. El Big Crunch sería, entonces, algo así como un anti-Big Bang.

>> No obstante, estas tres conclusiones no son del todo correctas. A las ecuaciones de Einstein podría añadírseles una constante, llamada Constante Cosmológica, de manera que conceptualmente la Teoría de la Relatividad quedaría prácticamente inalterada, pero el efecto de esta constante podría ser como el de una posible fuerza antigravitatorio, capaz de hacer expandir por siempre jamás al Universo, incluso en el caso en el que el espacio fuese cerrado.

>> La inclusión de una constante cosmológica en las ecuaciones dota de una mayor riqueza al abanico de posibilidades en la evolución de nuestro Universo. Dependiendo de la forma en la que esta constante cosmológica se introduce, podemos tener universos que se expanden hasta el infinito, que colapsan en un Big Crunch o que, incluso, alcanzan una expansión sin límite en cierto momento de su evolución, denominado Big Rip (Gran Desgarro), en el que el espacio se expande a velocidad infinita, desgarrando hasta un nivel subatómico a toda la materia del Universo.

>> Al parecer, las últimas observaciones de lo que se llaman las anisotropías del fondo de microondas, junto al uso de las supernovas de tipo Ia como balizas cosmológicas (es decir, objetos cuyo brillo nos permite estimar la distancia que nos separa de sus lejanísimas galaxias anfitrionas), nos han hecho llegar a la conclusión de que, efectivamente, hay una constante cosmológica en nuestro Universo, por lo que cualquiera de esos asombrosos destinos del Cosmos podría resultar ser el verdadero. Aunque históricamente la constante cosmológica ha sido propuesta y desechada multitud de veces, las evidencias actuales en su favor son demoledoras.

>> A modo de curiosidad histórica, el primero que propuso la existencia de una constante cosmológica fue, como no, Albert Einstein. Tiempo después, profundamente arrepentido de haberlo hecho, la calificó como el mayor error de su vida.

—¿Y eso por qué? —preguntó Carlos -.

—¿Recordáis cuando hace unos minutos os comenté que la Relatividad General es capaz de explicar la expansión del Universo sin más que aplicando sus ecuaciones a los espacio-tiempos de FLRW? Pues bien, cuando Einstein formuló la Relatividad General, Edwin Hubble todavía no había finalizado y publicado su descubrimiento sobre la expansión del Universo, por lo que buena parte de la comunidad científica creía que el Universo era estacionario, es decir, que el espacio no se expandía ni se contraía al correr el tiempo. Como las fórmulas de la Relatividad aplicadas a los espacio-tiempos de FLRW predicen de forma descaradamente clara que el espacio-tiempo del Universo debe ser dinámico (es decir, debe estar en expansión), Einstein se inventó la constante cosmológica para que, al añadirla a sus ecuaciones, hiciese que el Universo fuera estacionario. Imaginad el fiasco que se llevó cuando Hubble descubrió que el Universo se expande... ¡Einstein podría haber predicho la expansión del Universo con su Teoría de la Relatividad antes de que Hubble publicara sus resultados!

>> Esa es la razón por la que Einstein acabó aborreciendo la idea de la constante cosmológica y la consideró el mayor error de su vida. No obstante —siguió el tío con media sonrisa -, la ironía del destino ha querido que incluso ese grandísimo error de Einstein haya resultado ser finalmente cierto, al menos en parte. En efecto, una constante cosmológica, añadida a las ecuaciones de forma muy similar a como hizo Einstein, es capaz de explicar algunos detalles de las últimas observaciones cosmológicas.

Diana entró con el café y le sirvió una taza al tío Alberto, sentándose después al lado de Xelo. Los chavales se olvidaron de coger pastitas, pues estaban fascinados con lo que les estaba contando el tío.

—Volviendo al tema de los tres posibles universos —siguió -, a simple vista debería ser relativamente sencillo averiguar si nuestro Universo es abierto, plano o cerrado. Simplemente, tendríamos que estimar, gracias a los atlas de galaxias que actualmente tenemos, cuál es la densidad de materia media del Universo y ver si es superior, igual o inferior a la densidad crítica... No obstante, esto no es tan sencillo, ya que en el Universo hay muchos contribuyentes a la densidad total de materia que no podemos ver, como por ejemplo la materia fría o la materia oscura.

>> Además, hay una fase muy temprana en la evolución de nuestro Universo, poco después de nacer en el Big Bang, llamada inflación, que también afecta bastante a nuestras cuentas. Son muchos los modelos teóricos de inflación que actualmente tenemos, al igual que son bastantes las pruebas observacionales que nos muestran que debió haber inflación en nuestro Universo. Y todos esos modelos distintos llegan a un resultado común. Lo que la inflación le hizo al Universo fue estirar el espacio de una manera tan exagerada, brusca y rápida, que la región de nuestro Universo Observable se hizo prácticamente plana, fuese cual fuese su estado anterior.

—Pero ¿qué es el Universo Observable? —preguntó Nicolás, sin dejar de mirar boquiabierto al tío Alberto.

—El Universo Observable es la parte del Universo de la que podemos recibir información. Una región del Universo que estuviese a una distancia tan grande de nosotros que nada, ni siquiera la luz, hubiese tenido tiempo de viajar (durante toda la edad del Universo) desde esa región hasta nuestros telescopios, estaría fuera de nuestro Universo Observable. Así pues, una región del Universo tal que la luz necesite 20.000 millones de años en llegar hasta aquí es, hoy en día, una región invisible para nosotros, ya que esa luz todavía está viajando a través del Universo para llegar algún día a nuestros telescopios (tened en cuenta que el Universo solo tiene una edad de entre 14.000 y 15.000 millones de años). Una región así de lejana está, pues, fuera de nuestro Universo Observable. Fijaos que todo cuanto podemos observar y aprender del Universo sólo puede venir de nuestro Universo Observable, que podría ser una región ínfima del tamaño total del Cosmos (¡o incluso una región infinitamente pequeña si el Universo fuese plano o abierto, es decir, con extensión infinita!).

>> Bien. Como os he dicho, la inflación infló el espacio de manera tan drástica que pasó lo que le ocurriría a una hormiga sobre un gran globo hinchable conectado a un compresor. Si el globo se hinchase rápidamente, nuestra pobre hormiga vería cómo un globito casi deshinchado (lo que para ella sería una superficie en la que detectar la curvatura sería algo muy fácil) pasaría a convertirse repentinamente en una superficie prácticamente plana para ella; plana a la escala de tamaños de nuestra hormiguita, por supuesto. Con esto en mente, y a la escala de tamaños de nuestro Universo Observable, la inflación provocó que el espacio se estirase como el globo conectado al compresor, volviéndose prácticamente plano hasta donde alcanza nuestra vista. Esto significa que nos es muy difícil determinar cual de los tres posibles espacio-tiempos (plano, cerrado o abierto) es el propio de nuestro Universo... Todas nuestras observaciones nos harán llegar a la conclusión de que el Universo es prácticamente plano, ya que estaremos siempre restringidos a tomar medidas dentro de nuestro Universo Observable.

—Entonces, ¿todo nuestro Universo Observable tiene sólo un radio de unos 15.000 millones de años-luz? —preguntó Nicolás -.

—Yo no he dicho eso, aunque así lo parezca. Como bien sabéis, un año-luz se define como la distancia que recorre la luz en el vacío durante un año. No obstante, un objeto en el Universo cuya luz haya tardado unos 14.000 millones de años en llegar a la Tierra no se encuentra realmente a una distancia de 14.000 millones de años-luz; la distancia real a la que se encuentra ese objeto es muchísimo mayor —los muchachos se mostraron incrédulos; el tío parecía haberse contradicho claramente -. La clave de esta aparente paradoja está en la expansión del espacio. Si tenemos en cuenta lo que se ha estirado el espacio durante el trayecto de esos rayos de luz hacia la Tierra (es decir, si tenemos en cuenta lo que han cambiado las reglas de medir distancias durante todo ese tiempo), la luz más primitiva que empezó a propagarse por el espacio hasta llegar hoy a nuestros telescopios fue emitida desde regiones del Universo que se encuentran a una distancia nada menos que de 45.000 a 46.000 años-luz. Ese es el radio real (actual) de la porción de Universo de la que podemos recibir luz.

>> De hecho, reconozco que no he sido del todo riguroso en esta discusión. Esa luz tan primitiva proveniente de regiones situadas a unos 46.000 años-luz de la Tierra viene realmente a lo que llamamos la superficie de última colisión de los fotones, que no es la verdadera frontera de nuestro Universo Observable. ¡El Universo Observable es aún mayor! La razón de esto es que, en teoría, además de detectar luz también podríamos construir telescopios capaces de detectar neutrinos y ondas gravitatorias que proviniesen de distancias mayores (de hecho, muchísimo mayores) que la distancia de donde provienen los fotones de la superficie de última colisión.

—Pero, ¿cómo puede ser eso posible? Si no hay nada que pueda transmitir información más rápido que la luz en el vacío, ¿cómo podemos ver neutrinos y ondas de esas que vengan de distancias mayores que aquellas de las que podemos recibir luz? —preguntó Óscar -.

—Yo no he dicho que los neutrinos o las ondas gravitatorias viajen más rápido que la luz. El hecho de que pueda haber neutrinos y ondas de esas provenientes de distancias mucho mayores que la mayor distancia observable con la luz, se debe a que cuando el Universo era muy joven (o sea, cuando toda la materia estaba muy comprimida) su enorme densidad hacía que la luz (o sea, los fotones) no pudiese propagarse libremente por el espacio; los fotones chocaban y rebotaban una y otra vez con el resto de partículas que llenaban el espacio. Por consiguiente, todo el Universo era completamente opaco a la luz. Y así lo siguió siendo hasta que gracias a la expansión del espacio (y la consiguiente disminución de la densidad del Universo) la opacidad a la luz fue bajando y cada uno de esos fotones acabó chocando por última vez contra las partículas de materia, pudiendo por fin empezar a propagarse libremente por el espacio. De hecho, por eso a la región de donde provienen los fotones más antiguos que hoy podemos observar se la llama superficie de última colisión. Esos fueron los primeros fotones que pudieron empezar a propagarse libremente por el espacio hasta llegar hoy a nuestros telescopios. Y han podido llegar, porque no han vuelto a colisionar contra ninguna otra partícula desde aquel pasado remoto.

>> No obstante, otras partículas, como los neutrinos, ya podían propagarse libremente por el espacio mucho antes de que la luz pudiese hacerlo, por lo que esas partículas sí habían empezado a transmitir información entre distintos puntos del espacio bastante antes de que la luz pudiese empezar a ser vista. En otras palabras, la superficie de última colisión de los neutrinos se encuentra mucho más lejos que la superficie de última colisión de los fotones, porque los neutrinos han tenido más tiempo para propagarse libremente hasta llegar a nosotros. Pero bueno, tampoco quiero perderme ahora en demasiados detalles. La moraleja con la que me gustaría que os quedaseis es que esos 15.000 millones de años-luz de los que hablaba antes Nicolás serían el radio de nuestro Universo Observable si el espacio no fuese dinámico, es decir, si el Universo no estuviese en expansión. El hecho de que el espacio se esté estirando repercute en que las distancias a los objetos lejanos que podemos observar son mayores que las que corresponderían, sencillamente, a la distancia recorrida por la luz en un tiempo determinado.

14. Un viaje hacia el Big Bang

—Pero si el Universo fuera plano o abierto, es decir, con extensión infinita —preguntó Nicolás -, ¿cómo demonios pudo llegar a ser infinito si empezó siendo un único punto en el Big Bang? ¿Acaso se expandió al principio a una velocidad ilimitada para poder hacerse infinito, o algo así?

—¡Yo no he dicho en ningún momento que el Universo fuese un único punto en el Big Bang! —respondió el tío Alberto -. A ver, ¿tú cómo te imaginas el Big Bang?

—Pues yo me lo imagino como una titánica explosión.

—¿Y dónde crees que tuvo lugar esa explosión?

—No sé... en el centro del Universo, tal vez.

—¡¡Ufff!! ¡Pero si el Universo no tiene centro, hombre! ¡Hemos dicho que es homogéneo e isótropo en todas direcciones! ¡Eso significa que no hay ningún punto privilegiado en el Universo! ¡Ningún centro de explosión! ¡Creo que estáis bastante equivocados respecto a lo que fue el Big Bang, compañeros!

>> Cuando te imaginas el Big Bang como una explosión en algún punto, Nicolás, lo que estás haciendo inconscientemente es imaginarte al Universo situándote fuera del mismo, lo cual es imposible. Tú no puedes colocar una cámara lejos del Universo para grabar cómo se expande después del Big Bang, puesto que lo que realmente se expandía, y se sigue expandiendo, no fue la materia que llena el espacio, sino el espacio mismo —todos se quedaron mirándose entre ellos, y al tío Alberto de reojo, con unas facciones llenas de asombro mezclado con incomprensión -. Veréis, el otro día estuvimos diciendo que una nave espacial en nuestro Universo estaría condenada a navegar por las tres dimensiones del espacio, sin salirse de ellas, al igual que la hormiguita de la servilleta no podría despegarse del papel, ¿os acordáis? ¿Por qué entonces tendéis a saliros del Universo cuando os imagináis el Big Bang? ¿Por qué necesitáis poner al Universo dentro de un espacio más grande para imaginaros cómo se expande? ¿Por qué necesitáis imaginaros un contenedor en el que el Universo se expanda? ¡No, muchachos, no! ¡Tratad de imaginaros el Big Bang sin saliros del Universo, ya que no tiene sentido salirse! ¡Sea cual sea la naturaleza abierta, plana o cerrada de nuestro espacio-tiempo, éste no tiene fronteras, por lo que nada a lo que nosotros tengamos acceso existe fuera de nuestro Universo! Además, cuando os imaginéis el Big Bang hacedlo teniendo en cuenta la homogeneidad y la isotropía del espacio, una de cuyas consecuencias es que no hay ningún punto privilegiado en el espacio. ¡El Universo no tiene ningún centro en el que se produjera el Big Bang!

—Pero —preguntó Óscar poniendo los codos sobre la mesa -, ¿cómo nos podemos imaginar el Big Bang desde dentro de nuestro Universo? ¿Cómo nos podemos imaginar que el Universo nació a partir de una explosión, pero que tal explosión no se produjo en ningún punto, ya que el Universo no tiene centro alguno?

—Yo os enseñaré cómo hacerlo. ¡¡Vamos a emprender entre todos un viaje hacia el Big Bang!! —los muchachos, Xelo y Diana no supieron qué expresión poner en sus caras. Era tanta la curiosidad que llenaba sus corazones que sólo podían limitarse a escuchar y dejarse llevar por las palabras del tío Alberto -. Imaginad que nuestro espacio estuviera lleno de aristas ordenadas formando una cuadrícula de tres dimensiones. Imaginad también que fuéramos capaces de ver todo nuestro Universo, incluso más allá de nuestro Universo Observable. Considerad, según esto, una cuadrícula tridimensional que se extiende hasta el infinito. Esto sería como si todo el espacio estuviese lleno de cubos huecos encajados. Si la longitud de los lados de estos cubos aumenta, la cuadrícula se expande. No obstante, daos cuenta de que si todas las aristas de la cuadrícula aumentan por igual, y la cuadrícula es infinita, no hay absolutamente ningún centro respecto al cuál todo se expanda. A decir verdad, todos los puntos de la cuadrícula son como el centro de la expansión.

FIGURA 17 A la izquierda de la figura vemos una porción de cuadrícula bidimensional infinita. En el centro de la figura tenemos el mismo trozo de cuadrícula, pero expandido. Si nos imaginamos la expansión de toda la cuadrícula bidimensional infinita (y no sólo de la porción mostrada en la figura), llegaremos a la conclusión de que no existe ningún centro privilegiado de expansión. Todos los cuadritos tendrán el mismo derecho a decir que ellos son el centro de la expansión de la cuadrícula entera. Con nuestro Universo pasa lo mismo, sólo que la cuadrícula infinita debe ser tridimensional, como la porción que vemos a la derecha de la figura.

>> En un universo cerrado, las cuadrículas serían un poco especiales, ya que, recorriendo el espacio en cualquier dirección, acabaríamos reencontrando las mismas cuadrículas en las que nos encontrábamos al empezar nuestro viaje. No obstante, quedándonos quietos y contemplando el espacio lleno de cuadrículas, los tres tipos de espacio-tiempo reproducirían la misma escena: un conjunto enorme de aristas formando una cuadrícula tridimensional hasta más allá de donde alcanzara nuestra vista, en todas direcciones.

>> Imaginad ahora que los lados de los cubos que forman esta cuadrícula tridimensional empezasen a disminuir su longitud. Vosotros seguiríais viendo infinitas aristas hasta donde alcanzase vuestra vista. No obstante, ahora cabrían más cubos en un volumen dado, ya que los cubos serían más pequeños. Sigamos imaginando que la longitud de las aristas sigue y sigue disminuyendo. Detened ahora la compresión. Imaginad que las aristas están ya casi pegadas las unas a las otras. Fijaos que en ningún momento se ha definido ningún centro de expansión, y estamos en un instante en el que las aristas están prácticamente en contacto unas con otras. Si pudieseis medir la temperatura media del Universo en ese instante, seguramente obtendríais un valor altísimo, ya que el Universo ha ido enfriándose con su expansión, partiendo de una temperatura prácticamente infinita alrededor del Big Bang.

Si ahora empezarais a desplazaros a través de esa cuadrícula súper comprimida, veríais que en ningún momento llegaríais a una región privilegiada donde hubiese mayor densidad de aristas que en otras partes, ya que la distribución de aristas sería siempre homogénea e isótropa. Además, si el espacio cuadriculado donde os encontrarais fuera cerrado, en nada que os desplazarais en cualquier dirección llegaríais a las mismas cuadrículas de las que partisteis, y siguiendo en línea recta (o, más bien, en geodésica) las volveríais a encontrar una y otra vez, tomaseis la dirección que tomaseis... Estaríais dando vueltas y vueltas al Universo, el cual sería entonces muy pequeño. No obstante, si os detuvierais y os pusieseis a mirar en cualquier dirección, seguiríais viendo un conjunto infinito de aristas, hasta más allá de donde alcanzase vuestra vista, si bien ahora estarían muy juntitas las unas a las otras.

>> Podéis seguir imaginándoos este proceso de compresión en el que las aristas de la cuadrícula estarían cada vez más y más próximas entre ellas. No obstante, por mucho que disminuyeseis la longitud de las aristas de los cubos de vuestra cuadrícula, nunca, jamás, dejaríais de ver una extensión infinita de ellas... ¡Así es como hay que imaginarse el Big Bang! Nosotros no nos podemos salir de nuestro espacio tridimensional, por lo que, incluso en las etapas más tempranas de la vida de nuestro Universo, la extensión de éste, vista desde dentro, debió ser siempre infinita, homogénea e isótropa. Así pues, el Big Bang está muy lejos de ser una explosión localizada en un punto, ya que se produjo en todos los puntos del espacio al mismo tiempo. Si ahora os imagináis el mismo escenario de aristas, pero a la inversa (es decir, alargándolas en lugar de acortarlas) os estaréis imaginando al Universo en expansión, tal y como está ocurriéndole en la actualidad.

Acabadas las palabras del tío Alberto, hubo un gran silencio en la habitación. El asombro se respiraba en el aire. Los muchachos casi habían podido tocar el escenario del Big Bang, entendiendo el concepto de estiramiento del espacio con aquellas palabras... Lo que el tío Alberto les había contado era totalmente distinto a lo que ellos siempre habían imaginado sobre el origen del Universo. Aquella imagen de un Universo sin fronteras, de un Big Bang sin centro de explosión y de una expansión del espacio mismo (y no de los objetos que lo llenan), sin la necesidad de ninguna dimensión extra desde donde poder observar dicha expansión, superaba las más altas fantasías de la ciencia-ficción.

—¡Madre mía! —dijo Carlos mientras Xelo miraba al tío Alberto con una cara repleta de asombro -. ¡Nunca me lo había imaginado así! ¡Yo siempre creí que el Big Bang era como una especie de agujero negro que explotaba en mitad de la nada!

—¡Pues ya ves que nada hay tan distinto a un agujero negro como el Big Bang, Carlos!... Si bien ambos eventos son singularidades en el espacio-tiempo (es decir, puntos en los que la curvatura es infinita y por lo tanto todas nuestras ecuaciones fallan), la singularidad del Big Bang es muy distinta a la singularidad de un agujero negro. Así como un agujero negro es una singularidad en un punto del espacio que persiste en el tiempo, la singularidad del Big Bang existe sólo en un instante del tiempo y ocupa todo el espacio... ¡El Big Bang es casi como el caso opuesto a un agujero negro! —dijo el tío Alberto entre carcajadas.

Al escuchar aquello, a Diana le faltó el tiempo para hacer la siguiente pregunta.

15. El nacimiento de un agujero negro

—Pero, ¿qué es exactamente un agujero negro, Alberto? —preguntó Diana. Todos los chavales, incluida Xelo, se acercaron un poco más a la mesa, impacientes por recibir respuesta.

—Los agujeros negros son los objetos más exóticos del Universo. Pueden encontrarse en el corazón de las galaxias (y tener masas de miles de millones de veces la de nuestro Sol) o ser el resultado de la etapa final de la vida de las estrellas más masivas (y tener masas mucho mas modestas; del orden de unos pocos soles). Un agujero negro estelar (es decir, nacido a partir de una estrella) se produce, básicamente, porque la masa del núcleo de la estrella puede llegar a ser tan grande, que la gravedad generada por ese mismo núcleo sea capaz de superar incluso a la presión generada a partir del Principio de Exclusión de Pauli.

—¿Principio de Exclusión de Pauli? —preguntó Óscar —¿Qué significa eso?

—Paciencia, paciencia —dijo el tío Alberto, mientras tomaba un sorbo de café y cogía una pastita -. Primero voy a tratar de explicaros un poco la Teoría de Evolución Estelar y, acto seguido, os explicare cómo se forman los agujeros negros estelares y qué propiedades tienen. Veréis. La vida de las estrellas puede resumirse, grosso modo, en una eterna lucha contra la fuerza de la gravedad que ellas mismas engendran con su masa, y que siempre tiende a hacerlas caer hacia su propio centro (proceso que, de llevarse a cabo, llamamos colapso gravitatorio). La forma en que las estrellas logran vencer a su propia gravedad es generando presión en su interior. La presión genera fuerzas que tienden a expandir el material de la estrella, mientras que la gravedad tiende a hacer todo lo contrario. En una estrella, la presión y la gravedad llegan a alcanzar un equilibrio que mantiene al astro estable; sin colapsar y, al mismo tiempo, sin explotar. En Física, a estos objetos en equilibrio gravitatorio se les llama cuerpos autogravitantes. La clave de la evolución estelar (o sea, de los procesos que se dan en una estrella, desde su nacimiento hasta su... digamos “muerte”) está en cuál es la naturaleza (u origen) de esa presión que evita el colapso gravitatorio. En primera instancia, tenemos la presión hidrodinámica del plasma de la estrella (es decir, la presión debida a la propia temperatura del material de la estrella). Para igualar del todo a la gravedad, esta presión se complementa con la presión radiativa, que es la debida a la presencia de los fotones. Dichos fotones se producen tras la fusión nuclear de los núcleos atómicos ligeros que pueblan el interior del astro. Tranquilos, que ahora os detallo mejor todo esto.

>> Como recordaréis de la charla de ayer, la masa de un núcleo atómico es igual a su energía en reposo. Como esa energía en reposo depende de la interacción entre las partículas que forman los núcleos (básicamente, protones y neutrones), si conseguimos cambiar la energía de interacción de esas partículas, esto se traducirá en un cambio de la masa de los núcleos atómicos. De este modo, si partimos núcleos muy pesados en núcleos más ligeros (proceso que llamamos fisión nuclear), conseguimos que la energía total de interacción entre los protones y los neutrones disminuya, pudiendo entonces extraer energía de los núcleos atómicos. Ese es el fundamento en el que se basan las centrales nucleares. La forma en que se libera esta energía nuclear es a través de la emisión de fotones muy energéticos.

>> También puede extraerse energía nuclear cuando unimos núcleos muy ligeros para producir núcleos un poco más pesados, de suerte que la energía de interacción entre los protones y los neutrones también disminuya. Ese es el proceso llamado fusión nuclear. La fusión nuclear sólo funciona como fuente de energía cuando unimos núcleos relativamente ligeros. De hecho, la fusión de núcleos atómicos más pesados que los del Hierro no produce energía, sino que la absorbe. Recordad esto, ya que volverá más tarde a nuestra discusión.

>> A diferencia de la fisión, la fusión nuclear es un proceso enormemente complicado que necesita unas presiones y unas temperaturas enormes para producirse. Tanto es así, que los corazones de las estrellas son, actualmente, los únicos lugares del Universo donde estas reacciones pueden darse de forma auto-sostenida. La fusión nuclear se produce en los núcleos estelares en virtud de las altísimas temperaturas que allí se alcanzan, posibles gracias a la enorme compresión del plasma y a las propias reacciones nucleares, que contribuyen a mantener todo aquello “calentito” (estamos hablando de temperaturas de varios millones de grados). El elemento que primero se fusiona es el Hidrógeno (el elemento más ligero del Universo) para producir Helio. Este Helio va aumentando su concentración en el centro de la estrella (donde la temperatura es más extrema), generándose, poco a poco, un núcleo diferenciado de Helio en el corazón estelar. Llegará un momento en el que la masa de ese núcleo de Helio (que son las “cenizas”, o productos, de la fusión del Hidrógeno) sea suficientemente grande como para que empiece su propio colapso gravitatorio, al margen del resto de la estrella. Será entonces cuando la densidad de este núcleo de Helio empezará a aumentar (por la compresión debida a la gravedad) haciendo esto que la temperatura aumente en el núcleo hasta llegar a valores que permitan la fusión del Helio en núcleos más pesados. Cuando esto ocurra, la estrella sufrirá lo que llamamos el flash del Helio, y las nuevas reacciones de fusión (las del Helio) producirán todo un ejército de fotones extra, cuya presión adicional empujará hacia fuera las capas más externas de la estrella. La superficie de la estrella, por lo tanto, se expandirá (alcanzando un tamaño incluso miles de veces mayor que el de antes de producirse el flash), a la vez que su corazón (el de Helio) se contraerá.

>> Todo este proceso en el que las “cenizas” (o productos) de la fusión de un tipo de núcleos acaban convirtiéndose en nuevos “carburantes” (o reactivos) cuando el núcleo de cenizas es suficientemente masivo, va repitiéndose siempre que la masa de la estrella sea lo suficientemente grande como para que la gravedad originada por cada nuevo núcleo de “cenizas” pueda llegar a ser suficientemente alta. Los distintos elementos generados en la fusión nuclear se van estructurando dentro de la estrella a medida que ésta va pasando por las distintas etapas de la evolución estelar. A medida que transcurre el tiempo, la estrella acaba adquiriendo una estructura en capas, similar a una cebolla, donde los elementos más pesados quedan en las partes más internas del astro y los más ligeros quedan en las capas externas.

>> Si la estrella es suficientemente masiva (digamos, con una masa superior a unos 10 soles), en el corazón de la misma llegará a generarse, finalmente, un núcleo de Hierro. Lo especial de este elemento es que, como ya os he adelantado, cualquier reacción de fusión a partir del Hierro es endotérmica (es decir, no emite energía, sino que la absorbe). O sea, que no hay forma de que la fusión nuclear del Hierro ayude a generar la presión radiativa necesaria (es decir, los fotones necesarios) que ayude a vencer a la gravedad. Por lo tanto, en el momento en que la masa de Hierro en el núcleo más interno de la estrella supere cierto límite (cercano a lo que llamamos el límite de Chandrasekhar, del que ahora mismo os hablaré), empezarán a pasar cosas formidables.

>> Cuando el núcleo de Hierro empieza a comprimirse mucho, debido al campo gravitatorio, los núcleos atómicos que lo forman y el resto de partículas del plasma (electrones y algunas partículas más pesadas) empezarán a ocupar cada vez una región menor en el espacio, por lo que todas esas partículas empezarán a encontrarse en posiciones muy similares las unas de las otras. En Mecánica Cuántica hay un principio llamado Principio de Exclusión de Pauli, según el cual fermiones de un mismo tipo (la clase de partículas que forman una estrella son, en su práctica totalidad, fermiones) no pueden estar en un mismo estado cuántico. Para el caso que nos ocupa, un estado cuántico vendría dado por dos cosas: la región del espacio donde los fermiones se encuentran y la energía, o velocidad, que dichos fermiones tienen.

>> Por consiguiente, dos fermiones del mismo tipo que ocupen posiciones muy similares en el espacio deberán tener velocidades o energías muy distintas, de manera que estén, en efecto, en estados cuánticos diferentes para no violar el Principio de Exclusión. Este principio es, de hecho, el mismo que hace que los electrones se organicen por distintas energías en los orbitales de un átomo, como sabréis si habéis estudiado Química. Según esto, si todos los fermiones de un mismo tipo ocupan posiciones muy similares dentro del núcleo de Hierro de nuestra estrella, debido a la enorme compresión que genera la gravedad, las velocidades de éstos deberán ser muy diferentes. Esa diferencia de velocidades entre los fermiones de la estrella, originada por razones puramente cuánticas (o sea, por el Principio de Exclusión de Pauli), puede dotarlos de una presión suficientemente alta como para luchar contra la enorme gravedad que ellos mismos están generando y que siempre tiende a hacerlos caer hacia el centro de la estrella para formar un agujero negro. En esta fase de la evolución de la estrella, los fermiones que generan la mayor presión por el Principio de Exclusión son, y con muchísima diferencia, los electrones.

>> Fijaos en un detalle muy importante: hasta ahora, la presión que ayudaba a la estrella a mantener el tipo frente a la gravedad estaba originada básicamente por la presión del propio plasma (debida a su temperatura) y por la presión radiativa (debida a los fotones producidos por la fusión nuclear). Ahora, no obstante, estamos hablando de una presión totalmente nueva; una presión de origen cuántico. Llegado a este punto, el núcleo de Hierro está sometido a unas densidades tan grandes que la radiación y la temperatura del propio plasma ya no pueden decir mucho frente a la presión cuántica debida al Principio de Exclusión (y que los astrónomos llamamos presión de degeneración).

>> Aún así, cuando la masa de ese conglomerado de partículas nucleares supere (en virtud de la continua fusión nuclear en la estrella) cierto límite llamado límite de Chandrasekhar, ni siquiera la presión de degeneración de los electrones será capaz de detener el colapso gravitatorio del Hierro (bueno, en realidad esa masa límite es algo superior al límite de Chandrasekhar, pero tampoco quiero marearos ahora con detalles). Durante esa caída libre hacia su destrucción, tanto la presión como la densidad y temperatura aumentan en el núcleo estelar hasta alcanzar valores descomunales. Esas enormes presiones y temperaturas deberían inhibir parcialmente el colapso, pero en estas condiciones extremas empiezan a producirse fotodisociaciones de átomos de Hierro y capturas de electrones, que aceleran de manera muy eficiente el colapso gravitatorio. Todo este proceso de colapso ocurre en un tiempo del orden de 1 segundo.

>> Por una parte, la fotodisociación del Hierro es un proceso mediante el cual los fotones suficientemente energéticos rompen todos los núcleos atómicos de Hierro en sus partículas constituyentes (básicamente, protones y neutrones). Esto empieza a ocurrir a temperaturas del orden de mil millones de grados. Dado que éste es un proceso endotérmico (es decir, absorbe energía y enfría el núcleo), la presión debida a la temperatura disminuye y, por consiguiente, se acelera el colapso gravitatorio.

>> Por otra parte, la captura de electrones es el proceso por el que los protones absorben electrones para convertirse en neutrones. Cuando un electrón y un protón se unen para formar un neutrón, también se produce, como resultado de la reacción, un neutrino. De hecho, la ingente producción de neutrinos resultante de las capturas de todos los electrones acabará llevándose consigo la práctica totalidad de la energía de la futura explosión supernova. Además, como estas capturas eliminan a muchos electrones del núcleo de la estrella (y la presión de degeneración viene principalmente de los electrones), al haber menos electrones la presión de degeneración disminuye. La gravedad, por lo tanto, gana aún más terreno, si cabe, en su lucha contra la presión.

>> Llega un momento en el que la densidad de la parte más interna del núcleo (que está en continuo colapso) se acerca a las densidades típicas de los núcleos atómicos. En ese momento, la Fuerza Nuclear Fuerte (cuyos detalles no vienen ahora al caso), que es enormemente repulsiva a esas escalas, frena súbitamente el colapso de la parte más interna del núcleo. La parte colapsante más externa se encuentra entonces con un núcleo interno compacto y rígido, contra el que rebota de forma extremadamente violenta. En un tiempo del orden de una milésima de segundo, ese rebote forma una onda de choque muy energética que empieza a barrer todo el material estelar, desde las capas más internas hasta las más externas de la estrella. Vosotros mismos podéis reproducir un choque similar (aunque, por supuesto, a muy pequeña escala) si dejáis caer al suelo un vaso de plástico lleno de agua. Cuando el vaso de agua se encuentre con el suelo rígido, el agua saldrá disparada hacia arriba.

>> Cuando esa onda de choque llega a la superficie de la estrella, arrastra consigo buena parte del material estelar, produciéndose entonces una titánica explosión cósmica con una enorme cantidad de radiación; lo que en Astronomía llamamos una supernova. Una sola supernova puede superar en brillo incluso a toda su galaxia anfitriona, que estará formada por miles de millones de estrellas individuales. El destino del núcleo colapsante tras la explosión supernova dependerá de su masa. Si ésta no sobrepasa el llamado límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, que está entre 2 y 3 masas solares, la presión de degeneración de los neutrones que formarán el núcleo tras todas las capturas electrónicas (apenas quedarán electrones y protones sueltos, ya que casi todos ellos se habrán unido para formar neutrones), será suficientemente alta como para igualar a la gravedad. Por consiguiente, el objeto resultante (que llamamos estrella de neutrones) podrá ser autogravitante sin la necesidad de generar ninguna presión con fusión nuclear, ni nada que se le parezca; el Principio de Exclusión de Pauli, aplicado ahora a los neutrones, ya se encargará de que la gravedad nunca pueda colapsar a esta estrella. Una estrella de neutrones podría entenderse, entonces, como un enorme núcleo atómico. ¡Un núcleo atómico del tamaño de un planeta!

>> No obstante, si la masa del núcleo supera el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, la presión de degeneración de los neutrones no será suficiente para vencer a la gravedad, por lo que el colapso continuará hasta formar una singularidad en el espacio-tiempo; lo que conocemos como un agujero negro... Aunque ésta es una versión muy simplificada de lo que realmente puede ocurrir. En un colapso gravitatorio real, el núcleo podría pasar por toda una serie de fases antes de formar el agujero negro final. Las altísimas energías de algunos de los neutrones (en virtud del Principio de Exclusión) podrían permitir la creación de otras partículas, incluso exóticas, y podría llegar un momento en el que, a energías suficientemente altas, el astro se convirtiese en una sopa de quarks y gluones.

Todos los oyentes mostraron cara de póquer al escuchar las últimas frases de la explicación del tío Alberto. Al ver aquello, el tío se dio cuenta de que, con la emoción, había empezado a subir un poco demasiado el nivel de su disertación. Tras unas cortas carcajadas por su parte, que fueron acompañadas por las abiertas risas de los chicos y de Diana, siguió con el candente tema.

16. Agujeros negros. La frontera del espacio y el tiempo

—Una de las características más impresionantes de los agujeros negros —continuó el tío Alberto —es lo que se llama su horizonte de sucesos. Pero si queréis comprender bien qué es el horizonte de sucesos, deberéis saber antes qué son las singularidades matemáticas. Os lo explicaré con un ejemplo. La Ley de la Gravitación Universal de Newton (que nos da la intensidad del campo gravitatorio en la Mecánica Clásica) tiene problemas cuando la distancia al centro de la masa generadora de gravedad se va haciendo cada vez más y más pequeña. De hecho, justo cuando esa distancia al cuerpo generador de gravedad se hace cero (lo cuál sólo puede ocurrir si toda la masa de ese cuerpo está concentrada en un punto), la intensidad de la gravedad en ese punto se hace infinita. Este resultado no tiene ningún sentido físico, ya que la aceleración de la gravedad no puede ser infinita. Por consiguiente, la ecuación de Newton falla cuando la distancia al cuerpo generador de gravedad se hace cero. En la jerga de la Física y las Matemáticas, decimos que la Ley de la Gravitación Universal de Newton tiene una singularidad en r = 0 (donde r es la distancia al centro de la masa generadora de gravedad).

>> En el caso de la Relatividad General, una masa puntual genera un tipo de espacio-tiempo llamado espacio-tiempo de Schwarzschild, del cual podemos deducir toda una serie de fórmulas que no solamente tienen una singularidad cuando la distancia r a la masa generadora de curvatura es cero (tal y como pasa con la fórmula de Newton=, sino también cuando vale... —el tío Alberto escribió sobre una de las servilletas de papel que había encima de la mesa la siguiente fórmula:

,

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, G es la Constante de la Gravitación Universal de Newton y M es la masa del cuerpo que genera la gravedad. Este valor del radio, rs , para el que las cosas parecen fallar en Relatividad General se llama radio de Schwarzschild y tiene unas consecuencias importantísimas en la dinámica relativista de los cuerpos cercanos a un agujero negro.

>> Cuando un cuerpo con una gran masa se comprime tanto que su radio pasa a ser menor que el radio de Schwarzschild, la singularidad de Schwarzschild aparece realmente en el espacio, formándose lo que conocemos como un agujero negro. La esfera de radio igual al de Schwarzschild, que rodea a todo el agujero negro, es lo que llamamos el horizonte de sucesos. El radio de Schwarzschild para la Tierra es de tan sólo unos 9 milímetros. Eso significa que si consiguiéramos comprimir toda la masa de la Tierra hasta que tuviese un radio inferior a ese (¡imaginaos las enormes densidades que se alcanzarían!) nuestro planeta se convertiría en un agujero negro... ¡Con esta fórmula que os he escrito en la servilleta podríais calcular cuál es el radio de Schwarzschild de vuestros propios cuerpos, es decir, cuánto tendríais que comprimiros vosotros mismos para acabar convirtiéndoos también en un agujero negro! —los muchachos miraron aquella fórmula con gran curiosidad.

>> El significado físico del radio de Schwarzschild sigue estando rodeado de misterio, incluso décadas después de conocerse su existencia. Son muchas las opiniones al respecto que podéis oír de los físicos que estudian Relatividad General. No obstante, algo en lo que todos estamos de acuerdo es que la singularidad en el radio de Schwarzschild no es lo que se llama una singularidad física (de hecho, la curvatura del espacio-tiempo en el radio de Schwarzschild es, curiosamente, finita), sino que es más bien es una singularidad coordenada. El análogo en dos dimensiones lo podemos encontrar en cualquier mapamundi o en cualquier representación del globo terráqueo, como el que tu padre tiene en el despacho, Óscar —los muchachos fruncieron el ceño, como si no hubieran entendido absolutamente nada de la última frase.

—Mmmmhhhh... vamos a ver... —murmuró el tío Alberto para sí, como si estuviera pensando en cómo explicar de manera sencilla lo último que acababa de decir. Tras una leve sonrisa, empezó de nuevo sus disertaciones.

—Imaginad que tuviéramos una esfera perfecta. ¿Creéis que habría algún punto especial en ella o alguna zona que se diferenciara del resto? ¡No! Una esfera es un objeto totalmente regular, sin ningún fallo ni ningún punto raro en su superficie. Ahora imaginaos la misma esfera, pero con líneas de latitud y longitud dibujadas sobre ella, tal y como si fuera un globo terráqueo. ¿Creéis que ahora, debido a la presencia de las líneas de latitud y longitud, habrá aparecido algún punto especial en la esfera? ¿No? —ni Xelo, ni Diana ni los muchachos parecían comprender a dónde quería llegar el tío Alberto —Mmm... A ver, ¿cuál es la latitud del Polo Norte?

—¡90 grados! —respondió Carlos al instante.

—¿Y la del Polo sur?

—¡Menos 90 grados! —respondió también Carlos.

—¡Muy bien, Carlos! ¡Aprobado en Geografía!... ¿Y cuales son las coordenadas de longitud del Polo Norte y el Polo Sur?

FIGURA 18 A la izquierda tenemos una esfera cuya superficie es perfectamente regular en todas partes. A la derecha tenemos la misma esfera, pero con un sistema de coordenadas añadido. Podemos ver cómo, al coordenar la esfera, aparecen automáticamente puntos singulares que merecen un trato especial (los polos de las coordenadas). No obstante, estos puntos especiales no son debidos a un fallo real en la esfera; el fallo es más bien del sistema de coordenadas. Lo mismo pasa con el radio de Schwarzschild. Dicho radio no es una singularidad real del espacio-tiempo, sino de las coordenadas que usamos para describirlo, es decir, tres coordenadas espaciales y una temporal.

Los muchachos permanecieron callados unos segundos, intentando hallar la respuesta a una pregunta que no parecía tener sentido. El tío Alberto empezó a hablar, como si el silencio de los muchachos hubiera sido la respuesta que esperaba a su pregunta.

—¡Exacto! ¡El Polo Norte y el Polo Sur no tienen asignada ninguna coordenada de longitud, precisamente porque todas las líneas de longitud confluyen en ellos! Pero eso no hace que estos dos puntos sean realmente especiales para la esfera. El hecho de que los veamos como puntos especiales está en la artificiosidad de nuestro sistema de coordenadas, basado en la latitud y la longitud. Así pues, aunque los polos son puntos en los que nuestras coordenadas son singulares, en el sentido de que fallan al no poder dotar de un único valor de longitud a éstos, esta singularidad está originada únicamente por nuestra elección de coordenadas, y no por ningún fallo real en la superficie esférica. De hecho, si hiciésemos ahora un cambio de coordenadas en la esfera, de manera que eligiésemos dos nuevos puntos que fueran los nuevos polos de nuestro sistema de longitud y latitud, los antiguos polos (puntos singulares de nuestras antiguas coordenadas) pasarían ahora a ser puntos totalmente regulares, en el sentido de que serían totalmente situables en la esfera con un único par de coordenadas de latitud y longitud. Eso es lo que diferencia a una singularidad coordenada de una singularidad física o real: la singularidad coordenada de Schwarzschild no tiene nada que ver con una singularidad en el espacio-tiempo (el cual es totalmente regular en la región en cuestión), sino que, más bien, tiene que ver con una mala elección de nuestras coordenadas a la hora de caracterizar los puntos del espacio-tiempo.

>> Pero eso no significa, para nada, que en la región del radio de Schwarzschild no pasen cosas realmente fabulosas, como os voy a contar a continuación. En primer lugar, el radio de Schwarzschild separa dos regiones totalmente distintas del espacio-tiempo, en el sentido de que están separadas causalmente la una de la otra, como si fueran dos universos independientes. Cualquier rayo de luz emitido desde el interior del radio de Schwarzschild no podría salir jamás fuera, por lo que todo aquello que haya dentro de ese radio estará totalmente incomunicado con el exterior. Sólo los efectos de la gravedad producida por la masa que hay dentro del radio de Schwarzschild se dejan ver en el exterior. Esto es lo que hace que a la esfera de radio igual al radio de Schwarzschild se la llame comúnmente horizonte de sucesos, ya que dicha superficie está separando totalmente la conexión causal entre los sucesos que ocurren dentro del horizonte y los que ocurren fuera.

>> Además, si intentamos describir con nuestro sistema de coordenadas espacio-temporales el interior del horizonte de sucesos, nos encontramos con cosas tan extraordinarias como que el tiempo allá adentro corre en sentido contrario al nuestro. Es decir, allí las cosas rejuvenecen respecto a nosotros. Esto significa que si pudiésemos ver desde fuera el contenido interior del horizonte de sucesos, lo veríamos como si estuviésemos montados en la máquina del tiempo de H.G. Wells con la palanca orientada hacia atrás. Del mismo modo, el espacio también invierte su signo respecto al nuestro, de manera que allá adentro es como si las cosas ocuparan volúmenes negativos. Dado que en el espacio-tiempo la dimensión temporal se mide con signo opuesto al de las dimensiones espaciales (esto es lo que los físicos y los matemáticos llamamos una métrica lorentziana), esta inversión de signos entre el espacio y el tiempo, dentro del horizonte de sucesos, viene a decirnos también que el espacio en un agujero negro se comporta como si fuese un tiempo, y el tiempo se comporta como si fuese un espacio. ¡Es como si el espacio y el tiempo invirtiesen sus papeles!

>> ¡Pero eso no es todo! Si un objeto cayese hacia un agujero negro, el tiempo para ese objeto se iría ralentizando más y más y más, de manera que un tiempo cortísimo para ese cuerpo podría llegar a ser casi una eternidad para el resto del Universo... Y justo cuando ese cuerpo llegase al horizonte de sucesos, el tiempo se detendría totalmente para él, de manera que cero segundos para dicho objeto en caída libre se convertirían en una eternidad para el resto del Universo... según esto, para alguien alejado del agujero negro, el cuerpo nunca llegaría a adentrarse más allá del horizonte de sucesos; lo vería frenar cada vez más y más, a medida que fuese acercándose al radio de Schwarzschild. ¡¡Pero si viajáramos junto al cuerpo que está cayendo hacia el agujero negro, sí seríamos capaces de verlo atravesar el horizonte en un tiempo finito!!... ¡No me miréis así! ¡Yo tampoco alcanzo a entender esa barbaridad!

Todos en la salita no salían de su asombro. ¿Cómo era posible que cosas tan increíbles existiesen realmente? El tío Alberto, tras comer un pastelito, continuó con su explicación.

—No obstante, las extrapolaciones de nuestras coordenadas espacio-temporales al interior del horizonte de sucesos no tienen por qué ser correctas, ya que la solución de Schwarzschild, escrita de acuerdo a nuestro sistema de coordenadas espaciales y temporales, podría ser solamente válida para radios mayores que el de Schwarzschild. No obstante, las fórmulas que en nuestro sistema de coordenadas encontramos para el interior del horizonte de sucesos siguen siendo soluciones de las ecuaciones de Einstein, por lo que tampoco tendrían por qué ser falsas las conclusiones que de ellas dedujéramos. Lo único con lo que debemos ir con mucho cuidado es el hecho de que nuestro sistema de coordenadas (es decir, nuestra forma de medir el espacio y el tiempo) puede no ser válido en la región del espacio-tiempo interior al horizonte de sucesos, tal y como ocurre a la hora de medir las coordenadas de latitud y longitud de los polos de un globo terráqueo.

>> ¡Atención, porque esto que acabo de decir es más fuerte de lo que en un principio parece! Estoy diciendo que es posible que nuestra forma de entender el espacio-tiempo nos lleve a maneras de medirlo que no sean buenas a la hora de describir el espacio-tiempo que hay en el interior del horizonte de sucesos. ¡¡Esto sería como decir que nuestros relojes y nuestras cintas métricas fallarían a la hora de medir tiempos y distancias en el interior del radio de Schwarzschild!!

>> Tratemos de entender mejor lo que os acabo de decir. El espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones. Eso significa que siempre necesitaremos cuatro coordenadas (referidas a un sistema de coordenadas determinado) para definir los puntos que lo componen. Pero estas cuatro coordenadas no tendrían por qué ser, en principio, tres de tipo espacial (para situar un punto en el espacio tridimensional) más una temporal (para situarnos en un instante de la Historia), así como las coordenadas para situar un punto en la Tierra no tendrían por qué ser únicamente de tipo latitud y longitud. De hecho, así como las coordenadas de tipo latitud y longitud fallan a la hora de representar unívocamente los polos coordenados de una esfera, las coordenadas espaciales y temporales ordinarias también pueden fallar para describir el espacio-tiempo dentro del horizonte de sucesos. En tal caso, hemos de definir un nuevo tipo de coordenadas (que no serán ni espaciales ni temporales, sino una especie de mezcla de espacio y tiempo) para poder coordenar bien los puntos interiores al horizonte de sucesos. Un ejemplo de estas nuevas coordenadas son las coordenadas de Kruskal-Szekeres.

>> El interior de un agujero negro sería, pues, algo inimaginable para nuestras mentes, que están acostumbradas a trabajar siempre con coordenadas de tipo espacial y temporal... Y estas nuestras primitivas coordenadas del espacio-tiempo fallarían rotundamente a la hora de describir los puntos del interior del agujero negro.

>> De ahora en adelante, y recordando esto que os acabo de decir, ved al espacio y al tiempo simplemente como una manera de parametrizar la geometría del espacio-tiempo, es decir, como una forma de coordenarlo que no es, ni mucho menos, única. Recordad que hay, de hecho, regiones como los agujeros negros en los que esta parametrización de espacio+tiempo no es buena, debiendo recurrir entonces a otros tipos de coordenadas para los que nuestras mentes no están preparadas.

Los muchachos no salían de su asombro al haber escuchado aquellas palabras. Realmente no habían acabado de entender del todo lo que el tío Alberto les había contado. Necesitaban definitivamente un buen rato de tranquilidad para meditar acerca del enorme salto que habían dado en su concepción del espacio y el tiempo; en su concepción del Universo mismo.

—Pero ¿antes no nos habías dicho que en los agujeros negros la curvatura del espacio-tiempo es infinita? —preguntó Nicolás -. ¿Cómo es que después nos has dicho que el espacio-tiempo tiene curvatura finita en el radio de Schwarzschild?

—Efectivamente, Nicolás, los agujeros negros engendran un espacio-tiempo con curvatura infinita, pero eso no ocurre en el radio de Schwarzschild, sino en el otro valor del radio para el que las cosas empiezan a tambalearse; en la otra singularidad de la métrica de Schwarzschild. O sea, en r = 0; ¡el mismísimo corazón del agujero negro!

>> Justo en r = 0 hay una singularidad en el espacio-tiempo que ya no nos podemos quitar de encima, por muchos cambios de coordenadas que hagamos. Esa singularidad ya no viene de un fallo en nuestra forma de coordenar el espacio-tiempo, sino que es un verdadero agujero en el tejido espacio-temporal. Todas las fórmulas fallan en ese punto. Todo empieza a desmadrarse y aparecen infinitos a diestro y siniestro. Es como si la Relatividad misma hiciera aguas por todas partes a la hora de describir qué está pasando justo en el punto donde está el corazón del agujero negro. Ha habido, y sigue habiendo, intentos de arreglar este problema parcheándolo con agujeros de gusano y cosas por el estilo, pero la verdad es que esa singularidad en r = 0 es una auténtica singularidad metida en la esencia misma del espacio-tiempo. Es ahí, en el corazón de los agujeros negros, donde actualmente se halla uno de los grandes límites a nuestro entendimiento del Universo. De hecho, antes de que todo el conglomerado colapsante llegue a concentrarse en un punto matemático (es decir, en r = 0) las densidades y las escalas espaciales involucradas en el colapso pueden ser tan extremas que la Teoría de la Relatividad General deje de tener validez. A esas escalas de energía, espacio y tiempo (conocidas como escalas de Planck), la Relatividad ya no funciona, por lo que nos hace falta una nueva teoría (la Teoría de la Gravedad Cuántica) para entender bien lo que esta pasando allá dentro. A fecha de hoy, nadie ha conseguido aún formular esa Teoría.

—Una pregunta más, tío Alberto —dijo Óscar, al que parecía que algo le estaba dando vueltas en la cabeza desde hacía un ratito -. Si de dentro de un agujero negro se emitiese un rayo de luz hacia fuera, ¿has dicho antes que ese rayo de luz nunca podría llegar a salir del agujero negro?

—Efectivamente. Quedaría anclado en el interior y jamás podría llegar a atravesar el horizonte de sucesos.

—Pero, ¿hace dos días no dijimos que la velocidad de la luz debía ser siempre la predicha por Maxwell para cualquier sistema de referencia? —replicó Óscar -. Entonces, el rayo de luz sí debería poder escaparse del agujero, ya que siempre debería viajar a 300.000 kilómetros por segundo, independientemente de quien midiese su velocidad...

El tío Alberto quedó pensativo unos instantes. Seguidamente, le respondió.

—Vayamos por partes, Óscar. Si desde dentro del horizonte de sucesos se emitiese un rayo de luz, según las ecuaciones de Maxwell dicho rayo viajaría a una velocidad de 300.000 km/s. Lo que ocurre es que, dada la peculiar estructura del espacio-tiempo dentro del horizonte, nos es muy difícil interpretar físicamente que algo tenga velocidad dentro del radio de Schwarzschild. Recuerda que tanto el espacio como el tiempo invierten allí sus signos y sus papeles.

>> Además, cuando hay un campo gravitatorio que dota de curvatura al espacio-tiempo, las cosas cambian bastante respecto a la Relatividad Especial. No obstante, puesto que todo espacio-tiempo, tenga la curvatura que tenga, es localmente equivalente al espacio-tiempo plano de Minkowski (que es donde se aplica la Relatividad Especial), todas las leyes y principios de la Relatividad Especial se convierten en leyes y principios locales en la Relatividad General (es decir, aplicables a pequeña escala). Con esto quiero decir que en la Relatividad General la velocidad de la luz sigue siendo independiente del sistema de referencia, pero esto solo ocurre cuando la medimos localmente, es decir, sin estar demasiado lejos del rayo de luz cuya velocidad estamos midiendo.

>> Pero ¡ojo! ¡No malinterpretéis esto que os acabo de decir! ¡No os estoy diciendo que se pueda violar el postulado de la Relatividad Especial sobre la constancia de la velocidad de la luz!... Dejadme que os explique esto de otra manera. Si lanzáramos un rayo de luz hacia un agujero negro, este rayo empezaría a frenar cuando fuese acercándose al horizonte de sucesos (al igual que le ocurría al objeto del que hablábamos hace un rato) de manera que nunca llegaríamos a ver al rayo de luz atravesar el horizonte. No obstante, para un observador lo suficientemente cercano al rayo de luz, dicho rayo se seguiría moviendo hacia el agujero negro a 300.000 kilómetros por segundo. Tened en cuenta que a medida que os acercáis al horizonte de sucesos de un agujero negro, tanto el espacio como el tiempo se deforman increíblemente... Y un rayo de luz también es susceptible de sentir esas deformaciones. Entonces, para medir la velocidad de la luz en una región cercana al horizonte de sucesos, no podéis usar vuestras reglas de medir ni vuestros relojes alejados del horizonte, ya que llegaréis a conclusiones erróneas. En vez de eso, deberéis emplear reglas de medir y relojes que estén también cerca del horizonte de sucesos y que reflejen con total exactitud las condiciones de curvatura del espacio-tiempo en la región en la que el rayo de luz se está desplazando. Entonces, y sólo entonces, podréis estar seguros de que lo que estáis midiendo es realmente la velocidad de ese rayo de luz y no otra cosa sin sentido... Y siempre que midáis la velocidad de un rayo de luz usando las coordenadas espaciales y temporales correspondientes a la región del espacio-tiempo en el que dicho rayo de luz se desplaza (o sea, siempre que midáis bien la velocidad de la luz) vuestra medida os dará 300.000 kilómetros por segundo, sin excepción.

Óscar no pareció entender demasiado bien la última parte de la explicación del tío Alberto. Diana, acto seguido, se levantó de la mesa y propuso a sus hijos que tal y como habían hecho el día anterior empezasen a ocuparse de sus deberes. Después de despedir a Diana, a sus sobrinos, a Nicolás y a Carlos, el tío Alberto se fue también a casa de sus padres a cenar y dormir. Xelo y Óscar empezaron sus deberes, pero no sin antes pasarse unos diez minutos reflexionando sobre las cosas formidables que les había contado el tío Alberto.

17. Cuando se cuantizó la Física

Xelo volvía del colegio casi corriendo para poder escuchar otra tarde al tío Alberto y a los muchachos hablar de sus cosas.

La noche anterior había sido maravillosa. El tío Alberto e Iván habían estado hasta altas horas de la noche explicando a los muchachos, a Diana y a Xelo un montón de cosas asombrosas sobre el Universo. Con la ayuda del telescopio de Iván y la cámara de fotos del tío Alberto, habían hecho un tour a lo largo del vecindario de nuestro Sistema Solar en la Vía Láctea, donde vieron nebulosas planetarias y nubes moleculares, cúmulos de estrellas, estrellas dobles y un montón de cosas más. Lo que más gustó a Xelo fue cuando el tío Alberto les contaba qué eran aquellas cosas y los titánicos tamaños que tenían. Después de estudiar la Vía Láctea, pasaron a observar otras galaxias distintas a la nuestra en el Grupo Local y el Cúmulo de Virgo. En resumen, fue una noche inolvidable.

Aquella tarde, viernes ya, era la penúltima que el tío Alberto iba a pasar en la ciudad. Irremediablemente, volvería a Bonn el domingo por la mañana. Todos los que asiduamente habían prestado atención a las charlas del tío Alberto durante el café estaban bastante entristecidos al pensar que ya faltaba poco para volver a las tardes cotidianas.

Una vez estaban de nuevo los muchachos, Xelo y el tío Alberto sentados como de costumbre (Diana se uniría a ellos en unos minutos tras preparar el café), el tío Alberto les preguntó a los muchachos qué tal les habían ido las clases en el instituto.

—¡Hoy hemos empezado a estudiar en Química las configuraciones electrónicas de los átomos! —le respondió Óscar.

—¡Ah, eso está muy bien! —dijo el tío -. ¿Entonces habéis estudiado ya la cuantización de la energía?

—Puessss sí —respondió Óscar algo dubitativo -, aunque no hemos comprendido muy bien qué es eso exactamente, ni por qué es así... ¡Explícanoslo tú, tío!

—¡Vaya, eso significa que vamos a cambiar ligeramente la temática que hemos estado siguiendo estos días! Hasta ahora hemos estado hablando de cómo se comporta la Naturaleza a escalas enormes, del orden del tamaño del Universo. Hoy, muchachos, vamos a tenernos que ir justo al lado opuesto de la existencia: a tamaños inimaginablemente pequeños y a energías minúsculas. ¡Os aseguro que la fauna de conclusiones sorprendentes que encontraremos en esta región de la existencia en nada tendrá que envidiar a la que vimos los días anteriores!

Los muchachos y Xelo se acomodaron mejor en sus asientos. El tío se aclaró la voz mientras Diana entraba en escena con la bandeja llena de pastelitos y piezas de café. Tras servirle la típica tacita al tío Alberto, éste comenzó a llevarlos con sus palabras, de nuevo, a las fronteras de la Naturaleza.

—Todo este embrollo de la cuantización de la energía, que dentro de poco veremos qué es exactamente, comenzó con lo que se conoce como el problema del cuerpo negro, o lo que algunos también llamaban la catástrofe ultravioleta —todos pusieron cara de extrañados. El tío Alberto continuó -. Veréis. Un cuerpo que se encuentra a una cierta temperatura y que no refleja ninguna luz que le llegue de fuera se llama cuerpo negro. Toda la radiación que emite un cuerpo negro es debida únicamente a la temperatura que ese cuerpo tiene, y no a nada externo que en él se refleje. El nombre es lógico, ya que el color negro es el propio de los cuerpos que absorben casi toda la luz que les llega de fuera, de manera tal que emiten mayoritariamente lo que les viene de dentro. Naturalmente, esto no implica que un cuerpo negro tenga que ser necesariamente de color negro. A principios del siglo pasado, los físicos habían medido muchos espectros de emisión de cuerpos negros, sometidos a distintas temperaturas. El espectro de emisión de un cuerpo es algo que nos da, sencillamente, la intensidad (o cantidad) de radiación electromagnética emitida por ese cuerpo para cada frecuencia en la que dicho cuerpo emite. Durante mucho tiempo, los físicos teóricos nunca consiguieron encajar bien las predicciones teóricas de los espectros de emisión de los cuerpos negros con los resultados experimentales.

FIGURA 19 En esta figura tenemos una representación del espectro de emisión de un cuerpo negro. El eje vertical representa la intensidad de la radiación y el eje horizontal, la frecuencia. La curva 1 representa la predicción teórica que hacían los físicos antes de que Max Planck resolviese la catástrofe ultravioleta; la curva 2 representa lo que la realidad (es decir, los resultados experimentales) mostraba. A frecuencias bajas, el parecido entre la teoría y el experimento era notable. En cambio, a frecuencias altas la teoría (curva 1) predecía que la intensidad de emisión debía aumentar indefinidamente a medida que creciese la frecuencia. Llegaba un momento en el que, a frecuencias suficientemente altas, la intensidad calculada era absurdamente enorme; catastróficamente alta.

>> Cuando las frecuencias eran bajas, se obtenía un parecido bastante bueno entre la realidad y la teoría, pero a frecuencias más altas las cosas fallaban descaradamente. Los cuerpos negros se comportaban como si les costase más emitir a altas frecuencias de lo que la teoría predecía. La Física tuvo que esperar hasta la llegada del físico alemán Max Planck, que dio solución a aquel problema de la catástrofe ultravioleta con una idea genial. Planck pensó que si al cuerpo negro le costaba más emitir cuanto mayor era la frecuencia, aquello podía deberse a que la energía de la radiación no podía ser una cualquiera, sino que debía tener un valor mínimo posible; un valor que aumentase con la frecuencia. Fijaos que si suponemos esto, es decir, si admitimos que la energía de la radiación del cuerpo negro se debe emitir por paquetes de valor igual a la mínima energía posible para cada frecuencia, podremos explicar por qué el espectro del cuerpo negro decae a frecuencias altas. En efecto, si para una frecuencia más alta tenemos que la mínima energía posible es también más alta, al cuerpo negro le costará más emitir ese mayor paquete de energía, por lo que no podrá emitir tantos paquetes de frecuencias altas como de bajas. Dicho de otro modo, el cuerpo negro mostrará cierta predilección (palabra usada en sentido muy poco riguroso, aunque descriptivo) por emitir paquetes de energía más baja, para los que el coste energético será menor.

FIGURA 20 Aquí vemos al señor Berenjeno emitiendo ondas electromagnéticas de frecuencia baja (arriba). Por su expresión, vemos que no es un gran esfuerzo energético para él emitir esa clase de radiación. No obstante, en la parte de abajo de la figura vemos los suplicios por los que tiene que pasar para emitir un poquitín de radiación electromagnética de frecuencia más alta. El coste energético de cada una de esas emisiones va creciendo a medida que la frecuencia se hace mayor.

>> Planck supuso una dependencia sencilla entre la frecuencia y la energía mínima posible de aquellos paquetes de ondas electromagnéticas. Simplemente postuló que la energía mínima posible era igual a la frecuencia multiplicada por cierta constante, h, que pasó a llamarse posteriormente constante de Planck. Aquella idea tan brillante dio frutos formidables cuando se aplicó para modelar los datos experimentales sobre espectros de cuerpos negros. Los datos se ajustaron divinamente a las nuevas curvas teóricas. Fijaos en el gran cambio que supuso el postulado de Planck para nuestra forma de entender las ondas electromagnéticas. Una onda electromagnética, según se entendía antes de que Planck enunciase su postulado, podía tener una energía arbitrariamente pequeña, fuera cual fuera su frecuencia. Esto podía conseguirse, sencillamente, disminuyendo la amplitud de la onda. Como la energía de una onda depende de su frecuencia y de su amplitud, podía obtenerse una energía todo lo pequeña que quisiéramos sin más que disminuyendo la amplitud de la onda, independientemente de la frecuencia que dicha onda tuviese.

>> No obstante, el hallazgo de Planck mostró que estábamos equivocados respecto a esto. Cada onda con una frecuencia determinada no puede tener una amplitud arbitrariamente pequeña, sino que debe tener una amplitud mínima, para almacenar así su energía mínima correspondiente. Además, la amplitud (o energía) de las ondas electromagnéticas no puede aumentar ni disminuir de manera continua, sino que la energía total de la onda debe ser siempre igual a un número entero de veces el valor de la energía mínima. Es decir, la energía de una onda electromagnética debe cambiar a base de saltos de valor igual a la energía mínima. Este fenómeno es lo que en Física se llama la cuantización de la energía. La energía comunicada a través de las ondas electromagnéticas no puede tener cualquier valor, sino un múltiplo entero de ciertas cantidades mínimas, que dependerán de la frecuencia de la onda en cuestión. Este resultado, que a primera vista no parece que vaya a tener consecuencias formidables para la Física, realmente causó toda una revolución en el siglo XX.

>> Paralelamente a este hallazgo, nuestro amigo Albert Einstein consiguió explicar el llamado efecto fotoeléctrico basándose también en la idea de Planck sobre la cuantización de la energía en paquetes de ondas con energía mínima. Tranquilos, no voy a enrollarme ahora explicándoos el efecto fotoeléctrico. Simplemente os diré que gracias a Einstein este efecto está hoy en día muy bien entendido y ya tiene incluso aplicaciones tecnológicas muy cotidianas, como las puertas automáticas de algunos ascensores y grandes almacenes, que se abren mágicamente cuando nos acercamos a ellas. De hecho, creo que es curiosa la observación de que Einstein no recibió el Premio Nobel de Física por sus laboriosos trabajos formulando la Relatividad, sino más bien por su explicación del efecto fotoeléctrico... ¡Curiosidades de la vida!

El tío Alberto cogió una pastita y la llevó entera a la boca. Hablando entrecortadamente mientras terminaba de masticarla, siguió con su explicación.

—Muchachos, la cuantización de la energía, debidamente interpretada, va a llevarnos a unas conclusiones formidables. Pero antes de hablar de ellas vamos a tener que hacer una pequeña visita a los pilares mismos de la Física.

18. Los entes de la Física

—Una de las cosas que nos permite hacer la Física —continuó el tío Alberto mientras empezaba a beber el café y cogía otra pastita —es poder deducir los estados futuros y pasados de un sistema físico conociendo su estado presente y las leyes que rigen su evolución... Pero, ¿qué es un sistema físico?

>> Por sistema físico entendemos todo aquello con lo que podemos interactuar o que, al menos, podemos observar con o sin ayuda de la tecnología. Antiguamente se pensaba que todo sistema físico estaba compuesto esencialmente por dos clases distintas de entidades. Ambos tipos de entidades eran completamente diferentes en sus propiedades, si no antagónicos. Así pues, se tenía por una parte lo que conocemos como partículas y por otra lo que llamamos ondas (y/o campos).

>> Las partículas tienen la propiedad de estar situadas en un único punto del espacio para cada instante de tiempo. De este modo, una partícula no puede estar en dos lugares al mismo tiempo, ni dos partículas pueden ocupar la misma posición en un momento determinado. Asimismo, un sistema de partículas idénticas no puede tener cualquier masa o cualquier carga eléctrica, sino que las propiedades de un sistema de partículas sólo pueden ser, lógicamente, un múltiplo entero de las propiedades individuales de cada partícula. Análogamente, un sistema formado por sandías iguales (pesando cada una de ellas 1 kilogramo) no podría tener una masa de 2.5 kilogramos, sino que sólo podría pesar un número entero de kilogramos (2, 3, 4, 5,... tantos como sandías).

>> En cambio, las ondas no están localizadas en un único punto del espacio, sino que más bien están esparcidas por toda una región, ocupando infinitos puntos al mismo tiempo. Asimismo, nada impide a dos ondas distintas interferir en una misma región del espacio, por lo que dos o más ondas sí pueden coexistir en un mismo punto del espacio para un instante determinado del tiempo (de hecho, todas esas ondas son en realidad parte de una única onda, pero eso no viene ahora a cuento). Además, desde un punto de vista clásico, las propiedades de una onda, como la energía, no tienen por qué ser múltiplos enteros de una cantidad mínima, sino que sus propiedades pueden tomar todo un continuo de valores posibles.

>> Volviendo a la descripción de las partículas, éstas evolucionan en el tiempo siguiendo trayectorias bien definidas en el espacio, mientras que las ondas evolucionan todas ellas, ondulando y cambiando su valor en todos y cada uno de los puntos del espacio en los que están definidas. Como veis, nada puede haber tan distinto como una onda y una partícula.

>> No obstante, muchachos, lo que la radiación del cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico (entre otros experimentos que no mencionaré) nos enseñaron sobre las ondas electromagnéticas es que, en determinadas ocasiones, sus energías permitidas son múltiplos enteros de energías mínimas, por lo que, en cierto modo, se comportan como partículas de campo electromagnético (partículas que los físicos llamamos fotones). A su vez, experimentos hechos con electrones lanzados hacia cristales nos muestran que éstos, que siempre se habían considerado partículas, también parecen tener propiedades que pertenecen exclusivamente a las ondas, formando lo que se llaman patrones de difracción. Estos experimentos nos muestran que los electrones pueden sufrir interferencias, como si de ondas se tratasen.

>> Para enorme sorpresa de los físicos de principios del siglo pasado, las partículas y las ondas, que tan distintas se habían considerado unas de otras, realmente parecen estar bastante relacionadas. Las ondas parecen tener ciertas propiedades de partículas y las partículas parecen comportarse, en ocasiones, como ondas, si se experimenta adecuadamente con ellas. El físico Louis De Broglie, al contemplar todos estos resultados, aventuró que toda partícula tiene una onda asociada, llegando a postular una relación entre la energía de la partícula y la frecuencia de su onda correspondiente.

>> La interpretación actual de todos estos hechos es sutilmente distinta a la del postulado de De Broglie. Hoy en día, decimos que los sistemas físicos no están formados ni por partículas ni por ondas, contrariamente a como se creía en el pasado, sino por una nueva entidad llamada cuanto, que comparte paradójicamente todas las propiedades de las partículas y de las ondas.

—Pero, ¿cómo es posible que pueda existir algo que tenga las propiedades de una onda y al mismo tiempo las de una partícula? —gritó Óscar -. ¡Pero si las propiedades de ambas cosas son totalmente incompatibles! ¡¿Cómo puede estar algo esparcido por todo el espacio y al mismo tiempo estar situado en un único punto?!

—¿Y cómo puede algo interferir con otro algo en la misma región del espacio, si ambas cosas tampoco pueden ocupar la misma posición al mismo tiempo? —preguntó Nicolás —¡Es rotundamente ilógico! ¡Todas esas partículas y ondas son totalmente contrarias las unas de las otras!

—No obstante —respondió finalmente el tío Alberto —la Naturaleza nos muestra una y otra vez que esto es así. Tenéis razón cuando decís que sería imposible que una partícula, en el sentido clásico, tuviese las propiedades de una onda, ya que partículas y ondas son en cierto modo antagónicas. Pero debéis tener en cuenta que un cuanto no es una partícula con propiedades de onda, ni una onda con propiedades de partícula. Un cuanto es una cosa nueva, que ni es una onda ni es una partícula, y que dependiendo del experimento que hagamos con él se comportará como onda o como partícula. La Interpretación de Copenhague, que es la imagen comúnmente aceptada de la Física Cuántica (la rama de la Física que estudia los cuantos) afirma que los cuantos son, como os he dicho, una especie de híbrido entre partícula y onda, que ni son puramente una cosa, ni son la otra. El modo en el que, según la Interpretación de Copenhague, hemos de caracterizar qué es un cuanto y cuáles son sus propiedades es lo que llamamos la Interpretación Probabilística. Los muchachos fruncieron el ceño al unísono. Diana hablaba con Xelo en voz baja acerca de un tema ajeno a la conversación. El tío acabó el café y cogió otro pastelito. Mientras lo comía, aclaró a los muchachos aquello que les sonaba a chino.

19. Viajes al pasado y universos paralelos

—Según la interpretación probabilística, que ha sido estudiada con lupa desde hace décadas y de momento ha descrito a la perfección todos los experimentos hechos hasta la fecha, la Naturaleza tiene dos caras bien diferenciadas. Una de ellas gobierna la evolución de la parte ondulatoria de los cuantos (la parte que tienen de onda) y está totalmente regida por las leyes de la Física. La otra cara, por el contrario, está relacionada con el proceso de medir magnitudes propias de la parte corpuscular (su parte de partícula) y es totalmente aleatoria, es decir, no está gobernada por ninguna ley de la Física. Atención, porque esto que acabo de decir es más impresionante de lo que parece.

>> Cuando un cuanto se está comportando como una onda (o sea, cuando está distribuido en diversas regiones del espacio) su parte corpuscular no está en ningún momento situada en ningún lugar. ¡Ni siquiera la Naturaleza sabe cuál es la posición de la parte corpuscular del cuanto, ya que ésta ni siquiera está definida! Será cuando intentemos medir dónde está la parte corpuscular del cuanto, cuando éste automáticamente pasará a comportarse como una partícula. Será en ese momento cuando aparecerá en un punto concreto del espacio, que caerá en alguna de las regiones donde la parte ondulatoria del cuanto era más intensa, o sea, donde había más onda. No obstante, la posición no se establecerá de manera exacta de acuerdo a ninguna ley de la Física. La elección exacta que el cuanto hará de la posición de su parte corpuscular será totalmente aleatoria.

—¿Aleatoria como el resultado de un juego de ruleta? —preguntó Óscar -.

—No exactamente. Una ruleta sí se rige por las leyes de la Física. Si supiésemos con suficiente precisión el estado en el que se encuentran la ruleta y la bola cuando ésta última se acaba de lanzar, podríamos, con la ayuda de un ordenador suficientemente rápido, predecir dónde caerá la bola antes de que ésta se detenga. El hecho de que a juegos como la ruleta, o los dados, se les llame comúnmente juegos de azar es por lo enormemente complicado que es predecir el resultado del juego, dado que tales sistemas son muy complejos; muy sensibles a pequeños errores de cálculo y difíciles de tratar matemáticamente.

>> No obstante, en ningún momento durante el juego de la ruleta se dejan de cumplir las leyes de la Mecánica, que son las que dictarán dónde caerá la bola. De manera que estos juegos no son realmente de azar, aunque a nosotros sí nos lo parezcan. El caso de la parte corpuscular de un cuanto es muy distinto a esto. En el momento en el que el cuanto se tiene que comportar como una partícula (es decir, cuando pretendemos medir su posición, por ejemplo), la posición del cuanto se define automáticamente, sin regirse por ninguna ley de la Física; únicamente por la estadística, que nos dice que, después de un gran número de experimentos iguales, el cuanto habrá tendido a aparecer más veces en aquellas zonas en las que la intensidad de la parte ondulatoria era mayor. No obstante, para un experimento en particular, nos será totalmente imposible predecir con exactitud dónde aparecerá la parte corpuscular del cuanto cuando midamos su posición.

Ante las miradas de incomprensión de los oyentes, el tío Alberto intentó buscar una manera sencilla de hacerles ver lo que les había dicho.

—Veréis. Hace muchos siglos, algunos filósofos griegos se preguntaban si la Naturaleza se comportaba de manera cósmica (es decir, ordenada) o si bien era totalmente caótica. Podemos interpretar que la diferencia entre ambas posibilidades es que si en un universo cósmico hacemos dos experimentos totalmente iguales, llegaremos a resultados totalmente equivalentes. En un universo caótico, por el contrario, un mismo experimento podría llevar a resultados muy distintos. Al final, y de acuerdo con la Mecánica Cuántica, la Naturaleza no se comporta puramente de una manera ni de la otra. Me explico.

>> Imaginad que observáis un experimento en el que hay un cuanto que nos está mostrando su parte ondulatoria, de manera que la onda asociada a éste está repartida, por ejemplo, en dos regiones distintas del espacio. Imaginemos que una de esas regiones es la parte izquierda de esta habitación y la otra región es la parte derecha. Cuando tratásemos de ver al cuanto como una partícula, intentando medir su posición mediante alguna estrategia experimental, la partícula aparecería mágicamente, bien en la zona derecha de la habitación o bien en la zona izquierda. Supongamos que la partícula resulta encontrarse en la parte izquierda de la habitación.

>> Imaginemos ahora que tenemos una máquina del tiempo. Si retrocediéramos en el tiempo hasta antes de haber hecho la medida de la posición del cuanto y nos pusiéramos a observar de nuevo el experimento, espiándonos a nosotros mismos desde fuera de la ventana, ¿qué resultado creéis que veríamos?

—¡Veríamos al cuanto aparecer de nuevo en la parte izquierda de la habitación! —respondió Óscar, seguro de sí mismo -. ¡La Historia no puede cambiar si únicamente nos limitamos a espiarnos a nosotros mismos desde el otro lado de la ventana!

—Pues no es así, Óscar. ¡La partícula podría ser detectada perfectamente en la parte derecha de la habitación! En un Universo regido totalmente por las leyes de la Física, lo que has dicho es cierto. Efectivamente, al espiar desde fuera nos veríamos a nosotros mismos detectando de nuevo a la partícula en el lado izquierdo de la habitación... ¡Pero la Naturaleza también tiene una parte esencialmente aleatoria que no está controlada por ninguna ley de la Física! Esa componente aleatoria es la que puede hacer que, después de ver el mismo experimento al haber viajado hacia atrás en el tiempo, podamos observar resultados distintos. Esta asombrosa conclusión puede ser llevada más allá. Imaginad que hacemos el pacto de que Carlos estudie la carrera de Matemáticas si la partícula resulta estar en la parte izquierda de la habitación, y que estudie Física si está en la parte derecha... ¿Qué carrera estudiará Carlos? Cuando hagamos primero el experimento, concluiremos que Carlos estudiará Matemáticas, pero cuando viajemos en el tiempo al pasado y veamos, posiblemente, a la partícula aparecer en la parte derecha de la habitación, ¡el Carlos del pasado decidirá estudiar Física!

—¡¡Demontre!! —gritó Carlos -. ¡¡Esto es increíble!!... ¡Pero es una paradoja! ¡¡Yo no puedo estudiar ambas cosas al mismo tiempo!!

—¡Por supuesto que no! —dijo el tío Alberto -. El hecho de que esto te parezca una paradoja viene de que los cuantos, paradójicamente, mezclan propiedades corpusculares y ondulatorias al mismo tiempo. Algunos físicos heterodoxos opinan que cada vez que invocamos a la parte corpuscular de un cuanto mediante la medida de alguna de sus propiedades, como su posición o su energía, automáticamente seleccionamos uno de entre tantos universos paralelos como resultados posibles nos puede dar el experimento. Por lo tanto, según esta visión heterodoxa de la Mecánica Cuántica, realmente existirían una infinidad de universos paralelos. Y en uno de esos universos Carlos estudiaría Matemáticas, pero en el otro estudiaría Física. Al viajar en el tiempo al pasado y reobservar el mismo experimento, nos arriesgaríamos a aparecer en otro universo paralelo distinto de aquel del que partimos.

>> Personalmente, yo prefiero una imagen un poco más ortodoxa del asunto. Según mi opinión, ambos universos paralelos serían realmente el mismo universo. El hecho de que la Historia pueda no repetirse en el caso de que pudiésemos regresar al pasado para observarla de nuevo no tiene por qué ser paradójico, ni tenemos por qué necesitar imaginar universos paralelos con historias distintas para comprenderlo. Esto es simplemente un reflejo de la parte esencialmente aleatoria de la Naturaleza. Puesto que nuestras mentes, y nuestra lógica con ellas, están habituadas pensar en un universo totalmente cósmico (en el sentido de que una condición inicial sólo puede llevar a una situación final de acuerdo a una estrecha relación causa-efecto), creemos que algunas conclusiones a las que nos lleva la Mecánica Cuántica son imposibles... Como si esa palabra tuviese que ser sinónimo de ilógicas o paradójicas. A nosotros nos parece imposible que un mismo universo pueda tener historias completamente distintas si tan sólo nos dedicamos a reobservarlo en el pasado, pero no hemos de confundir la palabra imposible con la palabra ilógico. En realidad, tal cosa no tiene por qué ser imposible por el hecho de que nos parezca ilógica. De hecho, la Naturaleza nos ha mostrado, con la ayuda de muchos experimentos, que el Universo se comporta realmente así, es decir, con una componente esencialmente aleatoria.

>> Hemos de cambiar nuestra forma de ver el mundo si queremos entender la Física Cuántica, metiéndonos en la cabeza que puede que sea la lógica, y nuestros prejuicios con ella, la que esté fallando a la hora de estudiar fenómenos cuánticos alejados de la parcela de la realidad en la que se forjó nuestra forma de pensar; en la que se formó la lógica misma. Tomando esta postura, no nos hace ninguna falta recurrir a las rebuscadas interpretaciones heterodoxas de la Mecánica Cuántica para tratar de hacer las paces entre nuestras mentes y los resultados experimentales. Eso sí, deberemos plantearnos, entonces, otra lógica distinta a la que nos hemos forjado en nuestro mundo clásico; una lógica cuántica; ¡una lógica para la que dos cosas contradictorias no tengan por qué ser excluyentes!

20. ¿Juega Dios a los dados?

—Hasta ahora me he limitado a hablaros de posiciones de partículas. No obstante, la Mecánica Cuántica no sólo habla de medir posiciones, sino también un montón de otras magnitudes físicas asociadas a una partícula. Así, por ejemplo, podríamos hablar de la velocidad, la energía, la posible rotación respecto a algún eje, etc. Al medir cualquiera de estas magnitudes, estamos invocando a la parte corpuscular de un cuanto, por lo que dicho cuanto, en el momento de la medida, debe dejar de comportarse como una onda.

>> Una de las grandes diferencias entre ondas y partículas es que una onda puede sumarse a otras (es decir, superponerse a otras), lo cuál es imposible para las partículas. De hecho, un número indeterminado de ondas pueden superponerse, sin ningún problema, en una misma región del espacio. ¡Siempre hay espacio suficiente para todas! Dicho de modo riguroso, la ecuación de ondas (a la que obedece la parte ondulatoria de los cuantos) es lo que se llama una ecuación lineal. Esto significa que si varias ondas obedecen, cada una de ellas, a esa ecuación, entonces la onda resultante de cualquier combinación de esas ondas también obedece a la misma ecuación.

>> Voy a intentar aclararos esto con un ejemplo. Supongamos que tenemos un cuanto cuya parte ondulatoria es la suma de tres ondas. Supongamos que cada una de esas tres ondas tiene asociada una energía distinta: por ejemplo 2, 3 y 5 unidades. La onda total asociada a ese único cuanto es, por lo tanto, la suma de tres ondas con energías distintas. Lógicamente, la partícula asociada a ese cuanto no puede tener tres energías al mismo tiempo, dado que una partícula no puede ser igual a la superposición de tres partículas con energías distintas; una partícula sólo puede tener una energía determinada. Lo que rigurosamente nos dice la Mecánica Cuántica en relación con este ejemplo es lo siguiente: dado que una onda puede ser igual a la suma de varias ondas distintas, pero una partícula no puede serlo, cuando midamos la energía de la partícula asociada al cuanto de nuestro ejemplo, el resultado nos podrá dar indistintamente cualquiera de los tres valores posibles (2 unidades, por ejemplo), pero sólo uno de ellos, y nunca nos será posible adivinar, con total seguridad, cuál de esas tres energías va a tener la partícula. Es en el momento en el que esto se decide (momento que los físicos llamamos colapso de la función de onda) cuando la componente esencialmente aleatoria de la Naturaleza entra en juego, seleccionando una de las tres energías posibles para la partícula. Antes de medir esa energía, la partícula asociada al cuanto no tenía ninguna energía definida, ya que la parte ondulatoria tenía asignadas varias energías al mismo tiempo. Es, pues, la medida misma de la energía lo que acaba haciendo que dicha energía se defina (y de forma esencialmente aleatoria).

FIGURA 21 Aquí vemos cómo tres ondas distintas (parte izquierda de la figura) pueden sumarse para producir una única onda resultante (parte derecha). Esta onda será una superposición de las anteriores. Si cada una de las ondas de la parte izquierda tiene una energía determinada, la Mecánica Cuántica nos dice que cuando queramos medir la energía de la partícula asociada a la onda de la derecha, dicha onda se convertirá automáticamente en una de las ondas de la izquierda (esto es lo que llama colapso de la función de onda). La energía medida será, entonces, siempre la correspondiente a una de las ondas con energía definida (es decir, una de las ondas de la izquierda).

—Pero, ¿cómo sabemos que eso es así, tío Alberto? —preguntó Óscar -. Nadie puede viajar en el tiempo al pasado para comprobar, viendo un mismo experimento varias veces, que dicho experimento pueda dar resultados distintos. Luego ¿cómo saben los físicos que la Naturaleza tiene una componente esencialmente aleatoria?

—La verdad es que la respuesta a tu pregunta es bastante sutil, Óscar. A Albert Einstein, por ejemplo, nunca le acabó de convencer la interpretación estándar de la Mecánica Cuántica, a la que él tanto había aportado con su explicación del efecto fotoeléctrico. Einstein, junto con otros científicos importantes de la época, era muy reacio a creer que hubiera una parte de la Naturaleza que no estaba regida en absoluto por ninguna ley de la Física, de manera que ni siquiera la Naturaleza supiese de antemano cuál iba a ser el resultado de un experimento. Su repulsa a la interpretación esencialmente aleatoria de las partículas asociadas a los cuantos se resume en su famosa frase Dios no juega a los dados, que seguramente habréis oído en alguna ocasión —los muchachos intercambiaron unas miradas como si aquella frase no hubiese pasado jamás por sus oídos -. No obstante, ¡hay una manera de comprobar experimentalmente que la interpretación probabilística es correcta sin necesidad de viajar en el tiempo al pasado!

Los muchachos se acercaron un poco más a la mesa, llenos de curiosidad. El tío Alberto cogió tranquilamente un pastelito de la bandeja. Después de reflexionar unos segundos mientras lo comía, como si estuviese tratando de recordar algo, continuó con la tertulia.

—El precioso experimento del que os voy a hablar se lo debemos al físico John Bell, que seguramente disfrutaría de lo lindo al demostrar a Einstein y compañía que se equivocaban respecto a su visión particular de la Cuántica. Veréis. Una interpretación de la Cuántica distinta a la estándar, y que a primera vista nos llevaría a las mismas conclusiones experimentales que ésta, es la que deriva de la llamada Hipótesis de las Variables Ocultas. Esta hipótesis es la que Einstein opinaba que debía tomarse en Mecánica Cuántica, ya que no necesitaba imponer de ningún modo que la Naturaleza tuviese una componente independiente de las leyes de la Física y, con ello, de toda lógica. Esta hipótesis dictamina que realmente sí hay leyes físicas que deciden cuál va a ser la posición (o el valor de cualquier otra propiedad, como la energía) que tomará la parte corpuscular de un cuanto cuando la midamos. Lo que ocurriría según esta hipótesis es que esas leyes nos serían desconocidas y dependerían de unas ciertas variables ocultas que no podríamos medir experimentalmente con la tecnología de que disponemos, pero que sí tendrían valores definidos en la Naturaleza. De este modo, si bien a nosotros nos sería experimentalmente imposible predecir dónde se situaría la partícula asociada a un cuanto cuando midiéramos su posición, tal posición habría sido definida de antemano por las leyes y las variables ocultas, de manera tal que al menos la Naturaleza sí sabría donde iría a parar la partícula asociada al cuanto y, como consecuencia directa, Dios ya no jugaría a los dados.

>> A primera vista, parece que no haya manera posible de discernir experimentalmente entre la hipótesis de las variables ocultas y la de la componente esencialmente aleatoria, ya que, por definición, las variables ocultas no podrían ser medidas de ninguna forma con nuestros conocimientos actuales, siéndonos entonces imposible predecir el resultado de cualquier experimento, al igual que ocurre con la interpretación probabilística (es decir, con la componente esencialmente aleatoria). Pues bien, el experimento que pudo discernir que la hipótesis de variables ocultas es falsa y que, por consiguiente, hay una componente esencialmente aleatoria en la Naturaleza fue el llamado experimento de las Desigualdades de Bell. Este experimento es un poco difícil de entender para vosotros, ya que hace falta conocer los fundamentos de la Mecánica Cuántica para comprenderlo. No obstante, intentaré explicároslo lo más fácilmente que pueda.

El tío Alberto cogió un bolígrafo del bolsillo izquierdo de su pantalón y sacó del mismo una libretita de notas. Cuando la abrió, todos pudieron ver que sus hojitas estaban repletas de garabatos extraños y fórmulas misteriosas mientras iba pasando las hojas de una en una. Finalmente, llegó a una hoja vacía. Dejó la libretita sobre la mesa con la hoja vacía lista para ser garabateada. Después bebió buena parte del café de su taza y empezó con la odisea de las desigualdades de Bell.

—La hipótesis de las variables ocultas no sólo implica que Dios no juegue a los dados, sino que además da a las interacciones en Mecánica Cuántica una interpretación local, que es totalmente contraria a la que deriva de la componente esencialmente aleatoria. Esto, que os puede sonar a chino, es bastante fuerte cuando se entiende debidamente bien. Trataré de explicároslo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una partícula que se desintegra en dos partículas más ligeras que ella. Las dos partículas resultantes de la desintegración empiezan a separarse una de otra. En Física hay una magnitud llamada momento angular, que se relaciona con la rotación de los cuerpos respecto a algún eje. Baste con decir que el momento angular indica cómo está girando un cuerpo. El momento angular es una magnitud que se conserva, como la energía, de manera que si la partícula que se desintegró no tenía momento angular alguno, pero las dos partículas resultantes de la desintegración sí lo tienen, entonces ambas partículas deberán tener momentos angulares exactamente opuestos. De este modo, al sumar los momentos angulares de las partículas resultantes de la desintegración, el resultado dará cero, que es el momento angular de la partícula madre que se desintegró —el tío Alberto empezó a dibujar una serie de rayas en la hojita de la libreta.

FIGURA 22 Aquí tenemos el dibujo del tío Alberto. Se trata del esquema de la desintegración de una partícula 1 en un par de partículas 2 y 3. Si la partícula 1 tiene un momento angular nulo, el momento angular de 2 ha de ser justo el opuesto al de 3, de manera que el momento angular antes de la desintegración sea el mismo que después.

>> Según la hipótesis de la componente esencialmente aleatoria, en el momento en el que se produce la desintegración, los momentos angulares de las partículas resultantes no están aún definidos. Es en el instante en el que decidimos medirlos cuando Dios juega a los dados con ellos y toman un valor concreto. Observad lo fantástico de esta situación. Al medir el momento angular de una de las partículas (la 2, por ejemplo), el momento angular de la otra (la 3) deberá definirse al mismo tiempo que medimos el de su compañera. De este modo, al medir posteriormente el momento angular de la partícula 3, éste ya estará definido (valiendo justo lo contrario que el de la partícula 2, a la que se lo medimos primero), no habiendo pues ninguna manera de obtener una violación de la conservación del momento angular. Si al medir (y definir) el momento angular de la partícula 2, el de la partícula 3 no quedase también definido, la posterior medida del momento angular de la partícula 3 todavía podría darnos cualquier valor (puesto que Dios aún podría jugar a los dados con ella). Por lo tanto, la suma de ambos momentos angulares ya no tendría por qué ser cero, pudiendo entonces violarse la conservación del momento angular. La moraleja de este razonamiento es que justo después de haber medido el momento angular de la partícula 2, el de la partícula 3 deberá estar obligatoriamente definido, haya o no haya variables ocultas de por medio.

>> Fijaos en la sutileza que hay detrás de esto si la hipótesis de las variables ocultas es falsa: aunque dejemos que las partículas resultantes de la desintegración se separen la una de la otra una distancia de kilómetros y kilómetros, no importará cuán separadas estén cuando midamos el momento angular de la partícula 2; justo en el preciso instante en el que lo midamos (de manera tal que se decida y defina finalmente qué momento angular tiene), la partícula 3 se enterará instantáneamente de la medida que le hemos hecho a la partícula 2, de forma tal que la partícula 3 definirá su momento angular para valer justo lo opuesto que el de la partícula 2 (es decir, para que la suma de ambos momentos angulares sea exactamente cero). Esto es lo que en Física se llama una teoría no local, en el sentido de que la distancia entre cuantos ligados por leyes de conservación no es ningún problema a la hora de que las propiedades corpusculares de dichos cuantos se definan mutua e instantáneamente.

>> Una teoría local de la Mecánica Cuántica nos diría, por el contrario, que cuando las partículas son producidas por la desintegración ya tienen sus momentos angulares bien definidos por las variables ocultas, por lo que no hay manera de que Dios juegue a los dados con ellas. Así pues, si la hipótesis de las variables ocultas fuera cierta, el resultado de medir el momento angular de la partícula 2 sería el valor que ella ya tenía definido desde el principio, ocultamente. Por lo tanto, la partícula 3 ya no tendría por qué enterarse de lo que le hemos hecho a la 2, ya que su momento angular también estaría definido desde el principio, valiendo justo lo contrario que el de la partícula 2. Fijaos que, según esto, la hipótesis de la componente esencialmente aleatoria y la hipótesis de las variables ocultas se diferencian en algo mucho más importante y sutil que la posibilidad de que a Dios le guste o no jugar a los dados; la componente esencialmente aleatoria nos está diciendo que la Mecánica Cuántica es una teoría no local, mientras que las variables ocultas nos están diciendo justo lo contrario... Bueno, siendo sincero, también hay rebuscadas teorías de variables ocultas que son no locales (como la interpretación de Bohm), pero necesitan de un montón de suposiciones extra, al margen de la pura interpretación de Copenhague. Buena parte de los Físicos coincidimos en que, aplicando el criterio de la navaja de Occam, las variables ocultas no locales no son la teoría a seguir.

—Pero, señor Alberto —interrumpió Nicolás -, si nada puede moverse más rápido que la luz, ¿cómo es posible que una partícula se entere instantáneamente de que le hemos medido el momento angular a su compañera, sin importar para nada la distancia que las separa? ¡Eso sería como decir que las partículas pueden sentir lo que les hacemos a sus compañeras de manera instantánea. La información de que hemos realizado una medida se trasladaría entonces entre las partículas a una velocidad mucho mayor que la de la luz!... De hecho... ¡a una velocidad infinita!

—Como tú bien dices, Nicolás, la Teoría de la Relatividad Especial nos dice que es imposible transmitir cualquier información a velocidades superiores a la de la luz. De lo contrario, caeríamos en paradojas insalvables. No obstante, fíjate que nosotros no podemos extraer ninguna información del hecho de que los cuantos definan mutuamente las propiedades de sus partículas asociadas. Nosotros no podemos ver colapsar a la parte ondulatoria de un cuanto, sino que tan sólo podemos medir las propiedades de su parte corpuscular. Desde este punto de vista, nos es imposible saber durante una medida si un cuanto ya tiene definida o no la propiedad que estamos midiendo, por lo que nos es imposible extraer información alguna del hecho de que ambas partículas estén (o no) ligadas de manera no local. Según esto, no se violan en ningún momento los postulados de la Relatividad, ya que de ninguna forma podemos ayudarnos de la relación no local entre los cuantos para transmitir información a velocidades superiores a la de la luz. No obstante, la no localidad de la Física Cuántica sí nos puede permitir hacer cosas fabulosas con los cuantos, como teletransportarlos. Pero volvamos al tema que nos ocupa.

>> La manera en la que se puede discernir si la Mecánica Cuántica es una teoría local, o no, está en un experimento relativamente sencillo de interpretar (pero extraordinariamente difícil de realizar), cuyas conclusiones corroboraron que la hipótesis de la componente esencialmente aleatoria (y, con ella, la imagen no local de la Mecánica Cuántica) es la opción correcta, en detrimento de la hipótesis de las variables ocultas.

Los muchachos no podían salir de su asombro. ¿Cómo podía una partícula sentir que habían medido el momento angular de su compañera? ¡Y sin importar para nada la distancia entre ambas! ¡Una podría estar en la Tierra y la otra en la Luna, o incluso en galaxias distintas, y la conclusión sería exactamente la misma!

—El momento angular es lo que llamamos una magnitud vectorial —continuó el tío Alberto -. Esto significa que no viene dado exclusivamente por un número (como le ocurre a la energía), sino por un número y una dirección en el espacio o, equivalentemente, por tres números distintos totalmente independientes (un número por cada dimensión del espacio). Si la hipótesis de las variables ocultas fuese verdadera, la componente del momento angular de la partícula 2 en una cierta dirección del espacio no tendría, en principio, nada que ver con la componente del momento angular de la partícula 3 en otra dirección distinta. Si bien el momento angular de una de las partículas ha de ser opuesto al de la otra, eso sólo liga a las componentes del momento angular medidos en una misma dirección del espacio, pero no en direcciones distintas. Tened en cuenta que los tres números que definen un momento angular (un número por cada dimensión del espacio) son totalmente independientes.

>> La interpretación no local de la Mecánica Cuántica, en cambio, predice que la medida del momento angular en cierta dirección para la partícula 2 podrá afectar al momento angular de la partícula 3 incluso en direcciones distintas a aquella en la que se hizo la medida de la partícula 2. Haciendo entonces una selección cuidadosa de las tres distintas direcciones en las que vamos a medir los momentos angulares de las partículas 2 y 3 (llamémoslas direcciones X, Y, Z), podremos ver si la medida del momento angular de la partícula 2 en la dirección X afectará realmente a la medida del momento angular de partícula 3 en la dirección Y ó en la Z. Si no la afecta lo más mínimo, la Mecánica Cuántica deberá ser una teoría local y Dios no jugará a los dados.

>> La manera en que Bell ideó sus experimentos fue suponer dos haces de partículas con momento angular opuesto (como las partículas 2 y 3 de mi dibujo). Entonces, supuso que las medidas del momento angular de las distintas partículas, tomadas en direcciones diferentes, iban a ser independientes (es decir, supuso que Einstein y compañía tenían razón y que la Mecánica Cuántica debía ser una teoría local). A partir de esa suposición, calculó toda una serie de relaciones entre el número de partículas con un momento angular determinado en una dirección dada y el número de partículas con otros momentos angulares en otras direcciones. Estas relaciones vienen dadas en forma de desigualdades, que reciben el nombre de desigualdades de Bell. A vosotros os serían muy difíciles de interpretar a primera vista si os escribiese algunas de ellas, aunque sabiendo un poco de estadística no son demasiado complicadas de demostrar y visualizar.

>> Para gran sorpresa de los defensores de la hipótesis de las variables ocultas, ninguna de las desigualdades de dedujo Bell jamás se ha cumplido experimentalmente... Y desde que Bell publicó sus cálculos, ha habido un montón de experimentos para ponerlos a prueba. Puesto que las desigualdades de Bell se calcularon suponiendo que las medidas de momentos angulares en direcciones distintas entre una partícula y su compañera debían ser independientes (con lo que la Mecánica Cuántica debía ser una teoría local), la conclusión a la que se llega al comprobar que ninguna de estas desigualdades se cumple es que la Mecánica Cuántica debe ser una teoría no local. Con esto queda demostrado que los procesos de medida de los momentos angulares de las partículas 2 y 3 sí se afectan mutuamente, incluso midiendo los momentos angulares en direcciones distintas. ¡Y esto ocurre sin importar la distancia que separa a la partícula 2 de la partícula 3! Pero no sólo eso, ya que la no-localidad de la teoría es, como hemos visto, una evidencia arrolladora en favor de la componente esencialmente aleatoria de la Naturaleza. Consecuentemente, la violación de las desigualdades de Bell nos indica que los momentos angulares no están definidos hasta que se miden y que, por consiguiente, Dios sí juega a los dados.

Aquellas palabras habían dejado a los muchachos paralizados. Entonces, según les decía su tío, la Naturaleza realmente tenía una parte que no estaba regida por ninguna ley; una parte en la que no había relación alguna entre una causa y su efecto. Había realmente una cara de la Naturaleza que se escapa a nuestra comprensión, entrando en un potente conflicto con los cimientos básicos de nuestra lógica. Tras llenarse la taza de café y beber un sorbo, el tío Alberto continuó.

—Son muchas las cosas fantásticas relacionadas con la no-localidad de la Mecánica Cuántica que los físicos han ido estudiando con el paso de los años, como son el teletransporte cuántico o la Física de los condensados de Bose-Einstein, entre otras. Lamentablemente, creo que no tendremos tiempo de hablar de todas ellas.

—Bueno, chicos, ¡creo que ya va siendo hora de recoger! —dijo Diana casi cantando mientras ella y Xelo se levantaban de la mesa -. El tío Alberto ha quedado esta tarde con mi marido para charlar de cosas suyas. De manera que ya sabéis. ¡Todos a hacer los deberes! ¡Vosotros, Carlos y Nicolás, seguro que también tenéis mucho que hacer!

Después de algunos lamentos, los muchachos acabaron levantándose de la mesa. El tío Alberto recogió el bolígrafo y la libretita y, tras mirar su reloj de muñeca, se despidió de todos los presentes y se fue con algo de prisa al encuentro con Iván.

21. Las simetrías de la Física

Aquella era la última tarde de café con el tío Alberto. Todos estaban entristecidos por la inminente partida del que tanto les había entretenido aquellos días, estimulando su imaginación y asombrándolos continuamente.

Pero no les asombraba con cuentos de hadas, sino describiéndoles la realidad misma. Al tío Alberto le gustaba hablar de la Física como “el arte de extraer conclusiones preguntándole directamente a la Naturaleza a través del experimento, y no a nuestra imaginación a través de cuentos y leyendas”. Y los muchachos habían ido comprobando durante aquellos días que la realidad podía llegar a ser mucho más impresionante que la ciencia-ficción, los cuentos y las leyendas.

Xelo llegó exhausta de la clase de natación de los sábados. Nada más entrar en la casa pidió a su madre un vaso de zumo de naranja para aliviar el cansancio, entrando después a la salita de estar al encuentro con su tío, Carlos, Nicolás y Óscar. La bandeja con el café y las pastitas ya estaba servida, y pudo ver que los tertulianos ya habían comido parte de las pastitas y bebido algo de café. Al parecer, justo al llegar ella habían acabado de hablar de uno de aquellos temas tan poco cotidianos, a juzgar por las caras de asombro de Óscar y compañía.

—Bueno, chicos, zanjada esta cuestión, ¿de qué queréis que hablemos ahora? —preguntó el tío Alberto, recién sentada Xelo, observando a todos los presentes con una sola mirada -.

—Tío Alberto, —dijo Óscar —cuando ayer nos hablaste del experimento de las desigualdades de Bell, dijiste que el momento angular era algo que se conservaba.

—En efecto, Óscar.

—Pero, ¿por qué hay cosas que se conservan en Física? Hace un par de semanas, estudiamos la conservación de la energía en el instituto y le pregunté al profesor por qué la energía se conserva. La respuesta que me dio fue que eso de la conservación de la energía es un principio. ¿Significa eso que no sabemos por qué se conserva (o que no se puede demostrar) y, por lo tanto, nos lo creemos y ya está? A mi, desde luego, esa respuesta no me satisface. Y si ahora nos dices que, además de la energía, hay otras muchas cosas que se conservan por principios, me satisface menos aún.

—La respuesta que te dio tu profesor puede ser más o menos satisfactoria, pero si no te conformas con ella voy a tratar de darte una más completa. En Física hay un montón de magnitudes que se conservan. Algunas lo hacen siempre y otras sólo bajo ciertas condiciones. Cierto es que aceptar como principio la conservación de todas ellas es excesivo. Pero dejadme, antes de adentrarnos en el tema del por qué, que haga un poquito de hincapié en el qué.

>> Las magnitudes más conocidas que se conservan en Mecánica son la energía (como ya sabéis), así como el momento lineal y el momento angular. Del momento lineal ya os hablé, de pasada, cuando discutíamos acerca de si la masa varía o no con la velocidad. Como recordaréis, el momento lineal es igual a la masa de un cuerpo multiplicada por su velocidad (para ser rigurosos, esta definición es válida sólo para las partículas con masa y a bajas velocidades). Por consiguiente, si en un momento dado medimos las masas y las velocidades de todas las partículas de un sistema aislado (es decir, un sistema que no interactúa con nada externo), la suma de todas las multiplicaciones de las masas por las velocidades (una multiplicación por cada partícula del sistema) es una cantidad que se conserva, es decir, que no cambia a medida que el sistema evoluciona.

>> Del mismo modo, tenemos el momento angular, que está relacionado con el giro de los objetos respecto a algún eje. Más o menos (tampoco os voy a dar la definición rigurosa, que no viene al caso) el momento angular está relacionado con el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad angular (es decir, el ángulo girado por unidad de tiempo) y por la distancia que lo separa del eje de rotación, elevada al cuadrado. Así pues, cada uno de los planetas de nuestro Sistema Solar, por poner un ejemplo, tiene un momento angular respecto al Sol. Dicho momento angular se conserva, o sea, que no cambia con el tiempo. Por consiguiente, cuando los planetas se acercan un poquito al Sol (debido a que sus órbitas no son exactamente circulares), entonces su velocidad angular debe aumentar, de suerte que el momento angular permanezca constante. Por supuesto, cada planeta también rota respecto a su propio eje, como le sucede a la Tierra, por lo que cada una de las partículas que forman los planetas también tiene su momento angular, referido al eje de rotación de cada planeta.

>> Permitidme ahora un pequeño paréntesis para comentaros algo muy curioso respecto al momento angular. En Física Cuántica, las partículas también pueden tener sus momentos angulares, sean referidos a otras partículas (como los electrones en sus orbitales alrededor del núcleo atómico) o referidos incluso a sí mismas. Lo chocante del caso es que hay partículas elementales, es decir, sin estructura (al menos hasta donde predicen nuestros modelos actuales), que también tienen momentos angulares referidos a sí mismas. Un ejemplo típico de esto son los electrones. Eso es como decir que un punto matemático puede girar respecto a sí mismo, lo cual no tiene ningún sentido.

Se oyó abrirse la puerta de la entrada de la casa. El inconfundible silbido de Iván inundó la escena. “¡Ya estoy en casa!” dijo con tono melodioso. Poco después abrió la puerta de la salita y saludo a todos los tertulianos. Un segundo más tarde, Diana le pidió a Iván que la ayudara a preparar la cena. Todos dejaron escapar algunas carcajadas al ver la cara del pobre de Iván, al que seguramente le habría encantado unirse a la tertulia. El tío Alberto tomó un sorbo de café y, tras suspirar un poco por el cansancio, siguió con su exposición.

>> Además, en el caso de que estuviésemos equivocados y los electrones sí tuviesen estructura, sería imposible que una bolita con un radio tan ínfimo como debería tener el electrón pudiese generar un momento angular tan grande como el observado. Para ello, la superficie de esa bolita debería girar a varias veces la velocidad de la luz en el vacío. Con esto en mente, si el momento angular del electrón no está generado por ninguna rotación, ¿de dónde viene el momento angular del electrón? —durante unos segundos se hizo el silencio. El tío Alberto continuó -.

—Además, ese momento angular es algo muy especial, ya que con la ayuda de una buena dosis de Matemáticas podemos llegar a la conclusión de que, para un electrón, una vuelta completa en el espacio no son 360 grados, sino 720. ¡Atención, porque esto es muy fuerte!

>> Si ahora cogiese mi bolígrafo, lo pusiese sobre la mesa en cualquier dirección y os pidiese que cerraseis los ojos durante unos segundos, ¿seríais capaces, cuando volvierais a abrir los ojos, de averiguar si le he dado al bolígrafo una vuelta de 360 grados, dejándolo en la misma posición en la que estaba al principio?

—No —respondió Óscar -. Cuando le das al boli una vuelta de 360 grados vuelves a dejarlo igual que estaba antes, por lo que no hay forma de saber si lo has girado o no.

—¡Pues te equivocas, Óscar! ¡Si giro el bolígrafo 360 grados, los electrones que hay en él no se habrán quedado igual que como estaban! ¡Necesitaría darle una vuelta más al bolígrafo para que los electrones realmente completasen su vuelta { i entera}, ya que para ellos una vuelta entera es de 720 grados! De igual manera, si dejáramos ahora el bolígrafo quieto y fueseis vosotros los que dierais una vuelta de 360 grados, tampoco veríais a los electrones del bolígrafo iguales que antes de giraros! ¡Vosotros necesitaríais dar también dos vueltas para poder ver al bolígrafo realmente en el mismo estado en el que lo observabais antes de girar. Esto último se debe a que dejar el boli quieto y girar vosotros es, visto por vosotros, como si fuese el boli el que gira a vuestro alrededor. Para el caso de los electrones (y también de otras partículas con momentos angulares y magnéticos similares), una vuelta entera no es una de 360 grados, sino del doble... ¡Y todo esto que os estoy contando se puede ver experimentalmente!

>> Bueno, cerrando este corto paréntesis sobre momentos angulares en Física Cuántica, cuyo contenido espero que os haya gustado, volvamos al tema de la conservación de esas magnitudes físicas que son la energía y los momentos (lineal y angular). Hasta principios del siglo XX, la conservación de esas magnitudes se asumía, en efecto, como principio (si bien en algunos libros se enunciaban como leyes, que es algo sutilmente distinto). No obstante, una inteligentísima matemática alemana, llamada Emmy Noether, enunció en 1918 un teorema que retumbaría en los pilares de la Física Teórica. El mismo Einstein se deshizo en halagos hacia Noether por aquel resultado tan espectacular. Os estoy hablando del importantísimo Teorema de Noether.

Los muchachos se miraron unos a otros de reojo, como diciéndose con la mirada que debían retener aquel nombre en la memoria. El tío Alberto iba, seguramente, a explicarles algo realmente importante.

—El Teorema de Noether es algo que no os puedo explicar en toda su gloria. Es un resultado que no podéis comprender bien sin tener claros algunos conceptos clave de la Mecánica. No obstante, sí os puedo hablar de sus consecuencias más directas en el tema que nos ocupa. El Teorema de Noether permite explicar la conservación de la energía y de los momentos (lineal y angular) de una forma preciosa. Este teorema nos dice que si las leyes de la Física guardan algún tipo de simetría continua, entonces, por necesidad, hay unas magnitudes físicas que deben conservarse. Además, este teorema nos permite averiguar cuáles son esas magnitudes.

>> Seguramente os estaréis preguntando qué es una simetría continua. Restringiéndonos al caso que nos ocupa, las leyes de la Física muestran tres simetrías continuas:

* Primero tenemos la simetría a las traslaciones espaciales. Eso significa que las leyes de la Física no dependen del lugar donde nos encontremos. La Naturaleza se comporta de la misma forma aquí que en otro planeta situado en otra galaxia.

* También tenemos la simetría a las rotaciones. Eso significa que las leyes de la Física no dependen de nuestra orientación en el espacio. Son las mismas en España que en Australia.

* Finalmente tenemos la simetría a las traslaciones temporales. Eso significa que la Física no depende del tiempo. Lo mismo da hacer un experimento hoy que mañana; las leyes de la Física no habrán cambiado.

>> El Teorema de Noether nos dice que si las leyes de la Física son simétricas respecto a las traslaciones espaciales, entonces el momento lineal se conservará; si son simétricas respecto a las rotaciones, entonces el momento angular se conservará; finalmente, si son simétricas a las traslaciones temporales, entonces la energía se conservará. Estas implicaciones son totalmente matemáticas. De hecho, en virtud del Teorema de Noether, hablar de la conservación de la energía y de los momentos (lineal y angular) es totalmente equivalente a hablar de las simetrías de la Física a las traslaciones (espaciales y temporales) y a las rotaciones.

>> Puesto que el Universo es homogéneo e isótropo (como ya vimos hace unos días cuando hablamos de Cosmología), es obvio que las leyes que lo rigen deben ser simétricas a las rotaciones y a las traslaciones espaciales; básicamente, el Universo tiene, grosso modo, el mismo aspecto en todas direcciones y desde cualquier lugar desde donde lo observemos. Por lo tanto, la conservación de los momentos (lineal y angular) es una necesidad matemática (más que un principio) impuesta por el Teorema de Noether. Si además suponemos que las leyes que gobiernan el Universo no dependen del tiempo (y que, por consiguiente, las constantes de la Naturaleza, como la constante de Planck o la velocidad de la luz, son de hecho constantes), entonces la conservación de la energía es también otra necesidad matemática.

—¡Vaya, eso es realmente increíble! —exclamó Nicolás, con la boca bien abierta -. ¡Entonces la energía se conserva, porque las leyes de la Naturaleza no cambian con el tiempo!

—En efecto. El Teorema de Noether puede usarse para deducir la conservación de un montón de magnitudes más, en virtud de las simetrías que nos muestran las leyes de la Física. Por ejemplo, tenemos la conservación de la carga eléctrica, o incluso del sabor de los quarks cuando interactúan fuertemente —los muchachos fruncieron el ceño, casi sincronizados, al oír aquello de los quarks -. Todas estas son magnitudes que se conservan, y cuya conservación puede ser demostrada gracias al Teorema de Noether. Más aún, si las simetrías se rompen, entonces las magnitudes correspondientes dejan de conservarse. Eso ocurre, de hecho, con el sabor de los quarks cuando interactúan débilmente, pero no quiero ahora desviar la conversación hacia ese terreno.

>> Estos resultados del Teorema de Noether, restringiéndonos a las simetrías continuas de las que os he hablado (traslaciones espaciales, temporales y rotaciones), pueden ir mucho más allá de unas meras leyes de conservación si los exprimimos debidamente —el tío se reclinó sobre el respaldo de la silla y entrecruzó los dedos de las manos -. Prestad atención: las magnitudes conservadas guardan una relación íntima con las simetrías que las engendran. De hecho, la traslación a través de la simetría en cuestión está relacionada con que el cuerpo posea, o no, la magnitud conservada correspondiente. Me explico con un ejemplo: si un cuerpo se está trasladando por el espacio, es porque tiene un momento lineal distinto de cero (o sea, porque tiene una velocidad); además, si un cuerpo tiene un momento lineal (o sea, una velocidad) es porque, necesariamente, debe estar desplazándose por el espacio. Así pues, el momento lineal (que es la magnitud que se conserva cuando hay simetría a las traslaciones espaciales) es precisamente el que genera las traslaciones en el espacio.

—¡Guau, esto me gusta aún más que lo de antes! —exclamó Óscar, gritando, a lo que Xelo se sobresaltó, casi saltando de su silla -. ¡Entonces, del mismo modo, los cuerpos que giran respecto a algún eje lo hacen debido a que tienen un momento angular, y viceversa!

—Correcto —respondió el tío, con una sonrisita que empezaba a dibujarse en sus labios.

—Y del mismo modo —continuó Nicolás -, los cuerpos que... —Nicolás paró de hablar súbitamente; a esto, la sonrisa del tío Alberto ya dejaba ver sus dientes.

22. Tiempo y energía

—Continúa, Nicolás —dijo el tío, muy sonriente. —Sigue con tu deducción.

—Pues... —siguió Nico, dubitativo —según lo que nos has dicho,... los cuerpos se trasladan a través del tiempo,... porque... ¿tienen energía?

—¡En efecto! —exclamó el tío Alberto, golpeando la mesa graciosamente con las palmas de ambas manos -. ¡La energía es el generador de las traslaciones temporales! Si sacamos esta frase del contexto de la Teoría de Grupos (algo que ahora no viene a cuento) y la interpretamos de un modo que a ojos de algunos teóricos es un tanto atrevido, un cuerpo avanza en el tiempo en tanto en cuanto tiene energía. Por consiguiente, si un cuerpo, por alguna razón, perdiese toda su energía, dejaría de avanzar en el tiempo. Visto desde nuestros ojos, ese cuerpo desaparecería; dejaría de existir.

>> Fijaos que podemos entender la desaparición de un cuerpo (o su completa desintegración) como la detención de ese cuerpo en el tiempo: que algo haya desaparecido, o dejado de existir, significa que ese algo se ha quedado anclado en un momento del pasado. Como nosotros estamos viajando continuamente hacia el futuro, cuando un objeto deja de desplazarse en el tiempo junto a nosotros (quedando, por lo tanto, anclado en el pasado) para nosotros es como si hubiera desaparecido. Es decir, como si toda su energía se hubiese esfumado. Así pues, cuando un cuerpo pierde toda su energía (recordad la famosa ecuación de Einstein, E=mc², y la interpretación que le dimos en su momento) queda entonces anclado en el pasado, lo que a nuestros ojos es equivalente a desaparecer. En cuanto a la viceversa, un ente que albergue energía debe estar avanzando en el tiempo. No hay forma de que eso no sea así. De hecho, tened en cuenta que todo aquello con lo que podéis interactuar (o sea, todo aquello que persiste en el tiempo) siempre tiene una energía asociada. Siempre.

Los muchachos tenían los ojos muy abiertos, casi tanto como sus bocas. El tío Alberto, que disfrutaba enormemente al ver el efecto de sus palabras sobre los oyentes, continuó hablando lentamente para que sus palabras pudieran ser mejor saboreadas por los muchachos.

—Vamos a tratar de llevar estas simetrías un poquito más allá. Fijaos que si un cuerpo invierte el signo de su momento lineal (o sea, invierte el signo de su velocidad), entonces empieza a desplazarse por el espacio en sentido opuesto. Lo mismo le pasa al momento angular; si cambiamos el signo de la velocidad angular, entonces el cuerpo en cuestión empieza a girar en sentido opuesto.

Los muchachos se acercaron más, si cabía, a la mesa, a la espera impaciente de que el tío Alberto completara su deducción metiendo a la tercera simetría de por medio: el tiempo.

—Siguiendo con la misma tónica, si invirtiéramos el signo de la energía, entonces el cuerpo en cuestión cambiaría el sentido de su desplazamiento a través del tiempo. Es decir, empezaría a viajar hacia el pasado.

—¡Entonces —interrumpió de nuevo Óscar con un grito -, si fuéramos capaces de cambiar el signo de la energía de nuestros cuerpos, podríamos viajar en el tiempo hacia el pasado!

—Tu deducción es correcta, pero eso de cambiar el signo de la energía para viajar hacia el pasado es algo que no puede hacerse. Al menos, a nivel macroscópico. En Física Cuántica, en cambio, sí es posible que haya cosas que viajen hacia el pasado, como ahora os voy a explicar.

>> Según el Modelo Estándar de las partículas elementales, toda partícula (salvo los fotones) tiene su respectiva antipartícula. Las antipartículas forman lo que se conoce como antimateria. El concepto de antimateria es bastante complejo, y procuraré no liaros demasiado con ello. Baste decir, para el tema que nos ocupa, que según la Teoría Cuántica de Campos una partícula que se desplaza en el tiempo hacia el futuro es equivalente a una antipartícula que se está desplazando hacia el pasado.

—¿Cómo que equivalente? —interrumpió Carlos -. ¿Qué ha querido decir con eso?

—Veréis. Cuando queremos combinar la Física Cuántica con la Física Relativista (algo que se hace en el marco de la Teoría Cuántica de Campos), uno de los resultados a los que se llega es particularmente interesante. Si dejáramos a un cuanto evolucionar libremente en el espacio, podría darse la posibilidad de que la parte corpuscular de dicho cuanto se desplazase más rápido que la luz en el vacío. Es decir, que cuando pretendiéramos medir la posición de la partícula asociada a ese cuanto, se diese el caso de que la partícula apareciese a distancias muy superiores a aquellas a las que podría haber llegado un rayo de luz partiendo de la misma posición inicial que el cuanto. Esto, como ya vimos hace unos días, violaría el Principio de Causalidad.

>> La forma de solucionar esta paradoja es sencilla, a la vez que muy hermosa. Si a la ecuación que gobierna la evolución de ese cuanto le añadimos una componente extra, correspondiente a una antipartícula desplazándose hacia el pasado, entonces la probabilidad de detectar la suma de esas dos cosas (es decir, partícula yendo hacia el futuro más antipartícula yendo hacia el pasado) se anula para distancias mayores que aquellas que violan el Principio de Causalidad. Dicho de otro modo, para que el Principio de Causalidad no se viole, una partícula viajando hacia el futuro debe tener siempre asociada una antipartícula que esté viajando hacia el pasado. O mejor dicho (y siempre tratando de luchar contra nuestro lenguaje ordinario, que no es muy apto para hablar de Física Cuántica) una partícula desplazándose hacia el futuro debe ser totalmente equivalente (a ojos de la Naturaleza) a una antipartícula viajando hacia el pasado. Creo que una buena forma de que se entienda esto en toda su gloria es poneros un ejemplo sencillo donde se muestre esta equivalencia.

>> En la Teoría Cuántica de Campos hay una herramienta gráfica muy potente con la que pueden simplificarse los cálculos relativos a algunos procesos físicos. Es lo que llamamos diagramas de Feynman, en honor al genial físico americano Richard Feynman, que fue quien los inventó. Cada uno de estos diagramas describe una componente del desarrollo perturbativo en el cálculo de una interacción. Por supuesto, no os voy a marear ahora con el significado riguroso de estos diagramas; me limitaré a ir al grano en lo que nos interesa.

El tío Alberto empezó a trazar unas líneas en una servilleta. Los muchachos y Xelo se inclinaron para ver mejor aquellos garabatos. El tío Alberto continuó su disertación mientras acababa de dibujar aquello.

—Esto que veis aquí es uno de los diagramas de Feynman más conocidos. Describe la desintegración de un electrón contra un positrón. Los positrones son las antipartículas de los electrones. Cuando una partícula se encuentra con su antipartícula, ambas desaparecen emitiendo un fotón. El tiempo en este diagrama va de izquierda a derecha. Como veis, interpretar el diagrama no es demasiado complicado (desde luego, no es tan complicado como los cálculos que lleva involucrados).

FIGURA 23 Diagrama de Feynman que representa la desintegración de un electrón (denotado como e⁻) contra un positrón (denotado como e⁺) para dar un fotón (denotado como γ). El tiempo transcurre de izquierda a derecha.

>> A medida que transcurre el tiempo (es decir, a medida que nos vamos desplazando hacia la derecha en el diagrama), el electrón y el positrón se van acercando. Llega un momento en el que se encuentran y, después, desaparecen produciendo el fotón —mientras decía esto, el tío Alberto iba desplazando su dedo índice sobre el diagrama, en el sentido del tiempo -.

>> Prestadme ahora mucha atención, porque lo que os voy a contar es muy muy muy sutil. Si una partícula que va hacia el futuro es equivalente a una antipartícula que lo hace hacia el pasado, la inversa también es cierta. O sea, que una antipartícula desplazándose hacia el futuro es equivalente a una partícula desplazándose hacia el pasado. Esto nos permite interpretar este diagrama de Feynman de una forma muy especial. Imaginad que el electrón va avanzando felizmente en el tiempo —decía el tío mientras su dedo seguía, de izquierda a derecha, la línea correspondiente al electrón -. De repente, interactúa (o choca) contra un fotón que se desplaza hacia el pasado (a decir verdad, como un fotón es igual a su propia antipartícula, tanto da imaginárnoslo en el diagrama de Feynman hacia el futuro como hacia el pasado; de hecho, ni una cosa ni la otra tiene realmente sentido). Como resultado de esa interacción contra el fotón, el electrón rebota en el tiempo y empieza a viajar hacia el pasado —mientras decía esto, el dedo del tío Alberto empezaba a seguir la línea del positrón, pero de derecha a izquierda -.

>> Como nosotros (los observadores) nos estamos moviendo siempre hacia el futuro, esta interacción del electrón contra el fotón para rebotar en el tiempo y convertirse en positrón, la vemos como la interacción de un electrón contra un positrón para dar un fotón. En ese caso, el positrón que va viajando hacia el futuro sería, “realmente” —dijo, mientras con los dedos índice y corazón de sus manos describía mímicamente unas comillas -, el electrón original, que rebotó en el tiempo y empezó a viajar hacia el pasado.

Acto seguido, el tío dio un giro de 180 grados a la servilleta donde había trazado aquel diagrama de Feynman.

—Los diagramas de Feynman son simétricos respecto a la inversión temporal. Eso significa que si invertimos la flecha del tiempo, el proceso resultante también se da en la Naturaleza. En este caso, tenemos un fotón que acaba convirtiéndose en un electrón y un positrón. En Física de Partículas, a este proceso lo llamamos producción de pares de partícula y antipartícula. Fijaos que lo mismo que hemos hecho antes con el diagrama lo podríamos repetir ahora. Tendríamos, por consiguiente, un electrón viajando tranquilamente hacia el pasado (lo que para nosotros sería un positrón viajando hacia el futuro) que, de repente, interacciona con un fotón que va hacia el futuro. Como resultado de esa interacción, el electrón rebota en el tiempo y empieza a desplazarse hacia el futuro. Tras ese rebote, acabamos por ver al electrón como lo que es, un electrón, ya que se desplaza en el mismo sentido del tiempo que nosotros.

>> Fijaos en la enorme belleza que hay detrás de estas interpretaciones de los diagramas de Feynman. La materia y la antimateria pueden entenderse como una misma cosa, pero desplazándose en sentidos opuestos en el tiempo. ¡¿No es maravilloso?!

23. La energía no se conserva

—¡Vaya! Nunca me había imaginado que detrás de la conservación de la energía podían esconderse cosas tan increíbles! —dijo Carlos para sí mismo, casi en voz baja -.

El tío Alberto miró su taza de café con los ojos entrecerrados, mientras golpeaba rítmicamente la mesa con los dedos de la mano izquierda. Empezó a sonreír. Durante aquellos segundos, estaba planteándose si debía complicar un poquito más aquel tema o pasar página. Finalmente, optó por enrevesar un poquito más aquella discusión.

—Pues creo que os vais a quedar de piedra cuando os diga, después de toda esta conversación que hemos tenido, que la energía, de hecho, no se conserva.

Los muchachos no supieron qué cara poner. ¿Acaso pretendía gastarles una broma para añadir un poco de humor a la tarde?

—¡Ahora si que nos ha dejado fuera de combate! —exclamó Carlos, rompiendo unos segundos de silencio que les habían parecido eternos a los chicos -.

—Veréis. Ahora que conocéis cuál es la relación entre la conservación de ciertas magnitudes físicas y las simetrías de las leyes de la Naturaleza (esa es la esencia del Teorema de Noether), creo que puedo explicaros una sutileza relativa a la energía que sólo los físicos teóricos y los cosmólogos suelen conocer. Como ya os he dicho, el Teorema de Noether nos asegura que si hay simetría a las traslaciones temporales, entonces hay algo que se conserva, y ese algo se llama energía. Pues bien. Para que tengamos una simetría total a las traslaciones temporales, no sólo las leyes que rigen la evolución de los sistemas físicos en el Universo deben ser simétricas. Hay algo más que debe ser también simétrico. Me estoy refiriendo al marco en el que esos sistemas físicos evolucionan, es decir, el espacio-tiempo.

>> Los espacio-tiempos de FLRW (que, como recordaréis, son los que cumplen la condición de homogeneidad e isotropía en el espacio, por lo que nuestro Universo debe corresponderse con uno de ellos) no son simétricos en la dirección del tiempo. Esto es obvio, ya que el espacio en nuestro Universo se está estirando continuamente y, por lo tanto, no permanece igual a medida que transcurre el tiempo. Por lo tanto, la evolución de todo lo que llena el Universo no se rige realmente por leyes simétricas a las traslaciones temporales; no por las leyes en sí, sino porque tales leyes se aplican en un espacio dinámico; un espacio que está evolucionando.

>> La energía se conserva si tanto las leyes de la Física como el espacio en el que evolucionan los cuerpos son simétricos a las traslaciones temporales. Como una de las dos cosas falla, entonces la energía, por necesidad, no puede conservarse. En la Relatividad General es muy difícil definir un principio de conservación de la energía cuando el espacio-tiempo es dinámico. Sólo en los casos en los que puedan definirse sistemas de coordenadas cuyos tiempos sean ejes de simetría del espacio-tiempo, podremos definir una cantidad conservada que llamaremos energía. Como en los espacio-tiempos de FLRW no existen tales direcciones temporales, no podemos usar ninguna simetría que nos ayude a definir una energía que se conserve.

>> De hecho, la no-conservación de la energía puede entenderse muy fácilmente en nuestro Universo, por muy raro que esto os parezca —los muchachos no sabían si mostrar asombro o incredulidad en sus rostros -. Volvamos a la Ley de Hubble. Como recordaréis, esa ley relaciona el corrimiento al rojo de la luz de las galaxias con la distancia que las separa de nosotros. Como ya os dije en su momento, ese corrimiento no se debe realmente al efecto Doppler, sino al estiramiento del espacio. El efecto de que la luz que recibimos de las galaxias tenga una longitud de onda más larga que cuando fue emitida tiene que ver con el hecho de que el espacio (o sea, las reglas de medir longitudes) se alargó durante el camino que la luz recorrió hacia nuestros telescopios.

>> El estiramiento del espacio alarga las ondas de los rayos de luz que en él se propagan. Esto se traduce, obviamente, en un aumento de la longitud de onda de la luz y, por consiguiente, en una disminución de su frecuencia. Os estaréis preguntando qué tiene que ver esto con la no conservación de la energía. Pues bien, como la energía que almacena una onda es proporcional a su frecuencia, la conclusión que se extrae de la ley de Hubble es inmediata y contundente: el estiramiento del espacio hace disminuir la energía de los rayos de luz. Y esta conclusión se aplica a todos los rayos de luz (es decir, a todos los fotones) que se propagan por el espacio. Así pues, todos los campos electromagnéticos que llenan el Universo están perdiendo energía continuamente debido a la expansión del espacio.

—Pero, ¿dónde va a parar toda esa energía? —preguntó Nicolás -. ¿Acaso la está absorbiendo el espacio al estirarse, o algo así?

—Esa energía que pierden los fotones no va, en principio, a ninguna parte. Sencillamente desaparece. En un espacio-tiempo dinámico, la energía no tiene por qué conservarse. Esto significa que la energía que se esfuma del Universo no tiene por qué ir a ningún otro sitio, de suerte que realmente se esté conservando. Lo que ocurre es que no se conserva; y ya está.

>> No obstante, el ritmo al que está desapareciendo la energía en el Universo es muy muy pequeño. Imperceptible a la escala de tiempos de nuestras vidas o, incluso, de nuestra civilización. Para apreciar la desaparición de la energía de los fotones tenemos que irnos a escalas de tiempo cósmicas; a tiempos extraordinariamente largos. Por ejemplo, para que la energía de un fotón que se emita hoy mismo disminuya sólo en un 1%, deberían pasaaaar... —el tío Alberto sacó de su bolsillo la calculadora que utilizó días antes para calcular aquel numerito relacionado con las transformaciones de Lorentz. Tras unos segundos, bastante menos que los que necesitó para hacer aquel primer cálculo, terminó la frase —... unos 225 millones de años.

>> Imaginad. Deben pasar nada menos que 225 millones de años para que la energía de toda la radiación que hoy puebla el Universo disminuya sólo un 1%. Y ni qué decir tiene que la energía de todos los fotones del Universo es sólo una pequeñísima parte de la energía total. De hecho, la energía de los fotones es completamente despreciable frente a la energía almacenada en toda la materia del Universo. Por lo tanto, considerar que la energía se conserva es una (muy) excelente aproximación.

Tras una breve pausa, el tío Alberto bebió un trago más de café y sonrió nuevamente.

—Esto que os acabo de contar —continuó —atañe al mundo de lo muy grande; al Universo visto como un todo. No obstante, en el mundo de lo muy pequeño (el mundo donde gobierna la Mecánica Cuántica) también podemos encontrar situaciones en las que la energía no se conserve. La no-conservación de la energía en el mundo de lo muy pequeño ya no se debe a que se viole, o no, la simetría a las traslaciones temporales, tal y como ocurre en Cosmología. En el mundo de la Cuántica, la conservación de la energía se viola debido a lo que conocemos como las relaciones de incertidumbre.

>> Las relaciones de incertidumbre son limitaciones de la Naturaleza a la hora de definir de forma simultanea ciertos pares de magnitudes. Me explico. Como seguramente os habrán mencionado en el instituto, hay un principio llamado el Principio de Incertidumbre de Heisenberg que nos dice que es imposible medir, simultáneamente y con una precisión arbitrariamente grande, la posición y el momento lineal de una partícula; cuanto mayor sea la precisión en nuestra medida de la posición, tanto menor deberá ser la precisión en la medida del momento lineal. Esta relación de incertidumbre no es meramente una limitación experimental (o sea, una limitación de nuestra tecnología a la hora de medir las posiciones y los momentos de las partículas asociadas a los cuantos), sino que es una limitación de la Naturaleza misma. Puede demostrarse matemáticamente que cuando la parte corpuscular de un cuanto tiene bien definida su posición, entonces, por necesidad, debe tener mal definido su momento lineal. O dicho de otra forma un poco más rigurosa, cuando la parte corpuscular de un cuanto está bien situada en el espacio, entonces su parte ondulatoria es igual a la superposición de un montón de ondas con distintos momentos lineales asociados. Y la viceversa también se cumple: cuando la parte corpuscular de un cuanto tiene bien definido su momento lineal, entonces la parte ondulatoria del cuanto está esparcida prácticamente por todo el espacio, por lo que la posición de la parte corpuscular no está bien definida. Como recordaréis de cuando hablábamos sobre la componente esencialmente aleatoria de la Naturaleza, la posición de la parte corpuscular de un cuanto que tiene su parte ondulatoria esparcida por el espacio no está mal definida debido a nuestras limitaciones tecnológicas (como ocurriría si la hipótesis de las variables ocultas fuese correcta), sino que, más bien, ni siquiera la Naturaleza sabe dónde se encuentra la partícula. La partícula está en todas partes y, al mismo tiempo, en ninguna. En resumen, las relaciones de incertidumbre son algo metido en la esencia de la Naturaleza; no en nuestras limitaciones tecnológicas a la hora de medir.

>> Las relaciones de incertidumbre no se limitan únicamente al momento lineal y a la posición, sino que se aplican también a otros pares de magnitudes. Curiosamente, si nos restringimos a las traslaciones a través del espacio y el tiempo, las magnitudes que están íntimamente relacionadas en virtud del Teorema de Noether en la Mecánica Clásica siguen estándolo en la Mecánica Cuántica, pero de forma distinta. Estas relaciones son, ahora, relaciones de incertidumbre. Así pues, hay una relación para la posición y el momento lineal (que es el enunciado original del principio de incertidumbre), pero también las hay para los ángulos y el momento angular, así como para la energía y el tiempo.

>> En el caso de los ángulos, cuando un cuanto tiene bien definido su momento angular respecto a algún eje (como puede ocurrir, por ejemplo, con los electrones en sus orbitales alrededor de los núcleos atómicos), su parte ondulatoria está simétricamente distribuida alrededor de ese eje, por lo que el ángulo en el que se encuentra la parte corpuscular del cuanto está absolutamente indefinido; el cuanto puede encontrarse en cualquier ángulo con la misma probabilidad.

>> Para la energía y el tiempo, la relación de incertidumbre nos dice, entre otras cosas, que si pretendemos medir la energía de una partícula durante un tiempo suficientemente corto, esa energía no estará bien definida. Dicho de otro modo, para medir una energía con mucha precisión, necesitamos medirla durante un tiempo largo; y más largo cuanta más precisión deseemos en nuestra medida de la energía. La moraleja de esto es que un cuanto que cambie rápidamente de un estado cuántico a otro podrá tener, durante un tiempo suficientemente corto, una energía arbitrariamente alta. Incluso del vacío mismo podría extraerse toda la energía que quisiéramos, siempre que esa energía existiese durante un tiempo muy corto. Eso es como si el vacío pudiese hacer préstamos de energía a los cuantos, con la condición de que esa energía le sea devuelta en un tiempo corto. Y más corto cuanta más energía se haya pedido prestada al vacío. Esa energía prestada puede ser tan alta, que incluso se produzcan pares de partícula y antipartícula, de acuerdo al diagrama de Feynman que os mostré antes. No obstante, todas esas partículas que están naciendo continuamente del vacío están condenadas a desaparecer poco después de su creación. Una máxima de la Teoría Cuántica de Campos es, de hecho, que “el vacío está muy lleno”; lleno de cuantos que se crean y se destruyen continuamente en virtud de las fluctuaciones cuánticas que sufre la energía del vacío.

>> Por consiguiente, en el mundo de los cuantos la conservación de la energía se viola para tiempos muy cortos. Es decir, la energía sólo se conserva cuando analizamos la evolución de los sistemas físicos durante tiempos suficientemente largos.

24. El electrón incierto

—Tengo una duda —interrumpió Nicolás, amante ferviente de las clases de Química en el instituto —respecto a lo que has comentado antes sobre la relación de incertidumbre entre el momento angular de un electrón y el ángulo en el que ese electrón se encuentra. Si no entendí mal, nos dijiste que cuando el momento angular está bien definido respecto a un eje, el electrón puede encontrarse en cualquier ángulo respecto a ese eje. O sea, que el orbital atómico de un electrón debería ser simétrico respecto al eje en el que midamos su momento angular... ¡Pues yo he visto bastantes figuras de orbitales atómicos en el libro de Química del instituto y no me parece que sean del todo simétricas respecto a ningún eje!

—Las figuras de los orbitales atómicos que has visto en tu libro de Química son un poco complicadas de interpretar, Nicolás. Cuando estudiáis los orbitales atómicos, los libros de Química os muestran esas peculiares figuras con extraños lóbulos que apuntan en distintas direcciones. El profesor suele entonces explicaros que lo que os muestran esas figuras es la distribución de la probabilidad de encontrar al electrón. Pero eso no es correcto.

>> La onda asociada a un cuanto es compleja, lo que significa que su valor en cada punto del espacio no viene caracterizado únicamente por una amplitud (como ocurre con las ondas escalares reales, como el sonido), sino por una amplitud y una fase. Las figuras de los libros de Química, que muestran esos pintorescos lóbulos en los orbitales atómicos, están relacionadas con la fase de la onda, pero no con la amplitud. En cambio, la probabilidad de encontrar a un electrón en un punto dado del espacio no está para nada relacionada con la fase de la onda, sino con su intensidad (esto es, con la amplitud al cuadrado). Si en lugar de la fase, representarais la intensidad de la onda del electrón alrededor del núcleo atómico, veríais que siempre, para todos los orbitales, hay una simetría perfecta alrededor del eje en el que se mide el momento angular. Así pues, la probabilidad de encontrar al electrón en un cierto punto del espacio no tiene demasiado que ver con esos lóbulos que hay en las figuras de los libros de Química.

—Entonces, ¿por qué en el libro de Química se nos dice que esos lóbulos representan la probabilidad de encontrar al electrón? —replicó Nicolás —¿Por qué esas figuras están relacionadas con la fase de la onda, en lugar de la intensidad? —Los chicos cambiaron sus posturas en las sillas, mostrando cierta incomodidad ante lo que el tío les había acabado de explicar.

FIGURA 24 Parte angular de todos los orbitales atómicos del electrón para el número cuántico l = 2. Las figuras de arriba están relacionadas con la fase de la onda (máxima en azul; mínima en rojo); esa es la forma en la que típicamente se suelen mostrar los orbitales en los libros de Química. Abajo, se muestra la distribución angular de la intensidad de la onda (que es la verdadera distribución de probabilidad de encontrar al electrón). El momento angular en esta figura se mide en la dirección vertical.

—Si tanto os pica el gusanillo, trataré de explicarlo. En las clases de Química del instituto se suele identificar erróneamente la intensidad de la onda con su fase, porque de nuevo nos encontramos ante otro caso en el que es más fácil no explicaros las cosas correctamente, para que podáis seguir mejor otros razonamientos. Me explico.

>> La razón principal por la que os enseñan los orbitales atómicos en el libro de Química es para poder hablaros más tarde de los enlaces entre átomos para formar moléculas. La forma en la que os explican la geometría de una molécula (es decir, la manera en la que se organizan los átomos que la forman) es aludiendo a la distribución angular de los orbitales. De ahí que en las figuras de los libros del instituto se os muestre la fase de la onda (o una cantidad relacionada con la fase) en lugar de su intensidad. Veréis. Cuando dos átomos se unen para formar una molécula, las ondas de los electrones que se asocian para formar un orbital se suman de forma coherente. Esto, matemáticamente hablando, significa que la fase de la onda de cada electrón es decisiva a la hora de que las ondas de los electrones se sumen para formar el orbital de la molécula.

>> Sólo aquellas partes de las ondas que tengan fases parecidas podrán sumarse de forma coherente, formando un enlace químico. Así pues, las figuras de los orbitales en los libros de Química están relacionadas con la orientación entre los átomos que formarán una molécula, pero no porque esas figuras representen realmente la probabilidad de encontrar al electrón (que sería máxima en los lóbulos de los orbitales según suelen explicaros erróneamente en el instituto), sino porque la fase de la onda en esos lóbulos es muy parecida entre los distintos átomos. De esta forma, y salvo raras excepciones, un átomo sólo podrá unirse a otro, para formar una molécula, en las direcciones dadas por los lóbulos. Por todo esto, comprenderéis que es mucho más fácil eludir el tema de las fases y simplificaros la vida, explicándoos que los lóbulos de los orbitales representan, sencillamente, la probabilidad de encontrar a los electrones.

>> Para complicar un poquito las cosas, un electrón con un momento angular dado puede, además, orbitar en distintas direcciones y tener, por lo tanto, distintas proyecciones de momento angular en una dirección determinada. Los químicos suelen denotar esas proyecciones orbitales con los llamados números cuánticos m, mientras que los momentos angulares los denotan con los llamados números cuánticos l. Si para un momento angular determinado (es decir, para un cierto número l) sumáis las intensidades de las ondas de todos los orbitales correspondientes a todas las proyecciones posibles (es decir, sumáis las intensidades de los orbitales dados por todos los números m), el resultado será algo con simetría esférica. Por lo tanto, será totalmente simétrico respecto a cualquier eje que escojáis para medir el momento angular. A este resultado matemático se le conoce como el Teorema de Unsold.

25. ¡Y más simetrías!

—Señor Alberto —siguió Carlos, tras unos segundos de reflexivo silencio-, aquello de que el diagrama de Feynman que nos mostró era simétrico a la inversión temporal me ha hecho pensar una cosa. ¿Esa simetría de la inversión temporal tiene también, gracias al Teorema de Noether, una magnitud conservada asociada a ella?

—No —respondió el tío con rotundidad -. La inversión temporal, o inversión del sentido de la flecha del tiempo, no es una simetría continua (que son el tipo de simetrías que trata el Teorema de Noether). Esa simetría de la inversión temporal es lo que se conoce como una simetría discreta. En Física hay unas cuantas simetrías discretas que merecen una atención muy especial.

* Por una parte, tenemos la simetría C, o simetría de la inversión de carga. Esta simetría se refiere a intercambiar a todas las partículas del Universo por sus antipartículas, haciendo la viceversa con las antipartículas. O sea, intercambiar materia por antimateria.

* Por otra parte, tenemos la simetría P, o simetría de paridad. Se refiere al cambio en la direccionalidad de las tres dimensiones del espacio. Algunos la llaman equivocadamente simetría especular. Realmente, P no es una simetría especular, ya que en la imagen de un espejo no se cambia la direccionalidad de las tres dimensiones del espacio, sino sólo de una (la perpendicular a la superficie del espejo).

* Finalmente, tenemos la simetría T, o simetría de inversión temporal. Se refiere a la inversión de la flecha del tiempo (que es lo que hicimos cuando giré el diagrama de Feynman 180 grados).

>> Si bien la intuición nos dice que la Naturaleza debería obedecer a cada una de esas tres simetrías por separado (en el sentido de que las leyes de la Naturaleza deberían ser invariantes, o transparentes, a la aplicación de esas simetrías), la realidad es bastante más compleja. Eso sí, puede demostrarse matemáticamente que cualquier teoría cuántica debe obedecer necesariamente a la combinación de las tres simetrías; la simetría que se obtiene a partir esa combinación es lo que en Física conocemos como la simetría CPT.

>> Que el Universo sea simétrico bajo el cambio CPT significa que si intercambiáramos la materia por la antimateria, cambiáramos la direccionalidad de las tres dimensiones del espacio y, además, cambiáramos el sentido de la flecha del tiempo, obtendríamos un nuevo Universo en el que todas las leyes de la Física serían exactamente las mismas que en el Universo original. No habría nada que nos permitiese distinguir a un Universo del otro. No obstante, aunque la simetría CPT debe cumplirse siempre, puede haber (y, de hecho, hay) circunstancias en las que cada simetría discreta, por separado, no se cumple. La culpable de esto es la fuerza débil, que, como su nombre indica, es la más débil de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza.

—¿Fuerzas fundamentales? —preguntaron todos al unísono -.

—Todas las interacciones en la Naturaleza pueden explicarse en base a alguna de las cuatro fuerzas fundamentales. Estas son la fuerza fuerte (de la que hablamos, muy de pasada, cuando discutíamos sobre el nacimiento de los agujeros negros estelares), la fuerza débil, la fuerza electromagnética y, por último, la gravedad. Todos los mecanismos que conocemos en el Universo pueden describirse como la acción de una de estas fuerzas, o como combinaciones de ellas.

>> Volviendo al tema de las simetrías, la fuerza débil es capaz de violar la simetría P. Esto ocurre, porque algunas de las partículas que interactúan débilmente lo hacen de forma que se distingue la dirección de su momento angular. Es decir, de si la partícula está girando hacia la izquierda o hacia la derecha. Esto que os acabo de decir es muy fuerte. Isaac Asimov, uno de los más grandes divulgadores de la Ciencia, supo plasmar genialmente esta idea en uno de sus ensayos con la frase “el electrón es zurdo”. —Al ver las caras de perplejidad de todos sus oyentes, el tío Alberto trató de aclarar aquello -.

—Veréis. En Química y en Física de Partículas hay una magnitud llamada quiralidad, que está relacionada con la simetría espacial de los objetos. Si nos restringimos a la Física de Partículas, la quiralidad nos indica la relación entre el sentido del espín de una partícula (que es su momento angular intrínseco o, básicamente, el sentido en el que la partícula gira alrededor de su propio eje) y el sentido de la velocidad (o sea, el sentido en el que esa partícula avanza en el espacio). Si una partícula tiene un momento angular tal que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj (visto por vosotros) y, además, se os está acercando, decimos entonces que la partícula tiene una quiralidad positiva respecto a vosotros o, en un lenguaje un poquito más llano, que la partícula está orientada a derechas. Por el contrario, si la partícula gira en el sentido de las agujas del reloj mientras se os acerca, tiene entonces una quiralidad negativa respecto a vosotros (o sea, está orientada a izquierdas). Lo asombroso de todo esto es que los leptones y los quarks (que son dos tipos de partículas elementales) sólo son capaces de sentir la fuerza débil si tienen una quiralidad negativa. Así pues, leptones y quarks sólo pueden interactuar débilmente si tienen su espín en el sentido que toca. Obviamente, si le aplicamos la simetría P a cualquier partícula con quiralidad negativa, pasará a tener una quiralidad positiva y viceversa. Por lo tanto, la simetría P afecta de forma crucial a las partículas susceptibles de sentir la fuerza débil.

FIGURA 25 Dos electrones con quiralidades opuestas. Las flechas indican el sentido de giro correspondiente al espín (flechas curvadas) y el sentido de la velocidad (flechas rectas). El electrón de la izquierda es capaz de interactuar sintiendo la fuerza débil; el de la derecha, no.

>> Imaginad ahora el siguiente experimento. Tenemos un electrón (los electrones son un tipo de leptones) y, a su izquierda, otra partícula (por ejemplo, un protón) que podríamos llamar A. Suponed que la partícula A ve al electrón con quiralidad negativa y que el electrón se está acercando a ella. Eso significa que si ahora, a la derecha de ambas partículas, hubiese otro protón B que se acercara al electrón a mayor velocidad que la de A, este segundo protón vería al electrón con quiralidad positiva. O sea, que el mismo electrón podría llegar a sentir la fuerza débil con el protón A, pero nunca podría hacerlo con el protón B. ¡Y tanto A como B son protones! ¿No es asombroso?

FIGURA 26 Un electrón (centro de la figura) se acerca a un protón A (izquierda de la figura). Este protón ve al electrón con una quiralidad negativa. No obstante, otro protón B se acerca al electrón por su derecha, por lo que el electrón tiene quiralidad positiva para el protón B. Por consiguiente, el electrón puede sentir la fuerza débil contra el protón A, pero no contra el B. La misma escena, vista a través de un espejo, nos llevaría a la conclusión opuesta (es decir, B sería el protón que sentiría la fuerza débil contra el electrón).

>> Pero eso no es todo. La interacción débil también puede violar la combinación de las dos simetrías C y P. Eso ocurre durante la desintegración de unas partículas llamadas kaones. Atención, porque esto es particularmente sutil: si la simetría CPT debe cumplirse (ya que esto es una necesidad matemática de cualquier teoría cuántica), entonces que la interacción débil viole la simetría CP significa que debe violar también la simetría T, de suerte que la combinación de todas las simetrías, CPT, quede inalterada. Eso significa que la interacción débil también debe ser capaz de sentir la flecha del tiempo. Que se deba violar la simetría T implica que la fuerza débil es distinta si invertimos la dirección a la que fluye el tiempo, por lo que las leyes de la Física (en particular, las que gobiernan a la interacción débil), no son realmente simétricas bajo la inversión temporal —el tío Alberto quedó pensativo unos instantes, como disfrutando de sus propias palabras; seguidamente, y con un tono místico, continuó -... Hay algo misterioso en la fuerza débil que la hace capaz de sentir la inversión tanto del espacio como del tiempo. Puede que ahora sea, y por mucho, la más débil de las cuatro fuerzas fundamentales, pero su rebeldía contra las simetrías de la Naturaleza pudo ser la causa de que el Universo pueda existir hoy en día tal y como lo conocemos.

26. Las partículas idénticas

Diana entró en la habitación con cara de cansada, tras haber estado casi toda la tarde preparando con Iván y sus suegros la cena de despedida del tío Alberto.

—¿Qué tal va la tertulia, chicos? —preguntó mientras buscaba un mantel para la ocasión en uno de los armarios coquetos que llenaban la salita.

—¡Pues yo en particular me lo estoy pasando en grande! —respondió el tío Alberto entre carcajadas.

—¡Nosotros también! —respondieron a una todos los demás.

Diana encontró lo que buscaba y dejó de nuevo solos a Xelo y a los muchachos con el tío Alberto.

—Hay otra simetría discreta que es muy sutil en la Naturaleza —empezó a decirles el tío —y que se me ha pasado por alto en esta discusión. Una simetría que está íntimamente ligada a la interpretación de Copenhague de la Física Cuántica. Os estoy hablando de la hermosísima Simetría de Intercambio.

Los muchachos pusieron cara de póquer. El tío Alberto, con una leve sonrisa, empezó de nuevo a hablar.

—Veamos... —cogió una pastita y la empezó a comer lentamente, como mirando al infinito, concentrándose para explicar con más claridad lo que pretendía hacer entender a los chicos.

>> Imaginad que lanzáis dos piedras a un estanque y llegan a la superficie más o menos al mismo tiempo, a un metro de distancia la una de la otra. Al impactar sobre la superficie del agua, cada piedra generará una onda que empezará a propagarse en todas las direcciones del estanque. Llegará un momento en el que las ondas creadas por cada piedra empezarán a interferir la una contra la otra. Después de un cierto tiempo, las ondas generadas por ambas piedras estarán ya prácticamente mezcladas a lo largo y ancho del estanque, de suerte que no podremos distinguir qué parte del estanque está afectada por la onda de cada piedra. De hecho, todo el estanque estará afectado por igual por las ondas de ambas piedras. Si en un cierto punto de la superficie del agua hay un mosquito, las ondas que habréis generado al tirar las piedras harán que el mosquito empiece a oscilar de arriba a abajo, a medida que las crestas y los valles de las ondas vayan pasando por el punto donde se encuentra el mosquito. Como las ondas de cada piedra estarán completamente mezcladas, al mosquito le será imposible saber qué parte de las oscilaciones que está sufriendo proviene del impacto de cada piedra.

>> Este ejemplo puede ayudarnos a comprender mejor lo que os voy a explicar a continuación. Cuando tenemos un cierto tipo de onda (sean las ondulaciones sobre la superficie del estanque, sea el sonido, sea la luz, o sea cualquier tipo de onda), el comportamiento y la evolución de esa onda están descritos por una ecuación (la ecuación de ondas) que se formula exactamente de la misma forma para todos los puntos donde hay onda. De hecho, todos los puntos donde se encuentre ese tipo de onda (sea cual sea la distancia que los separa) pueden ser descritos usando un mismo campo (supongo que recordaréis cuando hace unos días os definí qué entendemos los físicos por campo). Tened cuidado al interpretar lo que acabo de deciros, porque es más sutil de lo que parece. Si aplicamos esto a nuestro ejemplo del estanque, la ecuación de ondas nos está diciendo, indirectamente, que en el estanque nunca hubo dos ondas, sino que las perturbaciones generadas por las cada piedra formaron, desde el principio, parte de una única entidad; de hecho, todas las ondulaciones sobre la superficie del estanque, vengan de donde vengan, forman parte de esa misma entidad; de ese mismo campo. En el estanque hay, y siempre hubo, una única onda. Una onda que está permanentemente asociada a toda la superficie del agua.

>> Cuando llevamos esta afirmación al terreno de la Física Cuántica, llegamos a una conclusión asombrosa: dadas dos partículas idénticas (es decir, tales que su parte ondulatoria sea del mismo tipo, como es el caso de dos electrones), ni siquiera la Naturaleza podrá distinguir a una de la otra, ya que todo cuanto define a tales partículas será idéntico para ambas. Esto es como decir que a los electrones no podemos ponerles nombre propio (como Pepito o Electra), ya que dicho nombre, característico de cada electrón, sería una información extra no contemplada en (o, más bien, incompatible con) su parte ondulatoria.

>> Decir que a las partículas idénticas no se les puede poner nombre propio o, lo que es lo mismo, que ni siquiera la Naturaleza es capaz de distinguirlas, significa que las leyes de la Física han de ser tales que no se enteren en absoluto de si intercambiamos dos partículas idénticas cualesquiera del Universo. La Física ha de estar escrita de manera tal que el intercambio de dos partículas idénticas sea totalmente transparente a ojos de la Naturaleza. Este es el fundamento de la Simetría de Intercambio. Desde cierto punto de vista, esto es como si todas las partículas idénticas del Universo formasen parte de una única entidad; como si en el Universo no hubiese realmente electrones sueltos, sino que todos ellos estuviesen ligados, en virtud de la simetría de intercambio, a un único ente que podríamos llamar el campo del electrón.

El tío Alberto intentó ponerse un poco más de café en la taza medio vacía, pero vio que ya se había terminado. Con un poco de frustración en el rostro continuó con la charla.

—Puede demostrarse matemáticamente, con la ayuda de la Teoría Cuántica de Campos, que la única forma de conseguir la Simetría de Intercambio con fermiones (los electrones, como ya dijimos cuando hablábamos de evolución estelar, son un tipo de fermiones) es que no pueda haber dos fermiones idénticos ocupando un mismo estado cuántico. Esto es lo que en Física se llama el Principio de Exclusión de Pauli.

—¡Ah! —exclamó Carlos —¡Eso es lo que producía aquella presión cuántica en el núcleo de Hierro de las estrellas!

—Efectivamente, Carlos. A modo de paréntesis, es curioso el hecho de que la palabra principio se suele referir a cosas que se sabe que se cumplen, pero que no se pueden explicar o demostrar. No obstante, por razones históricas se sigue llamando principios a muchas enunciados que antaño no se podían demostrar, pero que hoy en día se pueden demostrar matemáticamente, de forma más o menos complicada, a partir de nuevos principios más fundamentales. Este es el caso del Principio de Incertidumbre de Heisenberg o del Principio de Exclusión de Pauli, por poner unos ejemplos.

Desde el comedor ya se podía oír cómo los anfitriones iban arreglando los platos sobre la mesa. Un delicioso olor a carne y pescados exquisitamente cocinados se colaba por la rendija inferior de la puerta de la salita. El tío Alberto, acabándose el poco café frío que quedaba en la taza, empezó la última parte de la conversación sobre Física que tendría con los muchachos y Xelo... ¡Al menos hasta que volviese de Bonn para pasar más días con ellos!

—En cambio, otros tipos de partículas denominadas bosones no obedecen al Principio de Exclusión de Pauli. Dos bosones (o más) pueden estar ocupando el mismo estado cuántico sin ningún problema y sin violar la simetría de intercambio. Esto hace de los sistemas de bosones idénticos algo extraordinario, como ahora os voy a contar. El que sigue es un asombroso ejemplo en el que se ve la belleza oculta detrás de la Simetría de Intercambio. Suponed que tuvierais un sistema de bosones idénticos (por ejemplo, diez bosones) y consiguierais meterlos a todos en el mismo estado cuántico. Esto se puede conseguir enfriándolos lo suficiente como para que todos se vayan al estado de mínima energía posible. Estos sistemas se llaman condensados de Bose-Einstein, ya que fueron estos dos físicos quienes consiguieron describir la estadística de los sistemas de bosones idénticos, bastante antes de que estos sistemas pudiesen obtenerse experimentalmente. Y es que hasta hace bien poco no se consiguió obtener de forma experimental este tipo de condensados. ¡Es realmente difícil poner a todos los bosones de un sistema en el estado de mínima energía! Para conseguirlo, hay que llegar a temperaturas increíblemente bajas en el laboratorio; prácticamente, unas mil millonésimas de grado por encima del cero absoluto. ¡Esas son las temperaturas más bajas de todo el Universo!

>> En el momento en el que se consigue obtener el condensado, podéis hacer un montón de experimentos increíbles con él. Suponed que, por ejemplo, cortamos el condensado en dos partes iguales con la ayuda de un cuchillo láser. Si ahora cogemos ambas mitades y las separamos la una de la otra, muchos creerán que de los diez bosones que había originalmente, cinco habrán ido a parar a una mitad del condensado y los otros cinco habrán ido a parar a la otra mitad, ¿no es así?

—Es lógico —respondió Nicolás, obteniendo la aprobación de sus amigos -.

—En efecto, es lógico... ¡Pero la Mecánica Cuántica no lo es tanto! Lo que realmente ocurre cuando cortamos el condensado en dos partes iguales es que estamos cortando el mismo estado cuántico para todos los bosones, por lo que en cada una de las dos mitades resultantes tendremos exactamente a los mismos bosones. ¡¡Los diez bosones están en cada una de las dos mitades del condensado!! ¡Y podemos separar espacialmente ambas mitades todo lo que deseemos!

>> Suponed ahora que sometemos a una de las dos mitades a un campo magnético y la otra ya no la tocamos. Ese campo magnético afectará a los bosones... Pero si los mismos bosones están en ambas mitades del condensado, la mitad del condensado que no tocamos ¿siente o no siente el efecto del campo magnético?... La respuesta es sí y no. ¡Pasan ambas cosas al mismo tiempo! En un condensado de Bose-Einstein, los cuantos nos están mostrando básicamente sus propiedades de onda, por lo que no hay ningún problema conceptual sobre que estén en dos lugares al mismo tiempo (es decir, cada una de las dos mitades en las que hemos cortado el condensado). Imaginad ahora que en lugar de cortar el condensado en dos mitades lo consiguiéramos partir en diez trozos iguales, tantos como bosones tenemos en nuestro sistema. ¿Significaría eso que cada pedazo es un bosón distinto? ¡No! ¡En cada pedazo estarían todos y cada uno de los diez bosones del condensado!

>> En realidad, si llevamos esto a sus últimas consecuencias, todos y cada uno de los bosones idénticos a los de nuestro condensado que haya esparcidos en el Universo formarán parte del condensado, ya que la Simetría de Intercambio de la Física se aplica a todas las partículas idénticas del Universo. La gracia de los condensados de Bose-Einstein está en que la Simetría de Intercambio exagera aquí sus efectos, puesto que varios bosones están justo en el mismo estado cuántico. Y al conseguir esto podemos hacer que la parte ondulatoria de los cuantos se muestre de forma clara y contundente. Podéis hacer, por ejemplo, experimentos de interferencias, haciendo que átomos enteros pasen por varios caminos al mismo tiempo y acaben interfiriendo consigo mismos formando patrones de difracción. ¡Imaginad cuán increíble es eso!

27. Kirk a Enterprise. ¡Súbame Scotty!

—¿Por qué no nos cuentas algo sobre el teletransporte, tío? —preguntó Óscar, cortando la explicación del tío Alberto y mostrando su preocupación por el poco tiempo que les quedaba y las muchas cosas de las que ya no podrían hablar cuando el tío volviese a Alemania -.

—No sé si vamos a tener tiempo de tratar el teletransporte cuántico al completo, chicos, dado que no queda mucho tiempo para la cena, pero si os pica el gusanillo de la curiosidad acerca de este apasionante tema... ¡Vamos a ello!

Los jóvenes se acercaron impacientes hacia la mesa. Todos eran fans de aquella serie de ciencia-ficción, Star Trek, en la que el teletransporte era uno de los ingredientes principales que adobaban de fantasía sus capítulos. Los muchachos ansiaban conocer los fundamentos de aquella magia de hacer mover objetos de un lugar a otro sin pasar por los puntos intermedios... ¡Y su tío no iba a defraudarles!

—El teletransporte —empezó a explicar el tío —es una de las más bellas aplicaciones actualmente conocidas de la Mecánica Cuántica. Hace uso de dos de los principios más demoledores que diferencian el mundo clásico del cuántico, a saber, la no-localidad de la teoría y la idea de partículas idénticas. Para que comprendáis los principios del teletransporte voy a explicaros cómo se realiza paso por paso. ¿Recordáis cuando hablamos de las desigualdades de Bell? Os introduje entonces un concepto que es esencial para entender el teletransporte: el concepto de partículas cuánticamente conectadas. La conexión cuántica ocurre cuando dos partículas tienen sus propiedades ligadas por leyes de conservación. Recordaréis seguramente, de cuando os hablé de las desigualdades de Bell, aquellas partículas que llamábamos 2 y 3, y que surgieron a partir de la desintegración de otra partícula 1. Como la partícula 1 tenía un momento angular nulo, las partículas 2 y 3 debían tener sus momentos angulares relacionados (o conectados), de forma tal que el de la 2 debía ser justo el opuesto al de la 3. De esta forma, aunque sus momentos angulares no estén definidos, en el momento en el que midamos (y por lo tanto definamos) el momento angular de la partícula 2, quedará automáticamente afectado y definido el de la 3, sin importar la distancia que separe a estas partículas durante la medida. Esta conexión cuántica entre las partículas puede existir en virtud de la no-localidad de la teoría cuántica, y es el fundamento del teletransporte.

>> Imaginad, pues, que somos capaces de generar un par de partículas, que llamaremos A y B, cuánticamente conectadas entre sí en virtud de una ley de conservación (como la conservación del momento angular). Ahora cogemos una de ellas (por ejemplo la B) y la llevamos a la Luna en una nave espacial con sumo cuidado para no alterar su delicado estado cuántico, lo que rompería entonces su conexión con la otra partícula. Esa otra partícula (la A) la dejaremos en un laboratorio terrestre.

>> Ahora tomamos otra partícula (que podríamos llamar Partícula C) y la llevamos al laboratorio en donde se encuentra la partícula A. Esta partícula C será la que vamos a teletransportar.

>> Cuando tenemos dos partículas cercanas podemos medir una propiedad común a las dos, que se denomina estado de Fermi del sistema. El estado de Fermi de un par de partículas no nos da ninguna información sobre las propiedades de cada partícula individual, pero sí nos dice qué relaciones existen entre las propiedades de ambas partículas. Por ejemplo, una medida del estado de Fermi de dos partículas no nos dirá cuál es el momento angular de cada una, pero sí nos dirá si las dos partículas involucradas en la medición giran en el mismo sentido o en sentidos opuestos. Este resultado tan sólo nos da información de la relación que hay entre las dos partículas, pero no nos da en absoluto ninguna pista más sobre las características individuales de cada una.

>> Medir el estado de Fermi de un par de partículas afecta a sus estados cuánticos, al igual que el hecho de medir un momento angular hace que éste se defina, tal y como discutimos en su momento. No obstante, el hecho de rehusar conocer las propiedades individuales de cada una de las partículas de nuestro sistema hace que la Mecánica Cuántica nos dé la oportunidad de poder reconstruir a la perfección el estado cuántico que ha sido alterado. Me explico:

>> Imaginad que somos capaces de medir el estado de Fermi de la pareja de partículas A y C. Ambas partículas quedarán afectadas por esta medición, pero gracias a los resultados obtenidos acerca del estado relativo entre A y C sabremos qué le tendremos que hacer a la partícula B (la que está en la Luna) para que ésta adquiera el estado cuántico que tenía la partícula C original. Si, por ejemplo, el estado de Fermi entre A y C nos dice que los momentos angulares de estas partículas apuntan en el mismo sentido, entonces sabremos que la partícula B que hay en la Luna tendrá su momento angular en el sentido opuesto al de A y C (ya que B tiene el momento angular opuesto al de A, en virtud de la conexión cuántica que hay entre las dos partículas). Así pues, si tan sólo optamos por medir el estado de Fermi entre A y C, la Naturaleza nos agradecerá nuestro sacrificio de rehusar medir los estados separados de A y de C en la forma de que, gracias a los resultados de tal medición, seremos capaces de alterar a la partícula B que hay en la Luna para que adquiera el mismo estado cuántico que tenía la partícula C original. De esta forma, el estado cuántico de la partícula C, que ha sido alterado al realizar la medición de Fermi, puede ser recuperado en la Luna jugando debidamente con la partícula B. El teletransporte, entonces, se resume en tres simples (aunque no por eso sencillos de realizar) pasos:

* Primero, se generan dos partículas cuánticamente conectadas y se lleva una de ellas (la B) al lugar al que deseamos dirigir el teletransporte. La otra partícula (la A) la dejamos en nuestro laboratorio.

* Tras ello, cogemos la partícula que deseamos teletransportar (la C) y medimos su estado de Fermi con respecto a la partícula de nuestro laboratorio (la A). El resultado de la medición lo transmitimos entonces al lugar al que deseamos realizar el teletransporte (al lugar donde está la partícula B). Esta transmisión la podemos realizar, por ejemplo, mediante una emisión de radio (que sería nuestro rayo teletransportador).

* Cuando los científicos que están vigilando a la partícula B reciban los resultados de la medición del estado de Fermi, sabrán entonces qué le deben hacer a la partícula B para que ésta adquiera el estado cuántico que tenía la partícula C original.

>> Una vez se hace esto, el resultado es que el estado cuántico de la partícula C ha sido transmitido a la partícula B... ¡Y ya hemos finalizado nuestro teletransporte!

—¡Pero eso no es realmente un teletransporte! —gruñó Carlos desengañado-. ¡Un teletransporte verdadero ocurriría si la partícula C desapareciese de donde está y volviese a aparecer mágicamente en el lugar al que deseamos teletransportarla!

—No llegues a conclusiones precipitadas, Carlos. Si me respondes eso, es que no entendiste bien cuando os hablé de las partículas idénticas en Mecánica Cuántica y de la Simetría de Intercambio. Si os acordáis, en la Cuántica, dos partículas idénticas que tienen el mismo estado cuántico deberían ser completamente indistinguibles a ojos de la Naturaleza. Quizás las limitaciones de nuestro lenguaje hayan hecho que no entendierais esta idea en toda su gloria. Cuando digo que ni siquiera la Naturaleza sería capaz de distinguirlas estoy queriendo decir que esas partículas son realmente una misma cosa; una única entidad. Lo único que define a la partícula C de nuestro experimento y la hace distinta de la B es su estado cuántico. En el momento en el que medimos el estado de Fermi, esta partícula C, tal y como la conocíamos, deja de existir, puesto que su estado cuántico ha cambiado. Así pues, en el momento en el que B adquiere el estado cuántico que tenía C en un principio, ésta se convierte en la antigua partícula C, tal y como ésta era antes del teletransporte... Teletransportar a una partícula es, pues, teletransportar su estado cuántico, ya que todo lo demás entre estas partículas es común, e indistinguible, al resto de las partículas idénticas del Universo. Sé que esto es muy difícil de comprender y asumir, pero es que la Física Cuántica es así de demoledora e incomprensible.

>> Todos los experimentos que fuéramos capaces de realizar con la partícula C teletransportada nos darían el mismo resultado que si usáramos a la partícula C sin teletransportar. Si, por ejemplo, la partícula C estuviese conectada con otra partícula D, esa conexión con D también se teletransportaría a la nueva partícula C... ¡Uy! ¡No debería haber usado la palabra nueva, ya que, según el concepto de partículas idénticas en Mecánica Cuántica, esa partícula C es la misma que la que había en el laboratorio!

>> Fijaos que el hecho de medir únicamente el estado de Fermi entre A y C no definirá el momento angular de C (ni, por lo tanto, el de su partícula conectada D), ya que el estado de Fermi se limita a relaciones entre las propiedades de las partículas, sin hablar para nada de los estados individuales de cada partícula. Esto es lo que hace que la conexión de la partícula teletransportada C y la otra partícula D no se rompa durante el teletransporte... ¡¿Qué más os puedo decir?! ¡La partícula C sí ha sido realmente teletransportada! ¡Y todo esto que os estoy contando ya ha sido realizado en un laboratorio! ¡Quién sabe si en un futuro lejano seremos capaces de realizar un teletransporte con objetos formados por más de una partícula!

—Pero, señor Alberto —preguntó Nicolás -, ¿no podríamos, una vez tenemos los resultados de esa medición del estado de Fermi, crear más de una partícula con el estado cuántico de la partícula C? ¡Eso sería como crear varias copias exactas de C en lugar de simplemente teletransportarla!

—Esa es una buena pregunta, Nicolás. El problema es que la clonación cuántica es teóricamente imposible. Está demostrado que, hagamos lo que hagamos, el teletransporte no nos permitirá de ninguna forma generar clones de la partícula teletransportada.

—¡Chicos, a cenar! —se oyó que decía Diana desde el comedor como cantando-. ¡Si Carlos y Nicolás quieren, también se pueden quedar a comer!

Carlos y Nicolás se miraron el uno al otro y respondieron con un “¡Sí! ¡Nos quedamos!” mutuo. Todos en la mesa, incluida Xelo, sintieron gran tristeza al ver que se había acabado la última charla con el tío Alberto. Además, en aquellos precisos instantes la charla se estaba poniendo interesante, con aquello del teletransporte cuántico. Pero la conversación se había acabado.

—¡Bueno, chicos —dijo finalmente el tío Alberto -, creo que de ahí afuera está viniendo un olorcito formidable que nos invita a salir a darnos un atracón! ¡Además, ya tendréis tiempo de pensar mucho más y mejor sobre estas cosas si decidís estudiar Física! ¡Je, je!

Los muchachos se unieron a sus carcajadas con tímidas sonrisas bañadas con los restos de la fascinación que aún llenaba sus maravilladas mentes. Las charlas del tío Alberto les habían permitido acercarse a partes de la realidad que no hubieran imaginado ni en sus sueños más extravagantes; se habían dado cuenta de que su tío no encajaba para nada en esa imagen de científico loco y aburrido que algunos programas de la tele se empeñan en vender. El tío Alberto era una persona amigable, paciente y llena de buena voluntad; capaz de convertir una simple conversación en la más maravillosa aventura; en el más fascinante de los viajes desde lo más grande hasta lo más pequeño, con la sorpresa y el asombro como constantes compañeros de travesía.

28. En resumen

La cena estaba deliciosa. Todos disfrutaron de una cálida y divertida conversación en la que los mayores recordaron aquellos buenos tiempos, ya lejanos, cuando rebosaban juventud y ansias de comerse el mundo. No faltaron las carcajadas ni las risas al recordar aquellas divertidas bromas que solían gastarse, ni la atmósfera de melancolía que inundaba el comedor cuando recordaban lo bien que lo pasaban en sus tiempos de estudiantes. Los chicos y Xelo escuchaban y también reían con los mayores.

Llegaron los postres. Iván se dirigió a Alberto mientras removía con la cucharilla su taza de descafeinado.

—Bueno, Alberto —comenzó -, espero que te lo hayas pasado bien estos días y los chicos no te hayan mareado demasiado.

—No me han mareado en absoluto, Iván. De hecho, todos nos lo hemos pasado de maravilla hablando de Física. ¿A que sí, chicos?

—Todos los muchachos, Xelo incluida, asintieron enérgicamente y empezaron a hablar al mismo tiempo, cada uno a su aire y a una velocidad tremenda, sobre la Relatividad, la Cosmología, los agujeros negros y las simetrías de la Física. ¡Aquello parecía un gallinero!

—¡Tranquilos, chicos, tranquilos! —gritó Iván con abiertas carcajadas, sacando la cucharilla de la taza y poniendo sus dos manos en alto -. ¡Vaya, Alberto! Creo que todo eso que les has contado les ha impactado mucho.

—Ese era mi deseo. ¡Y créeme que me encanta que así haya sido! Muchachos, estos días han sido formidables. No los voy a olvidar nunca. Hemos repasado juntos los pilares de la Teoría de la Relatividad de Einstein, comprendiendo el por qué de su postulado de que la velocidad de la luz debe ser independiente de cualquier observador. Nos hemos asombrado con las increíbles consecuencias que eso conlleva; hemos hablado acerca del espacio-tiempo, de su geometría, de su significado y de cómo su curvatura puede usarse para formular la Gravitación y explicar de forma natural aquella igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Hemos aprendido acerca del Principio de Equivalencia de Einstein y de cómo podemos apreciar sus efectos y medir esa cosa tan aparentemente abstracta que es la curvatura del espacio-tiempo. También disfruté de vuestra perplejidad cuando os aclaré, en contra de lo que habíais aprendido, que la masa es un invariante relativista y que, por lo tanto, es completamente independiente del estado de movimiento de los cuerpos.

>> Particularmente, disfruté muchísimo cuando os hablé acerca de nuestro lugar en el Universo; de lo pequeño que es este granito de arena, que llamamos planeta Tierra, cuando lo comparamos con la monstruosa inmensidad del Cosmos. Hemos hablado de la vida de las estrellas, de cómo se forman los sistemas planetarios y de las reliquias de nuestro propio Sistema Solar, que son prueba clara de un origen similar al del resto de los sistemas planetarios descubiertos hasta la fecha. Qué agradable fue ver cómo se os iluminaba la mirada cuando aprendisteis que la materia que forma nuestro planeta, nuestros cuerpos y nuestros cerebros, formó parte del interior de una estrella, o de una nube molecular, hace varios miles de millones de años. Pensad, por cierto, que esta misma materia que ahora está formando vuestros cuerpos volverá de nuevo, dentro de otros miles de millones de años, a convertirse en parte de las estrellas. Desde cierto punto de vista, nosotros (y todo nuestro planeta con nosotros) no somos más que polvo estelar en estado de transición. Sólo la Astronomía nos puede hacer sentir parte del Universo de una forma tan bella y especial como la que ahora estáis sintiendo al escuchar mis palabras.

También hemos hablado acerca del Universo como un todo y de cómo la Teoría de la Relatividad General de Einstein nos permite averiguar un montón de cosas sobre la estructura y la Historia del Cosmos, partiendo únicamente del axioma más básico de la Cosmología; el Principio Cosmológico. Y no hace falta deciros cómo disfruté al explicaros cosas de Cosmología que, por desgracia, hay incluso astrónomos profesionales que no acaban de comprender debidamente bien. Desde el origen puramente geométrico (que no cinemático) del desplazamiento al rojo en la ley de Hubble, hasta la homogeneidad e isotropía del Universo extrapoladas hasta el mismísimo Big Bang.

>> Hemos hablado también de cómo nacen los agujeros negros estelares. ¡Ay, los agujeros negros! ¡Esas regiones del espacio-tiempo donde se encuentran los límites de la Física y del Universo, tal y como lo conocemos! ¡Esas regiones donde pasan cosas que escapan a toda lógica! Y hablando de lógica, también fueron muy estimulantes aquellas conversaciones sobre Física Cuántica, en las que todos nos dejamos llevar a contracorriente de la lógica más básica que hay impresa en nuestras mentes. La sensación de notar cómo retumba el esqueleto sobre el que se codifica el conocimiento en nuestros cerebros, la lógica más pura, cuando hablamos de esa componente esencialmente aleatoria de la Naturaleza, de la no-localidad de la teoría cuántica, o de las desigualdades de Bell, deriva en un placer intelectual que llega a ser adictivo.

>> Finalmente, hemos visto todos juntos cómo, detrás de lo más básico de la Física como puede ser la mera conservación de la energía, se oculta todo un mundo de complejas consecuencias que pueden superar a la mejor fantasía y ciencia-ficción: el teorema de Noether, las simetrías de la Física, la energía como generadora de las traslaciones temporales, la materia y la antimateria,... Sin olvidar también que incluso esas bases de la Física pueden tambalearse cuando las llevamos a sus últimas consecuencias.

>> En resumen, juntos hemos podido catar algunos de los resultados más asombrosos de la Física Moderna, que, no os engañéis, representan solamente la punta del iceberg de todo el tinglado. Llegar no sólo a conocer estas cosas, sino a comprenderlas y aprehenderlas, matemáticamente hablando, es (y os lo digo desde mi afortunada experiencia como científico en general; no sólo como físico) una de las más bellas aventuras intelectuales que os podáis imaginar.

La pequeña Xelo, después de coger un último pastelito de la bandeja de los postres, se levantó de su silla y marchó rauda hacia su madre, que escuchaba sentada junto a Iván. Xelo dio un ligero tirón al vestido de Diana, buscando su atención. Diana miró a la chiquilla con una sonrisa. Xelo, después de meditarlo durante unos segundos, le dijo decidida:

—Mamá, ya sé qué voy a hacer de mayor. ¡Estudiaré Física!