Respuesta de un interferómetro a una fuente puntual

La interferometría aplicada a la radioastronomía aprovecha las propiedades ondulatorias de la radiación para obtener información acerca de la estructura de emisión de los objetos observados. Para introducir los principios de esta técnica, empezaremos estudiando un caso sencillo de interferómetro, el llamado interferómetro de dos elementos.

Figure 1: Interferómetro multiplicador de dos elementos.

Existen varios tipos de interferómetros, como el de adición cuadrática, pero el que mejor se adapta a las necesidades de la radioastronomia, por su gran estabilidad y fiabilidad, es el llamado interferómetro multiplicador. En la figura 1 se muestra un ejemplo de interferómetro multiplicador de dos elementos (antenas). La señal de salida de este dispositivo resulta ser la media temporal del producto de las señales recibidas por ambas antenas.

Cuando un radiotelescopio recibe radiación de frecuencia angular $\omega$ e intensidad $I$, la señal $S$ que produce es:

$$S = \sqrt[]{I} G \cos{{\omega}t} = v\cos{{\omega}t},$$ (2)

donde $G$ es la ganancia de la antena, que depende de su área efectiva, de sus amplificadores de señal y de la elevación a la que se observa. El producto de la ganancia por la raíz cuadrada de la intensidad da como resultado el voltaje máximo $v$ que se produce en el receptor.

No es difícil concluir a partir de la figura 1 que si las antenas A y B se encuentran separadas por una distancia $\vec{B}$ (que llamamos línea de base) y reciben una emisión sinusoidal de frecuencia angular $\omega$ procedente de cierta dirección $\vec{S}$ (siendo $\vec{S}$ un vector unitario), entonces la antena A recibirá la misma señal que B, pero desfasada un tiempo igual a:

$$\tau = \frac{\vec{B}\vec{S}}{c},$$ (3)

donde $\vec{B}\vec{S}$ indica producto escalar y $c$ es la velocidad de propagación de la luz.

Esto significa que la respuesta del interferómetro será igual a:

$$Re = v_{A}v_{B}<\cos{(\omega t)}\cos{(\omega t-\omega \tau)}> = G_{A}G_{B}\frac{I}{2}\cos{\omega \tau},$$ (4)

donde $v_{A}$ y $v_{B}$ son los voltajes máximos inducidos por la fuente en las antenas A y B, respectivamente, y donde $G_{A}$ y $G_{B}$ son las ganancias de las antenas A y B, respectivamente. El intervalo en el que se ha efectuado la media temporal contiene un número suficiente de ciclos de la señal como para que la igualdad se mantenga en un nivel de precisión óptimo. Normalmente, en la práctica, la media suele efectuarse para un par de segundos, durante los cuales han habido miles de ciclos en la señal.

Así pues, la respuesta de un interferómetro multiplicador a una fuente puntual en el cielo (i. e. a una onda plana) es proporcional a la intensidad $I$ de la fuente, viniendo el coeficiente de proporcionalidad determinado por las ganancias de las antenas y por la posición de la fuente en el cielo. Tal coeficiente va como el coseno de $\omega\tau$, es decir, como el coseno de la fase avanzada por la señal durante el camino extra que el frente de ondas debe recorrer para llegar a la antena A una vez ha llegado a la antena B.

Si representásemos en una pequeña región del cielo cuál es el valor del coeficiente de proporcionalidad de la respuesta de un interferómetro como función de la posición de la fuente (según la ecuación 4), nos encontraríamos con una serie de franjas en el cielo, cuya frecuencia espacial aumentaría al aumentar la distancia entre las antenas, y cuya dirección dependería de la orientación relativa entre éstas, tal y como puede apreciarse en la figura 2.

En dicha figura vemos, a la izquierda, unos interferómetros multiplicadores de dos elementos, vistos desde donde pudiera encontrarse una posible fuente a observar. A la derecha, vemos representado el coeficiente de proporcionalidad de la respuesta de los interferómetros como función de la posición de la fuente en el cielo.

Figure 2: Respuesta de un interferómetro en función del emplazamiento de sus antenas (izquierda) y de la región del cielo desde donde se recibe la señal (derecha).

Vemos que, efectivamente, las franjas de respuesta del interferómetro tienden a aproximarse entre ellas cuando la distancia entre las antenas aumenta. También podemos ver que la inclinación de dichas franjas en el cielo depende de la inclinación del vector línea de base $\vec{B}$ entre las antenas.

Si antes de multiplicar las señales recibidas por cada antena añadimos a una de ellas una fase de $\frac{\pi}{2}$ radianes, las franjas de la figura 2 también avanzarán dicha fase, ya que la respuesta del dispositivo será ahora igual a:

$$Im = G_{A}G_{B}\frac{I}{2}\sin{\omega \tau}.$$ (5)

Las ecuaciones 4 y 5 podrían entenderse como las partes real e imaginaria (respectivamente) de:

$$V = Re + iIm = G_{A}G_{B}\frac{I}{2}\exp{(i\frac{2{\pi}{\nu}}{c}\vec{B}\vec{S})}.$$ (6)

$V$ recibe el nombre de visibilidad. Los interferómetros con los que vamos a trabajar son capaces de producir ambas salidas ($Re$ e $Im$) al mismo tiempo, de manera que miden simultáneamente las partes real e imaginaria de la visibilidad.