Respuesta de un interferómetro a fuentes extensas. Plano UV

Supongamos ahora que tenemos una fuente con cierta extensión angular en el cielo. El interferómetro ya no recibirá una onda plana, sino una señal más complicada.

Un radiotelescopio no filtra la señal recibida reduciéndola a un sólo armónico (lo cual es imposible), sino que el filtro posee cierto ancho de banda. Si el ancho de banda del interferómetro fuese infinitamente estrecho, la radiación recibida desde cualquier punto de la fuente extensa sería de tipo perfectamente sinusoidal, por lo que las emisiones procedentes de distintos puntos de la fuente estarían totalmente correlacionadas; es decir, la señal monocromática captada por el interferómetro sería direccionalmente coherente. No obstante, al observar con un ancho de banda finito se anula la correlación entre la radiación emitida por distintos puntos de la fuente, al igual que la correlación de la señal procedente de un mismo punto también disminuye para tiempos superiores a la inversa del ancho de banda de la señal.

Dada esta incoherencia direccional, efecto del ancho de banda finito del filtro de los radiotelescopios, la respuesta del interferómetro a una fuente extensa será igual a la suma de las respuestas producidas por cada uno de los emisores puntuales que forman la fuente extensa (i. e., no habrá términos de interferencia entre los distintos puntos de emisión de la fuente). Esto es, estamos interpretando una emisión extensa como un conjunto de fuentes puntuales, de manera que la respuesta total la entendemos como la emisión de la fuente convolucionada con la respuesta del interferómetro a un emisor puntual (función de Green del interferómetro). Analíticamente, y ayudándonos de la ecuación 6 para un emisor puntual, tenemos que, si $I(\vec{S})$ representa la distribución de intensidad de la fuente en el cielo, entonces:

$$V = Re + iIm = k\int{}{}{I(\vec{S})\exp{(i\frac{2{\pi}{\nu}}{c}\vec{B}\vec{S})} d\Omega}.$$ (7)

Por comodidad hemos llamado $G_{A}G_{B} = k$. Esta respuesta del interferómetro no es más que la integral de la estructura de la fuente multiplicada por el factor de proporcionalidad de respuesta del interferómetro, que depende de la posición en el cielo donde se encuentran los emisores puntuales que forman la fuente extensa, según hemos visto ya en la figura 2.

Para el caso especial de que uno de los puntos de emisión de la fuente (que podemos definir situado en la dirección $\vec{S}_{0}$) y el vector $\vec{B}$ sean ortogonales, podemos encontrar un sistema de coordenadas en el que la ecuación 7 se simplifica¹. En efecto, sea el sistema ortonormal de ejes $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$, con el eje $\vec{W}$ señalando hacia el punto $\vec{S}_{0}$ de la fuente. Los ejes $(\vec{U},\vec{V})$ estarán definidos, por lo tanto, en el plano ortogonal a la dirección $\vec{S}_{0}$. El vector $\vec{B}$ caerá, por construcción, en dicho plano (ver figura 3). Esto implica que $\vec{B}$ no tendrá proyección en la dirección $\vec{W}$.

Figure 3: Definicion del sistema de coordenadas.

Si las coordenadas de $\vec{S}$ en la base $(\vec{U},\vec{V},\vec{W})$ son (x,y,z) y las de $\vec{B}$ son (u,v,0), el producto escalar $\vec{B}\vec{S}$ puede escribirse fácilmente como:

$$\vec{B}\vec{S} = u x + v y$$ (8)

Además, el ángulo sólido $d\Omega$ puede escribirse como:

$$d\Omega = \frac{dx dy}{\sqrt[]{1 - x^{2} - y^{2}}},$$ (9)

ya que $\sqrt[]{1 - x^{2} - y^{2}}$ es el factor que relaciona un diferencial de superficie en el plano $(\vec{U},\vec{V})$ con el diferencial correspondiente proyectado en la esfera celeste.

Con todo esto, la ecuación 7 tomará la forma:

$$V(u,v) = Re + iIm = k\int{}{}{I(\vec{S})\exp{(i\frac{2{\pi}{\nu}}{c}(u x + v y))} \frac{dx dy}{\sqrt[]{1 - x^{2} - y^{2}}}},$$ (10)

donde se entiende que $\vec{S}$ está escrito en el sistema de coordenadas en el que $\vec{S_{0}}$ no tiene componentes en el plano $(\vec{U},\vec{V})$. Si se da además la condición de que la fuente en estudio sea compacta (de manera que la región donde ésta se define cumpla que $x << 1$ e $y << 1$), entonces, de manera aproximada:

$$V(u,v) = Re + iIm = k\int{}{}{I(\vec{S})\exp{(i\frac{2{\pi}{\nu}}{c}(u x + v y))} dx dy}.$$ (11)

O sea, que las salidas del interferómetro $Re$ (producto de las señales de las antenas) e $Im$ (desfase de 90 grados entre las señales a multiplicar) nos darán, entendiéndolas como la parte real e imaginaria de la visibilidad, la transformada de Fourier de la distribución de radiación $I(\vec{S})$ (i.e., de la estructura de la fuente), centrada en $\vec{S}_{0}$ y calculada en el punto (u,v). Recordemos que el par (u,v) son las coordenadas del vector línea de base $\vec{B}$ en el plano perpendicular al vector ${\vec{S}}_{0}$.

Si dispusiéramos ahora de más antenas en el interferómetro, podríamos hallar tantas visibilidades (i.e., valores de la transformada de Fourier de la fuente) como pares de antenas pudiésemos formar.

Las distintas técnicas de síntesis de apertura se centran en invertir la ecuación de Fourier 11 para hallar $I(\vec{S})$ conociendo $V(u,v)$.