Por qué utilizar un correlador?

Como hemos visto en la sección anterior, la manera en que las visibilidades se relacionan con la transformada de Fourier de la fuente es que el vector línea de base $\vec{B}$ sea ortogonal al vector $\vec{S}_{0}$ de la fuente, respecto al cual se centra la transformada. A medida que la fuente se mueve en el cielo, las posiciones de los radiotelescopios deberían también cambiar, de suerte que la línea de base $\vec{B}$ fuese siempre ortogonal al vector $\vec{S}_{0}$.

No obstante, las posiciones de los radiotelescopios en la Tierra no pueden mo-dificarse durante un experimento (es algo difícil desplazar telescopios de varias decenas de metros de diámetro y varios miles de toneladas de peso) y prácticamente nunca se cumple la condición de ortogonalidad entre $\vec{B}$ y el vector fuente $\vec{S}_{0}$.

Para dar solución a este problema, lo que se hace en el caso de un interferómetro de dos elementos es añadir a una de las antenas un retraso $\tau$ que resulte ser igual al retraso relativo de la señal entre los dos radiotelescopios. De esa forma, se consigue que la respuesta del interferómetro sea equivalente a la de un interferómetro en el que la línea de base $\vec{B'}$ entre antenas fuese ortogonal a $\vec{S}_{0}$, siendo su módulo $B'$ igual al módulo de la proyección de $\vec{B}$ sobre el plano ortogonal a $\vec{S}_{0}$. Esto puede verse fácilmente en la figura 4.

A medida que la fuente se moviese en el cielo, deberíamos ir cambiando el valor de $\tau$, de manera que tanto el módulo como la dirección del vector $\vec{B'}$ en la figura 4 irían cambiando con el tiempo. Las franjas de respuesta del interferómetro resultante (ver figura 2) evolucionarían junto con $\vec{B'}$, estrechándose, ensanchándose, rotando y, por lo tanto, escaneando distintas componentes de la transformada de Fourier de la fuente.

Figure 4: Equivalencia entre interferómetros añadiendo un retraso relativo entre las señales recibidas.

No obstante, esta sencilla solución para el caso de un interferómetro de dos elementos es imposible de realizar con interferómetros más complicados, con tres o más antenas. En esos casos, una antena A que respecto a otra antena B hubiese que tener un cierto retraso $\tau$ para situar ambas antenas en el plano ortogonal a $\vec{S}_{0}$, podría necesitar otro retraso distinto ${\tau}'$ para formar, con otra antena C, un interferómetro que estuviese en el mismo plano ortogonal a $\vec{S}_{0}$. Además, pequeñas imprecisiones en la determinación de las posiciones de las antenas del interferómetro (o de la fuente en el cielo) podrían ocasionar que el retraso $\tau$ añadido a las antenas no fuese exactamente el correcto, de manera que el centrado de la fuente estaría equivocado.

Para dar solución a todos estos problemas, lo que se hace es multiplicar las señales de ambas antenas, no con un cierto valor $\tau$ de retraso relativo añadido, sino para todo un conjunto de valores de retraso ${\tau}_{i}$. Construimos entonces, para cada par de antenas (A,B) del interferómetro, la función de correlación $C(A,B,{\tau}_{i},t)$, que es igual a:

$$C(A,B,{\tau}_{i},t)=\frac{1}{{\Delta}t}\int_{t-\frac{{\Delta}t}{2}}^ {t+\frac{{\Delta}t}{2}}{A(t') B(t'-{\tau}_{i}) dt'},$$ (12)

donde $A(t')$ y $B(t')$ son las señales captadas por las antenas A y B, respectivamente, en el instante $t'$. ${\Delta}t$ es el tiempo de integración de la correlación (que suele ser un par de segundos) y t es el valor del tiempo para el que la correlación se centra.

De esta forma, seleccionando distintos valores de ${\tau}_{i}$ en $C(A,B,{\tau}_{i},t)$ obtendremos (para el instante t) el equivalente a salidas de distintos interferómetros multiplicadores con las antenas en diferentes posiciones, tales que el retraso de la señal para ir de A a B sea ${\tau}_{i}$. Por lo tanto, un error en el posicionamiento de las antenas en un instante t podrá ser fácilmente subsanado eligiendo el valor ${\tau}_{i}$ adecuado de entre todo el conjunto $C(A,B,{\tau}_{i},t)$ calculado.

Cuando las líneas de base del interferómetro sean del orden del tamaño de la Tierra, esta técnica de correlación entre las señales de las distintas antenas es más que necesaria, ya que deformaciones de nuestro planeta a gran escala (como las mareas terrestres), así como pequeñas perturbaciones debidas a corrientes oceánicas o atmosféricas, hacen que las posiciones de las distintas antenas nunca sean iguales a las teóricas para el nivel de precisión requerido (del orden del centímetro). Por esto, siempre hemos de buscar el valor de ${\tau}_{i}$ (próximo al valor teórico $\tau$) para conseguir que el frente de ondas proveniente de la fuente ${\vec{S}}_{0}$ esté sincronizado en todas las antenas para todo instante t (i.e., que todos los interferómetros equivalentes formados por cada par de antenas caigan en el plano ortogonal a ${\vec{S}}_{0}$). El proceso en el que esto se consigue se denomina Ajuste de Franjas o Fringe Fitting y lo describiremos en capítulos posteriores.