El conjunto de Cantor

Es un ejemplo de conjunto infinito pero que su medida topológica es igual a 0.

CONSTRUCCIÓN

1. Consideramos el intervalo unidad I=[0,1] al que dividimos en 3 partes iguales y quitamos el tercio central. Luego nos queda
   $$I_{11}=\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \, \, \, I_{12}=\left[ \frac{2}{3},1\right]$$
   cada uno de ellos de longitud
   $$\frac{1}{3}(longitud\, \, de\, \, [a,b])=\frac{1}{3}(b-a)$$

2. Los intervalos
   $$I_{11},I_{12}$$
   a su vez se dividen en 3 intervalos, siguiendo el proceso dado en 1. Por tanto nos quedamos con:
   $$I_{21}=\left[ 0,\frac{1}{9}\right] ,I_{22}=\left[ \frac{2}{9},\fr... ...{23}=\left[ \frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] ,I_{24}=\left[ \frac{8}{9},1\right]$$
   ahora cada uno es de longitud
   $$\frac{1}{9}=\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}$$

3. Si repetimos este proceso, en la etapa k-ésima habremos obtenido intervalos cerrados
   $$I_{kj},\, j=1,\ldots ,2^{k}$$
   cada uno de ellos de longitud
   $$3^{-k}$$

Este proceso nos permite dar la definición de conjunto de Cantor. Si llamamos

$$I_{k}=\bigcup _{j=1}^{2^{k}}\, I_{kj}$$

los conjuntos forman una sucesión decreciente

$$I_{k+1}\subseteq I_{k}\, \, \forall k$$

Por tanto el CONJUNTO DE CANTOR se define:

$$E=\bigcap _{k=1}^{\infty }I_{k}$$

Podemos ver los procesos de construcción del conjunto de Cantor de manera visual, cómo sigue

Figure 2.1: Diferentes procesos de construcción del fractal de Cantor. (a) tenemos el primer paso de construcción en (b) el segundo y en (c) el tercero

(a)    (b)

(c)