Calibrado de amplitudes

Los radiotelescopios son, con diferencia, los instrumentos más sensibles del mundo. Si sumaramos el flujo que todas las antenas de VLBI han conseguido correlacionar desde que empezaron a tomar datos, la energía total recolectada no sería suficiente ni para incrementar la temperatura de una gota de agua en una milésima de grado.

En este apartado trataremos de describir el proceso con el que se consiguen calibrar las amplitudes de las extremadamente débiles señales que son captadas por los radiotelescopios.

El Jansky (Jy)

La unidad típica de densidad de flujo en radioastronomía recibe el nombre de Jansky (Jy), en honor a Karl Jansky, ingeniero americano hoy considerado padre de la radioastronomía. Un Jansky equivale a 10$^{-26}$W m$^{-2}$ Hz$^{-1}$.

Esto es, el Jansky se refiere a una potencia por unidad de superficie (es decir, un flujo) por unidad de frecuencia, lo que hace que sea una densidad de flujo, donde la palabra ``densidad'' hace referencia a ``por unidad de frecuencia''.

El orden de magnitud de esta unidad de flujo en Radioastronomía ya habla por sí solo en cuanto a la cantidad de energía captada y correlacionada se refiere.

Temperaturas de Sistema y de Antena

Pasemos ahora a hablar un poco sobre cómo se consiguen calibrar las amplitudes de las visibilidades del interferómetro, una vez hemos hablado ya largo y tendido sobre las fases.

En la práctica, el calibrado de las amplitudes se suele efectuar antes del Fringe Fitting, de manera que el ajuste de las correcciones de las antenas se haga atribuyendo a la visibilidad de cada línea de base el peso estadístico que merece.

Calibrar en amplitudes no es más que multiplicar todas las visibilidades por unos números reales que convierten una amplitud de coeficiente de correlación (sin unidades) en una densidad de flujo (en Jy).

Para explicar el proceso de calibración de amplitudes necesitamos definir primero algunas magnitudes de interés, como son la Temperatura de Sistema y de Antena.

Sea $P_{i}$ la potencia que entra en el receptor de una antena proveniente de la fuente $i$, que podría ser desde la fuente celeste a estudiar hasta cualquier emisor de ruido en la electrónica de la estación.

Definimos como Temperatura Equivalente, a la temperatura $T_{i}$ que obedece a la ecuación:

$$P_{i} = g^{2} k T_{i} \Delta \nu .$$

donde $P_{i}$ es la potencia recibida, $k$ es la constante de Boltzmann, $g$ es la ganancia del amplificador de voltaje del receptor y $\Delta \nu$ es la anchura de banda a la que observamos. Esto es, la temperatura equivalente a la potencia $P_{i}$ es aquella que, de acuerdo a la ecuación de Boltzmann, produciría un cuerpo negro a dicha temperatura, amplificando su potencia por el factor $g^{2}$.

A partir de esta sencilla definición podemos hablar, pues, de la Temperatura de Sistema ($T_{S}$) como la equivalente a la potencia generada por todo el ruido de amplificadores y receptores en cada estación. Esta temperatura, pues, representa la mayor parte de la señal que es ajena a la fuente en estudio. En VLBI, no obstante, la Temperatura de Sistema que se suele usar es la llamada on source que, como su propio nombre indica, es la equivalente a la registrada por la antena cuando también se observa la fuente. Dado que las fuentes producen en las antenas una señal mucho menor que el ruido de la electrónica, la diferencia entre ambas temperaturas es a efectos prácticos despreciable⁴.

Por su parte, la llamada Temperatura de Antena ($T_{A}$) es la equivalente a la potencia generada por el flujo que llega de la fuente observada. Esta temperatura suele ser del orden de la fracción de Kelvin (para fuentes con brillos del orden del Jy), mientras que la Temperatura de Sistema de un buen receptor es del orden de unas pocas decenas de Kelvin.

Sensitividad y SEFD

La sensitividad viene determinada por la relación entre un flujo entrante en la antena (en Jy) y la temperatura equivalente generada (en Kelvin). Matemáticamente, la sensitividad $Q$ es igual a:

$$Q = \frac{T_{A}}{S}.$$

donde $S$ es el flujo de la fuente observada (en $Jy$) y $T_{A}$ es la correspondiente Temperatura de Antena (en $K$). Como es obvio, una mayor sensitividad se traduce en un mayor efecto de una fuente sobre la temperatura equivalente total del receptor, ya que la temperatura de antena es proporcional a $S$.

La sensitividad de un radiotelescopio depende de bastantes de factores, desde atmosféricos hasta de precisión en la construcción de su superficie. En la práctica, la parte de la sensitividad que depende de la construcción de cada antena se calcula por interpolación polinómica, tomando como variable la elevación de apuntado. La parte atmosférica se estima a partir de medidas de temperatura y humedad relativa durante las observaciones. Típicamente, $Q$ suele valer $0.1 K Jy^{-1}$ para las antenas de VLBA, aunque puede haber valores mucho mayores; el gran radiotelescopio de Arecibo es capaz de trabajar incluso con sensitividades de $2 K Jy^{-1}$.

Si ahora multiplicamos la Temperatura de Sistema de una antena por la inversa de su sensitividad, calcularemos lo que se conoce como Densidad de Flujo Equivalente del Sistema (System Equivalent Flux Density, ó $SEFD$):

$$SEFD = \frac{T_{S}}{Q} = \frac{T_{S}}{T_{A}} S .$$

El $SEFD$ tiene un significado físico sencillo. Simplemente, es el paso a Janskies de la temperatura total a la que se encuentra el receptor de la antena. Es decir, es la medida, en unidades de densidad de flujo, del ruido del sistema más la señal proveniente de la fuente observada.

Calibración en base a la $T_{S}$

Llegados a este punto no nos será muy difícil aceptar que la proporcionalidad entre los coeficientes de correlación (para un par de antenas (i,j)) y la amplitud de las visibilidades correspondientes viene determinada por la expresión:

$$S_{ij} = C_{ij} b \sqrt{(SEFD)_{i} (SEFD)_{j}} = C_{ij} b \sqrt{\frac{T_{S}^{i} T_{S}^{j}}{Q^{i} Q^{j}}},$$ (14)

donde $S_{ij}$ es la visibilidad calibrada a partir del coeficiente de correlación $C_{ij}$, $T_{S}^{i}$ es la Temperatura de Sistema registrada por la antena $i$ en el instante que se está calibrando y donde $Q^{i}$ es la sensitividad de dicha antena. $SEFD_{i}$ será, por lo tanto, la Densidad de Flujo Equivalente del Sistema para la antena $i$. Es decir, su raíz cuadrada será la que deberá escalar la amplitud (que no potencia) de la señal de la antena $i$.

No olvidemos que el correlador ha de trabajar con la suma de señal más ruido, por lo que el escalado de los coeficientes de correlación debe hacerse según las $SEFD$ (las cuales miden, precisamente, el flujo equivalente de señal más ruido). La amplitud de los coeficientes de correlación (típicamente mucho menores que la unidad) será, entonces, la que dará cuenta de la parte de la $SEFD$ que corresponde al flujo de la fuente, dado que el ruido de las antenas no correlacionará, desapareciendo de la amplitud del coeficiente $C_{ij}$.

El factor $b$ tiene en cuenta varias correcciones necesarias de aplicar, como son las pérdidas en la correlación debidas a la digitalización de la amplitud de las señales (a 1 ó 2 bits, generalmente), así como pequeñas correcciones específicas de la estructura interna del correlador.

La calibración en base a las Temperaturas de Sistema es la propia de la práctica totalidad de estaciones de VLBI. Sencillamente, cada estación no tiene más que medir cada cierto tiempo la potencia generada por los receptores de la antena y, a partir de ahí, calcular la temperatura equivalente. Generalmente, el cálculo de la temperatura se realiza por comparación de la potencia generada por los receptores con la potencia generada por un resistor calibrado mantenido a una temperatura bien controlada.

A partir de estas medidas de Temperatura de Sistema y conociendo las curvas de sensitividad de cada antena (como función de la elevación) podremos llegar a calibrar las amplitudes de nuestros datos sin ningún problema ayudándonos de la ecuación 14.