Los observables de VLBI

Las magnitudes realmente importantes en una observación de VLBI pueden resumirse en unas pocas:

La fase interferométrica

La fase interferométrica se define para cada par de antenas (i.e., para cada línea de base) y para cada instante de tiempo. Es, sencillamente, la fase relativa entre las señales recibidas por el par de antenas en cuestión.

Las contribuciones que afectan al valor de la fase interferométrica son varias. En concreto, si $\phi$ es la fase interferométrica, ésta es igual a:

$$\phi = {\phi}_{geo} + {\phi}_{tro} + {\phi}_{ion} + {\phi}_{str} + {\phi}_{ins} + 2{\pi}n.$$

donde ${\phi}_{geo}$ es la fase debida al retraso geométrico $\tau$ entre ambas antenas (ver figura 1), ${\phi}_{tro}$ y ${\phi}_{ion}$ son las contribuciones debidas a la presencia de troposfera e ionosfera, respectivamente, ${\phi}_{ins}$ es la contribución debida a la instrumentación de las antenas y, finalmente, $2{\pi}n$ es un número entero de ciclos de ambigüedad, inherente a la determinación de cualquier fase.

El retraso de fase y el retraso de grupo

Hay dos maneras de estimar el retraso relativo $\tau$ que hay que añadir entre dos antenas para que observen el mismo frente de ondas de manera sincronizada.

Primero, el retraso de fase ${\tau}_{\phi}$ se define como:

$${\tau}_{\phi} = \frac{\phi}{2\pi{\nu}_{0}}.$$

siendo $\phi$ la fase interferométrica y ${\nu}_{0}$ la frecuencia de referencia en la observación. El principal inconveniente de este estimador es la ambigüedad $2{\pi}n$ en la fase interferométrica. Además, como hemos visto, hay otras contribuciones a la fase $\phi$ que nada tienen que ver con el término geométrico ${\phi}_{geo}$.

Otro estimado del retraso $\tau$ es el llamado retraso de grupo. Se define como la pendiente de la variación de la fase con la frecuencia, dentro del ancho de banda de observación. Es decir:

$${\tau}_{g} = \frac{1}{2\pi}\frac{\partial\phi}{\partial\nu}.$$

Para entender por qué ésta es una estimación del retraso relativo no hay más que recurrir a algunas propiedades de la transformada de Fourier. Si hallamos la transformada de Fourier de la autocorrelación de la señal de una antena (en el espacio de retrasos $\tau$) obtendremos el paso de banda, es decir, una función de tipo caja centrada en la frecuencia de observación ${\nu}_{0}$ y de anchura igual a $\delta\nu$. Esto es, la frecuencia de la señal es la variable conjugada del retraso en la correlación. La fase de la transformada valdrá cero en todo el ancho de banda, a no ser que la antena introduzca una fase instrumental que dependa de la frecuencia.

Si se correlacionan las señales provenientes de dos antenas distintas, el resultado será similar a la autocorrelación de la que hemos hablado, solo que la función estará ahora desplazada en el espacio de retrasos.

Un desplazamiento respecto a cierta variable (en nuestro caso el desplazamiento es $\delta\tau$) se convierte, al transformar en Fourier, en una fase que varía linealmente respecto a su variable conjugada (en nuestro caso $(2\pi\delta\tau)\nu$, siendo $\nu$ la variable conjugada de $\tau$).

He aquí, entonces, la relación directa entre el descentrado de la función de correlación de las señales y el retraso de grupo, cosa que podemos ver gráficamente en la figura 6.

Figure 6: Efecto de un desplazamiento en el espacio de retrasos {$\tau$} sobre la fase en el espacio de frecuencias {$\nu$}.

Fringe rate y delay rate

La fase no solo varía con la frecuencia, sino también con el tiempo. A la variación de la fase con el tiempo se la denomina ritmo de franja o fringe rate. El efecto Doppler residual entre las antenas que no se pudo eliminar en el correlador, así como la estructura de la fuente observada si la fase de su transformada de Fourier varía entre punto y punto del plano UV, dan origen al fringe rate.

Para el caso de fuentes puntuales, o con una estructura tan compacta que no es resoluble por VLBI, el fringe rate se debe únicamente a efectos Doppler residuales. En efecto, cuando comparamos dos señales de frecuencias distintas, la señal de frecuencia más alta irá adelantando su fase más rápidamente que la segunda, por lo que la fase relativa entre ambas señales irá cambiando linealmente a medida que transcurre el tiempo.

Este cambio en la fase relativa disminuye claramente el tiempo de coherencia de la señal, ya que al hacer medias temporales de las visibilidades las distintas fases se traducirán irremediablemente en una disminución de la amplitud de la visibilidad resultante, disminuyendo también la relación señal ruido de nuestra observación.

Matemáticamente, el fringe rate se define como:

$$\dot{\phi} = \frac{\partial\phi}{{\partial}t}.$$

Esta variación temporal afecta por igual a todas las fases de las visibilidades calculadas para cualquier retraso $\tau$ de la correlación. Es, pues, la franja entera de correlación la que está alterando su fase como función del tiempo.

Dado que el fringe rate está producido por efectos Doppler residuales en las señales, y tales efectos Doppler son fruto del desplazamiento de las antenas con respecto a la fuente, es de esperar que el fringe rate esté relacionado con cambios en los vectores línea de base entre las antenas. Así pues, un fringe rate residual en una línea de base nos está diciendo que debe haber también un cambio en el retraso $\tau$ para el que encontramos el máximo de correlación, ya que una de las antenas se está acercando (o alejando) a la fuente a mayor velocidad que lo que se había programado en el correlador. Esta relación directa entre el fringe rate y una variación en el retraso relativo entre radiotelescopios nos da pie a hablar del ritmo de retraso o delay rate. Matemáticamente, éste se define como:

$$\dot{\tau}_{\phi} = \frac{1}{2\pi{\nu}_{0}}\frac{\partial\phi}{{\partial}t}.$$

Esta cantidad nos da la velocidad a la que la franja de correlación se está desplazando a través del espacio de retrasos $\tau$ debido a la velocidad residual en las antenas. La velocidad residual a la que aquí nos referimos es la diferencia entre la velocidad real de las antenas y el modelado de velocidades que se introduce en el correlador para eliminar los efectos Doppler antes de la correlación. Esta velocidad residual es, por consiguiente, la responsable directa de los efectos Doppler que produce el fringe rate residual en las visibilidades correlacionadas.

Ambas cantidades (fringe rate y delay rate) están, pues, directamente relacionadas por el movimiento de los radiotelescopios.

Las clausuras de fase

Las fases interferométricas son bastante ruidosas y dependen mucho de las distintas condiciones atmosféricas en las que se encuentra cada estación. Es por ello que el uso de las clausuras de fase, como ligadura adicional, se hace totalmente necesario para el correcto calibrado de los datos de VLBI.

Las clausuras de fase se definen a partir de las fases interferométricas medidas por tres antenas. Matemáticamente, para las antenas A, B y C, la clausura de fase ${\phi}_{ABC}$ es igual a:

$${\phi}_{ABC} = {\phi}_{AB} + {\phi}_{BC} - {\phi}_{AC}.$$

donde ${\phi}_{AB}$ es la fase interferométrica observada por las antenas A y B.

La principal ventaja de la clausura de fase es que es insensible a los errores de calibración de las antenas o a las contribuciones atmosféricas. Eso hace de este observable una robusta ayuda para la interferometría de VLBI.

Supongamos que hay una inhomogeneidad atmosférica afectando a la señal registrada por la antena A, además también de contribuciones no modeladas en la electrónica de esta antena. Ambas afectarán a la fase interferométrica entre A y otras antenas. Sea ${\phi}_{A}^{atm}$ la fase introducida por los efectos no deseados que influyen a la señal recibida por A. Entonces, la fase interferométrica asociada a la línea de base (A,X) será:

$${\phi}_{AX}^{atm} = {\phi}_{A} + {\phi}_{A}^{atm} - {\phi}_{X}.$$

donde, en este caso, ${\phi}_{A}$ es la fase asociada a la antena A que se hubiese registrado en caso de no haber inhomogeneidad atmosférica ni defectos en la electrónica. Usando esta expresión, si ahora calculamos la clausura de fase entre las antenas A, B y C añadiendo los efectos no deseados sobre la señal de la antena A, obtenemos:

$${\phi}_{ABC}^{atm} = {\phi}_{AB}^{atm} + {\phi}_{BC} + {\phi... ...phi}_{A}^{atm} + {\phi}_{BC} - {\phi}_{AC} - {\phi}_{A}^{atm}.$$

Luego:

$${\phi}_{ABC}^{atm} = {\phi}_{ABC}.$$

Esta conclusión es válida sea cual sea la antena A, B o C que altere la fase de su señal. Incluso si son todas las antenas las que sufren simultáneamente alteraciones en sus fases, la clausura de fase será totalmente insensible a tales alteraciones. Por ello, la clausura de fase tan sólo depende de la estructura de la fuente en estudio.

No obstante, la clausura de fase también tiene un importante inconveniente: no guarda información alguna de la posición absoluta de las fuentes en el cielo. Si bien sí guarda información de las posiciones relativas entre las componentes que dotan de estructura a la fuente observada, las posiciones absolutas de tales componentes nos son del todo desconocidas si utilizamos las clausuras de fase como información.

En el mapeo de fuentes observadas con VLBI no hay otra manera de proceder más que con el uso de las clausuras de fase. Hablando con todo rigor, nos es imposible conocer la posición absoluta de las fuentes en el cielo utilizando VLBI.

Las clausuras de amplitud

Al igual que hemos hecho con las fases, también podemos encontrar un observable que dependa de las amplitudes de las franjas de correlación (de las amplitudes de las visibilidades), pero que sea insensible a correcciones de amplitud dependientes de cada antena. El observable en cuestión es el denominado clausura de amplitud.

Si la amplitud determinada por la línea de base formada por las antenas $A$ y $B$ es $I_{AB}$, entonces definimos la clausura de amplitud para las cuatro antenas A, B, C y D como:

$$C_{ABCD} = \frac{I_{AB} I_{CD}}{I_{AC} I_{BD}}.$$

De esta forma, una corrección en la amplitud de la antena $A$, por ejemplo, se traducirá en un mismo factor multiplicando a los términos $I_{AB}$ e $I_{AC}$ en la ecuación anterior, por lo que ambos factores se cancelarán al calcular la clausura de amplitud. Por esto, las clausuras de amplitud no dependen de correcciones en cada antena y, por consiguiente, dependen tan sólo de la fuente en estudio.

Es de resaltar que, si bien necesitamos tres antenas para calcular las clausuras de fase, las clausuras de amplitud necesitan de cuatro antenas para estar definidas, por lo que tan sólo podemos estar seguros de que tenemos información robusta de la distribución de brillo de las fuentes observadas cuando tenemos, como mínimo, cuatro antenas en nuestro interferómetro. Con menos antenas aún se puede hacer interferometría, pero habremos de tener mucho cuidado con la calibración de las visibilidades.